算数【応用】余りのある計算

問１

ヒント
【余りが同じ場合】
〇で割っても△で割っても余りが同じ数のときは、〇と△の最小公倍数に余りを足した数となる。

（１）15で割っても18で割っても11余る3けたの整数のうち、最も大きい整数はいくつですか。

答え（１）
911
解き方（１）
求める数は、15と18の最小公倍数より11大きい数である。15と18の最小公倍数は90なので、
90 × 11 + 11 = 1001
90 × 10 + 11 = 911

（２）10以上300以下の整数のうち、6で割っても8で割っても余りが3になる数は何個ありますか。

答え（２）
12個
解き方（２）
求める数は、6と8の最小公倍数24より3大きい数になる。300以下の整数で24で割り切れる整数の数は、300 ÷ 24 = 12 あまり 12 なので12個ある。最も小さい数で24（24×1）、最も大きい数で288（24×12）。
最も小さい数：24 + 3 = 27、最も大きい数：288 + 3 = 291となる。
よって、12個

問２

ヒント
【余りは異なるが、割る数と余りの差が同じになる場合】
割る数の最小公倍数より、割る数と余りの差だけ小さい数となる。

（１）11で割ると7余り、12で割ると8余る整数のうち、一番小さい整数はいくつですか。

答え（１）
128
解き方（１）
11と12の最小公倍数は132、割る数と余りの差はどちらも4なので、求める数は、
132 – 4 = 128

（２）15で割ると9余り、12で割ると6余る最も小さい整数はいくつですか。

答え（２）
54
解き方（２）
15と12の最小公倍数は60、割る数と余りの差はどちらも6なので、求める数は、
60 – 6 = 54

（３）7で割れば3余り、5で割れば1余る数のうち、100に最も近い整数はいくつですか。

答え（３）
101
解き方（３）
7と5の最小公倍数は35、割る数と余りの差はどちらも4なので、求める数は35の倍数より4小さい整数
35 × 3 – 4 = 101
35 × 2 – 4 = 66

（４）7で割ると2余り、9で割ると4余るような数のうち、最も小さい整数はいくつですか。

答え（４）
58
解き方（４）
7と9の最小公倍数は63、割る数と余りの差はどちらも5より、
63 – 5 = 58

（５）6で割ると3余り、8で割ると5余る整数のうち、200に最も近い整数はいくつですか。

答え（５）
189
解き方（５）
6と8の最小公倍数は24、割る数と余りの差はどちらも3より、求める数は24の倍数より3小さい整数
24 × 8 – 3 = 189
24 × 9 – 3 = 213

問３

ヒント
【余りも、割る数と余りの差も異なる場合】
実際に書き出して、条件に合う最も小さい数を見つける。その後は、割る数の最小公倍数ごとに現れる。

（１）7で割ると3余り、6で割ると4余る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

答え（１）
10
解き方（１）
7で割ると3余る数：3, 10, 17…
6で割ると4余る数：4, 10, 16…
条件を満たす最も小さい数は10

（２）4で割ると3余り、5で割ると2余る数のうち、100に一番近い整数を求めなさい。

答え（２）
107
解き方（２）
4で割ると3余る数：3, 7, 11, …
5で割ると2余る数：2, 7, 12…
条件を満たす最も小さい数は7で、その後は4と5の最小公倍数20ごとに現れるので、
7 + 20 × 4 = 87
7 + 20 × 5 = 107
よって、100に近いのは107

（３）6で割ると5余り、8で割ると3余る数のうち、300に一番近い整数を求めなさい。

答え（３）
299
解き方（３）
6で割ると5余る数：5, 11, 17, …
8で割ると3余る数：3, 11, …
条件を満たす最も小さい数は11で、その後は6と8の最小公倍数24ごとに現れるので、
11 + 24 × 12 = 299
よって、299

（４）5で割ると2余り、6で割ると4余る数のうち、100に一番近い整数を求めなさい。

答え（４）
112
解き方（４）
5で割ると2余る数：2, 7, 12, 17, 22, …
6で割ると4余る数：4, 10, 16, 22, …
条件を満たす最も小さい数は22で、その後は5と6の最小公倍数30ごとに現れるので、
22 + 30 × 3 = 112
22 + 30 × 2 = 82
よって、112

（５）1から100までの整数のうち、5で割ると3余り、7で割ると4余る整数は何個ありますか。

答え（５）
3個
解き方（５）
5で割ると3余る数：3, 8, 13, 18, …
7で割ると4余る数：4, 11, 18, …
条件を満たす最も小さい数は18で、その後は5と7の最小公倍数35ごとに現れるので、
18 + 35 = 53
53 + 35 = 88
よって、3個

（６）5で割ると2余り、11で割ると5余る整数のうち300に一番近い数はいくつですか。

答え（６）
302
解き方（６）
5で割ると2余る数：2, 7, 12, 17, 22, 27, …
11で割ると5余る数：5, 16, 27, …
条件を満たす最も小さい数は27で、その後は5と11の最小公倍数55ごとに現れるので、
27 + 55 × 5 = 302

問４

ミカン1個の値段は60円ですが、5個買うごとに250円になります。このミカンをいくつか買ったときの代金が680円でした。ミカンを何個買いましたか。　

答え
13個
解き方
680 ÷ 250 = 2 あまり 180 より、
5個250円で買ったのは2セットなので、個数は 5 × 2 = 10(個)
1個60円で買った個数は 180 ÷ 60 = 3(個)
全部で、10 + 3 = 13(個)

問５

いくつかのキャンディーをある人数の子どもたちに配ります。1人5個ずつ配ると2個足りず、1人4個ずつ配ると14個余ります。

（１）子どもの人数は何人ですか。

答え（１）
16人
解き方（１）
子どもの人数を \(\boxed{　}\) 人とすると。キャンディーの個数は、
5個ずつ配る場合、5 × \(\boxed{　}\) – 2 (個)
4個ずつ配る場合、4 × \(\boxed{　}\) + 14 (個)
と表すことができる。よって、子どもの人数は、
5 × \(\boxed{　}\) – 2 = 4 × \(\boxed{　}\) + 14
\(\boxed{　}\) = 16(人)

（２）キャンディーの個数は何個ですか。

答え（２）
78個
解き方（２）
キャンディーの個数は、5 × 16 – 2 = 78(個)

問６

（１）何台かの長いすに生徒が座ります。1台の長いすに4人ずつ座ると、6人の生徒が座れませんでした。1台の長いすに5人ずつ座ると、最後の長いすには1人だけが座りました。生徒は全部で何人いますか。

答え（１）
46人
解き方（１）
長いすの数を \(\boxed{　}\) 台とすると、生徒の人数は、
4人ずつ座る場合、4 × \(\boxed{　}\) + 6 (人)
5人ずつ座る場合、5 × ( \(\boxed{　}\) – 1) + 1 (人) ・・・長いすを1減らしたら1人の生徒が座れなかったと言い換えることができる。
よって、長いすの数は、
4 × \(\boxed{　}\) + 6 = 5 × ( \(\boxed{　}\) – 1) + 1
\(\boxed{　}\) = 10(台)
生徒の人数は、4 × 10 + 6 = 46(人)

（２）何枚かのクッキーを何人かの子どもたちに配ります。1人に5枚ずつ配ると10枚あまります。1人に7枚ずつ配ると最後の1人には3枚しか配ることができません。このとき、子どもは何人いますか。

答え（２）
7人
解き方（２）
子どもの数を \(\boxed{　}\) 人とすると、クッキーの枚数は、
5枚ずつ配る場合、5 × \(\boxed{　}\) + 10 (枚)
7枚ずつ配る場合、7 × ( \(\boxed{　}\) – 1) + 3 (枚) ・・・子どもを1減らしたらクッキーが3枚あまると言い換えることができる。
よって、子どもの数は、
5 × \(\boxed{　}\) + 10 = 7 × ( \(\boxed{　}\) – 1) + 3
\(\boxed{　}\) = 7(人)

（３）りんごを、1人に4個ずつ配ると6個余り、1人に5個ずつ配ると2個足りなくなります、りんごは何個ありますか。

答え（３）
38個
解き方（３）
配る人数を \(\boxed{　}\) 人とすると、りんごの個数は、
4個ずつ配る場合、4 × \(\boxed{　}\) + 6 (個)
5個ずつ配る場合、5 × \(\boxed{　}\) – 2 (個)
と表すことができる。よって、配る人数は、
4 × \(\boxed{　}\) + 6 = 5 × \(\boxed{　}\) – 2
\(\boxed{　}\) = 8(人)
りんごの個数は、5 × 8 – 2 = 38(個)

（４）チョコレートを何人かの子どもに分けます。1人に3個ずつ分けると16個余り、1人に5個ずつ分けると4個不足します。子どもは何人いますか。また、このときチョコレートは何個ありますか。

答え（４）
子ども：10人　チョコレート：46個
解き方（４）
子どもの数を \(\boxed{　}\) 人とすると、チョコレートの個数は、
3個ずつ分ける場合、3 × \(\boxed{　}\) + 16 (個)
5個ずつ分ける場合、5 × \(\boxed{　}\) – 4 (個)
と表すことができる。よって、子どもの数は、
3 × \(\boxed{　}\) + 16 = 5 × \(\boxed{　}\) – 4
\(\boxed{　}\) = 10(人)
チョコレートの個数は、3 × 10 + 16 = 46(個)

（５）いくつかのキャンディーを子どもたちに配ります。はじめの10人に5個ずつ、残りの子どもに7個ずつ配ろうとしたところ、あと20個足りませんでした。そこで、全員に6個ずつ配ると10個余りました。キャンディーは何個ありますか。

答え（５）
310個
解き方（５）
10人以外の残りの子どもの数を \(\boxed{　}\) 人とする。
5 × 10 + 7 × \(\boxed{　}\) – 20 = 6 × (10 + \(\boxed{　}\) ) + 10
\(\boxed{　}\) = 40(人)
キャンディーの個数は、6 × (10 + 40) + 10 = 310(個)

問７

382を割ると14余り、279を割ると7余る整数はいくつですか。

ヒント
aを割るとb余り、cを割るとd余る数は、a – b と c – d の公約数のうち、余りのb、dの大きい方より大きい数となる。
答え
16
解き方
382 – 14 = 368 と279 – 7 = 272 の最大公約数は16となり、16の約数のうち14より大きい数は16

問８

3つの整数597、876、2023をある数で割ると余りが同じ数になります。余りはいくつですか。

ヒント
aを割ってもbを割ってもcを割っても余りが等しくなる数は、2つの数どうしの差の公約数のうち、余りより大きい数となる。
答え
8
解き方
余りは1以上の整数
876 – 597 = 279、2023 – 876 = 1147
279と1147の公約数で、1より大きいのは31のみであることから、ある数は31
よって、597 ÷ 31 = 19 あまり 8

問９

あめを3個ずつ14人に配ると2個余ります。このあめを14人全員に4個ずつ配るためには、あめを何個増やす必要がありますか。

答え
12個
解き方
14人に4個ずつ配るためには、4 × 14個必要。今あるあめは3 × 12 + 2個である。
計算式にすると、4 × 14 – (3 × 14 + 2) = 12(個)

問１０

（１）3で割ると2余る整数と、6で割ると3余る整数の和を3で割ると余りはいくつですか。

答え（１）
2
解き方（１）
3で割ると2余る整数は、3 × A + 2と表すことができる。
6で割ると3余る整数は、6 × B + 3と表すことができる。
これらの整数の和は、3 × A + 2 + 6 × B + 3 となる。この数を3で割るので、
3 × (A + 2 × B + 1) + 2
と表すことができるので、求める余りは2となる。

（２）7で割ると3余る整数と、7で割ると6余る整数の和を7で割ると余りはいくつですか。

答え（２）
2
解き方（２）
割る数が同じ場合、余りの和を割った余りとなる。
(3 + 6) ÷ 7 = 1 あまり 2

問１１

（１）35で割ると商と余りが等しくなる数のうち、最も小さい数を答えなさい。

答え（１）
36
解き方（１）
商と余りaとすると、除法の原理より、35で割ると商と余りが等しくなる数は35 × a + a = 36 × aとなる。aは0より大きく35より小さい最も小さい整数なので1。よって、求める整数は36

（２）０でない整数のうち、20で割ると商と余りが等しくなる数は何個ありますか。

答え（２）
19個
解き方（２）
商と余りaとすると、除法の原理より、20で割ると商と余りが等しくなる数は20 × a + a = 21 × aとなる。aは0より大きく20より小さい整数なので、19個

（３）3けたの整数のうち、15で割ると商と余りが等しくなる数は何個ありますか。

答え（３）
8個
解き方（３）
商と余りaとすると、除法の原理より、15で割ると商と余りが等しくなる数は15 × a + a = 16 × aとなる。aは0より大きく15より小さい整数。そのうち、16 × a が3けたになるのは、
16 × 6 = 96
16 × 7 = 112
・・・
16 × 14 = 224
より、7、8、9、10、11、12、13、14の8個