算数【応用】余りのある計算

問１

ヒント
【余りが同じ場合】
A で割っても B で割っても余りが同じ数のとき、条件に合う最も小さい数は A と B の最小公倍数の倍数に余りを足した数となる。

（１）15 で割っても 18 で割っても 11 余る 3 けたの整数のうち、最も大きい整数はいくつですか。

答え（１）
911
解き方（１）
15 と 18 の最小公倍数は 90 なので、条件に合う数は 90 の倍数に 11 を足した数である。
90 × 11 + 11 = 990 + 11 = 1001（ 4 桁より不適 ）
90 × 10 + 11 = 900 + 11 = 911
3 桁の最大の整数 999 より、911

（２）10 以上 300 以下の整数のうち、6 で割っても 8 で割っても余りが 3 になる数は何個ありますか。

答え（２）
12 個
解き方（２）
求める数は、6 と 8 の最小公倍数 24 の倍数より 3 大きい数になる。
300 以下の整数で 24 で割り切れる整数の数は、
300 ÷ 24 = 12 あまり 12
より、12 個ある。
最も小さい数で 24（ 24 × 1 ）、最も大きい数で288（ 24 × 12 ）。
最も小さい数：24 + 3 = 27、最も大きい数：288 + 3 = 291となる。
よって、12 個

（３）15 で割っても 20 で割っても 3 余る整数を、7 で割ると割り切れました。このような整数のうち最小のものを求めなさい。

答え（３）
63
解き方（３）
15 と 20 の最小公倍数は 60 より、条件に合う数は 60 の倍数に 3 を足した数になる。
これらの数を書き出すと、
60 × 0 + 3 = 3
60 × 1 + 3 = 63
60 × 2 + 3 = 123
　　・
　　・
　　・
この中で、 7 で割り切れる数（ 7 の倍数 ）の最も小さいものは 63

（４）2 で割っても、3 で割っても、5 で割っても 1 あまる整数で、100 に一番近い整数を求めなさい。

答え（４）
91
解き方（４）
2 と 3 と 5 の最小公倍数は 30 より、条件に合う数は 30 の倍数に 1 を足した数になる。
これらなかで 100 に近い数を書き出すと、
30 × 3 + 1 = 91 ⇒ 100 – 91 = 9
30 × 4 + 1 = 121 ⇒ 121 – 100 = 21
よって 91

問２

ヒント
【余りも、割る数と余りの差も異なる場合】
実際に書き出して、条件に合う最も小さい数を見つける。その後は、割る数の最小公倍数ごとに現れる。

（１）7 で割ると 3 余り、6 で割ると 4 余る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

答え（１）
10
解き方（１）
7 で割ると 3 余る数：3, 10, 17…
6 で割ると 4 余る数：4, 10, 16…
条件を満たす最も小さい数は 10

（２）4 で割ると 3 余り、5 で割ると 2 余る数のうち、100 に一番近い整数を求めなさい。

答え（２）
107
解き方（２）
4 で割ると 3 余る数：3, 7, 11, …
5 で割ると 2 余る数：2, 7, 12…
条件を満たす最も小さい数は 7 で、その後は 4 と 5 の最小公倍数 20 ごとに現れる。
100 に近い数を書き出すと、
7 + 20 × 4 = 87 ⇒ 100 – 87 = 13
7 + 20 × 5 = 107 ⇒ 107 – 100 = 7
よって、100 に近いのは 107

（３）6 で割ると 5 余り、8 で割ると 3 余る数のうち、300 に一番近い整数を求めなさい。

答え（３）
299
解き方（３）
6 で割ると 5 余る数：5, 11, 17, …
8で割ると3余る数：3, 11, …
条件を満たす最も小さい数は 11 で、その後は 6 と 8 の最小公倍数 24 ごとに現れる。
300 に近い数を書き出すと、
11 + 24 × 12 = 299
よって、299

（４）5 で割ると 2 余り、6 で割ると 4 余る数のうち、100 に一番近い整数を求めなさい。

答え（４）
112
解き方（４）
5 で割ると 2 余る数：2, 7, 12, 17, 22, …
6 で割ると 4 余る数：4, 10, 16, 22, …
条件を満たす最も小さい数は 22 で、その後は 5 と 6 の最小公倍数 30 ごとに現れる。
100 に近い数を書き出すと、
22 + 30 × 3 = 112 ⇒ 112 – 100 = 12
22 + 30 × 2 = 82 ⇒ 100 – 82 = 18
よって、112

（５）1 から 100 までの整数のうち、5 で割ると 3 余り、7 で割ると 4 余る整数は何個ありますか。

答え（５）
3 個
解き方（５）
5 で割ると 3 余る数：3, 8, 13, 18, …
7 で割ると 4 余る数：4, 11, 18, …
条件を満たす最も小さい数は18で、その後は 5 と 7 の最小公倍数 35 ごとに現れるので、
18 + 35 = 53
53 + 35 = 88
よって、3 個

（６）5 で割ると 2 余り、11 で割ると 5 余る整数のうち 300 に一番近い数はいくつですか。

答え（６）
302
解き方（６）
5 で割ると 2 余る数：2, 7, 12, 17, 22, 27, …
11 で割ると 5 余る数：5, 16, 27, …
条件を満たす最も小さい数は 27 で、その後は 5 と 11 の最小公倍数 55 ごとに現れる。
300 に近い数を書き出すと、
27 + 55 × 5 = 302

（７）5 で割り切れて、8 で割ると 5 余り、9 で割ると 6 余る整数のうちもっとも小さい数はいくつですか。

答え（７）
285
解き方（７）
8 で割ると 5 余る数：5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, …
9 で割ると 6 余る数：6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, …
条件を満たす最も小さい数は 69 で、その後は 8 と 9 の最小公倍数 72 ごとに現れる。
69 以降の条件に合う数を小さい順に書き出すと、
69 + 72 = 141
141 + 72 = 213
213 + 72 = 285 ⇒ 5 で割り切れる
よって、285

【 別解 】あと 3 あれば割り切れることに着目する
8 で割ると 5 余る ＝ あと 3 あれば割り切れる
9 で割ると 6 余る ＝ あと 3 あれば割り切れる
すなわち、求める数に 3 を足した数は 8 でも 9 でも割り切れる数である。
8 と 9 の最小公倍数は 72 より、72 の倍数から 3 を引いた数が求める数の候補である。
小さい順に書き出すと、
72　× 1 – 3 = 69
72　× 2 – 3 = 141
72　× 3 – 3 = 213
72　× 4 – 3 = 285 ⇒ 5 で割り切れる
よって、285

問３

ヒント
【余りは異なるが、割る数と余りの差が同じになる場合】
A で割ると B 余り、C で割ると D 余る。このとき、A – B = C – D の場合
条件に合う最も小さい数は、割る数（ A と C ）の最小公倍数より、割る数と余りの差（ A – B または C – D ）だけ小さい数となる。
その後は割る数の最小公倍数ごとに現れる。

（１）11 で割ると 7 余り、12 で割ると 8 余る整数のうち、一番小さい整数はいくつですか。

答え（１）
128
解き方（１）
11 と 12 の最小公倍数は 132、割る数と余りの差はどちらも 4 なので、求める数は、
132 – 4 = 128

【 別解 】実際に書き出す
11 で割ると 7 余る数：106, 117, 128, 139, …
12 で割ると 8 余る数：104, 116, 128, …
よって、128

（２）15 で割ると 9 余り、12 で割ると 6 余る最も小さい整数はいくつですか。

答え（２）
54
解き方（２）
15 と 12 の最小公倍数は 60、割る数と余りの差はどちらも 6 なので、求める数は、
60 – 6 = 54

【 別解 】実際に書き出す
15 で割ると 9 余る数：9, 24, 39, 54, 69, …
12 で割ると 6 余る数：6, 18, 30, 42, 54, …
条件を満たす最も小さい数は 54

（３）7 で割れば 3 余り、5 で割れば 1 余る数のうち、100 に最も近い整数はいくつですか。

答え（３）
101
解き方（３）
7 と 5 の最小公倍数は 35、割る数と余りの差はどちらも 4 なので、条件に合う数最小の数は 35 の倍数より 4 小さい整数
35 – 4 = 31
その後は 7 と 5 の最小公倍数 35 ごとに現れる。
100 に近い数を書き出すと、
31 + 35 × 2 = 101
31 + 35 × 1 = 66

【 別解 】実際に書き出す
7 で割ると 3 余る数：3, 10, 17, 24, 31, 38, …
5 で割ると 1 余る数：1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, …
条件を満たす最も小さい数は 31
その後は 7 と 5 の最小公倍数 35 ごとに現れる。
100 に近い数を書き出すと、
31 + 35 × 2 = 101
31 + 35 × 1 = 66

（４）7 で割ると 2 余り、9 で割ると 4 余るような数のうち、最も小さい整数はいくつですか。

答え（４）
58
解き方（４）
7 と 9 の最小公倍数は 63、割る数と余りの差はどちらも 5 より、
63 – 5 = 58

【 別解 】実際に書き出す
7 で割ると 2 余る数：2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, …
9 で割ると 4 余る数：4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, …
よって、58

（５）6 で割ると 3 余り、8 で割ると 5 余る整数のうち、200 に最も近い整数はいくつですか。

答え（５）
189
解き方（５）
6 と 8 の最小公倍数は 24、割る数と余りの差はどちらも 3 なので、条件に合う最小の数は 24 より 3 小さい整数
24 – 3 = 21
その後は 6 と 8 の最小公倍数 24 ごとに現れる。
200 に近い数を書き出すと、
21 + 24 × 7 = 21 + 168 = 189 ⇒ 200 – 189 = 11
21 + 24 × 8 = 21 + 192 = 213 ⇒ 213 – 200 = 13
よって、189

【 別解 】実際に書き出す
6 で割ると 3 余る数：3, 9, 15, 21, 27, …
8 で割ると 5 余る数：5, 13, 21, …
条件を満たす最も近い数は 21
その後は 6 と 8 の最小公倍数 24 ごとに現れる。
200 に近い数を書き出すと、
21 + 24 × 7 = 21 + 168 = 189 ⇒ 200 – 189 = 11
21 + 24 × 8 = 21 + 192 = 213 ⇒ 213 – 200 = 13
よって、189

問４

ヒント
同じ数で割ったとき、それぞれの割られる数からあまりを引いた数の「 公約数 」のうち、あまりの中で一番大きい数よりも「 大きい数 」が割る数になる。

（１）81 を割っても、65 を割っても 9 余る整数はいくつですか。

答え（１）
18
解き方（１）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求めると、
81 – 9 = 72
65 – 9 = 54
よって、求める数の候補は 72 と 54 の公約数である。
72 と 54 の最大公約数は 18 より、公約数は 1, 2, 3, 6, 9, 18
割る数はあまりの 9 よりも大きな数なので、18

（２）382 を割ると 14 余り、279 を割ると 7 余る整数はいくつですか。

答え（２）
16
解き方（２）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求めると、
382 – 14 = 368
279 – 7 = 272
よって、求める数の候補は 368 と 272 の公約数である。
368 と 272 の最大公約数は 16 より、公約数は 1, 2, 4, 8, 16
割る数はあまりの 14 よりも大きな数なので、16

（３）100 を割ると 4 余り、150 を割ると 6 余るような整数をすべて求めなさい。

答え（３）
8, 12, 16, 24, 48
解き方（３）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求めると、
100 – 4 = 96
150 – 6 = 144
よって、求める数の候補は 96 と 144 の公約数である。
96 と 144 の最大公約数は 48 より、公約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
割る数はあまりの 8 よりも大きな数なので、8, 12, 16, 24, 48

（４）115 を割っても、181 を割っても 7 余る整数の中で最も大きな数はいくつですか。

答え（４）
18
解き方（４）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求めると、
115 – 7 = 108
181 – 7 = 174
よって、求める数は 108 と 174 の最大公約数より、18（ 余りの 7 よりも大きいことを確認 ）

（５）131、191、275 の ３つの数をある整数で割ると、余りはすべて 11 になりました。ある整数はいくつですか。

答え（５）
12
解き方（５）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求める。
131 – 11 = 120
191 – 11 = 180
275 – 11 = 264
よって、求める数の候補は 120 と 180 と 264 の公約数である。
120 と 180 と 264 の最大公約数は 12 より、公約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12
割る数はあまりの 11 よりも大きな数なので、12

（６）641 を割ると 11 余り、555 を割ると 9 余る整数をすべて求めなさい。

答え（６）
14, 21, 42
解き方（６）
それぞれの数からあまりを引いて、ぴったり割り切れる数を求めると、
641 – 11 = 630
555 – 9 = 546
よって、求める数の候補は 630 と 546 の公約数である。
630 と 546 の最大公約数は 42 より、公約数は 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
割る数はあまりの 11 よりも大きな数なので、14, 21, 42

問５

3 つの整数 597 、876 、2023 をある数で割ると余りが同じ数になります。余りはいくつですか。

ヒント
「 同じ数で割ると余りも同じ 」というとき、「 数と数の間の差 」は、その割る数でピッタリ割り切れるという大きな特徴があります。
答え
8
解き方
同じ数で割ったときの余りが等しいので、数の差を求める。
876 – 597 = 279
2023 – 876 = 1147
279 と 1147 の公約数で、1 より大きいのは 31 のみなので、ある数は31
よって、597 ÷ 31 = 19 あまり 8
残りの 2 数でも確認すると、
876 ÷ 31 = 28 あまり 8
2023 ÷ 31 = 65 あまり 8

問６

ミカン 1 個の値段は 60 円ですが、5 個まとめて買うと 250 円になります。このミカンをいくつか買ったときの代金が 680 円でした。ミカンを何個買いましたか。　

答え
13個
解き方
680 ÷ 250 = 2 あまり 180 より、
5 個 250 円で買ったのは 2 セットなので、個数は 5 × 2 = 10 [個]
1 個 60 円で買った個数は 180 ÷ 60 = 3 [個]
全部で、10 + 3 = 13 [個]

問７

（１）7 で割ると 3 余る整数と、7 で割ると 6 余る整数の和を 7 で割ると余りはいくつですか。

答え（１）
2
解き方（１）
7 で割ると 3 余る整数は、7 × A + 3 と表すことができる。
7 で割ると 6 余る整数は、7 × B + 6 と表すことができる。
これらの整数の和は次のように表すことができる。
7 × A + 3 + 7 × B + 6
= 7 × ( A + B ) + 3 + 6
= 7 × ( A + B ) + 9
= 7 × ( A + B ) + 7 × 1 + 2
= 7 × ( A + B + 1 ) + 2
よって、求める余りは 2 となる。

※割る数が同じ場合、余りの和を割った余りが、もとの整数の和を割った余りになる。
( 3 + 6 ) ÷ 7
9 ÷ 7 = 1 あまり 2

（２）6 で割ると 5 余り、12 で割ると 4 余る整数の和を 6 で割ったときの余りはいくつですか。

答え（２）
3
解き方（２）
12 は 6 の倍数（ 6 × 2 = 12 ）なので、12 で割って 4 余る数は、6 で割っても 4 余る。
余りの和を 6 で割ると、
( 5 + 4 ) ÷ 6
= 9 ÷ 6 = 1 あまり 3

問８

（１）35 で割ると商と余りが等しくなる数のうち、最も小さい数を答えなさい。

答え（１）
36
解き方（１）
商と余りを □ とすると、除法の原理より、35 で割ると商と余りが等しくなる数は次のように表すことができる。
35 × □ + □ = 36 × □
□ は 0 より大きく 35 より小さい最も小さい整数なので 1。
よって、求める整数は 36

（２）０ でない整数のうち、20 で割ると商と余りが等しくなる数は何個ありますか。

答え（２）
19 個
解き方（２）
商と余りを □ とすると、除法の原理より、20 で割ると商と余りが等しくなる数は次のように表すことができる。
20 × □ + □ = 21 × □
□ は 0 より大きく 20 より小さい整数なので、19 個

（３）3 けたの整数のうち、15 で割ると商と余りが等しくなる数は何個ありますか。

答え（３）
8 個
解き方（３）
商と余りを □ とすると、除法の原理より、15で割ると商と余りが等しくなる数は次のように表すことができる。
15 × □ + □ = 16 × □
□ は 0 より大きく 15 より小さい整数。そのうち、16 × □ が 3 けたになるのは、
16 × 6 = 96
16 × 7 = 112
　・
　・
　・
16 × 14 = 224
よって、□ = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 の 8 個

問９