算数【入試】倍数算

問1

A子さんとB子さんは同じ値段の消しゴムを買いに行きました。A子さんとB子さんの残金の比は、1個ずつ買うと13 : 21になり、5個ずつ買うと3 : 5になります。

(1) 消しゴムを7個ずつ買ったときのA子さんとB子さんの残金の比を求めなさい。

(2) 2人がはじめに持っていたお金は合計で7590円でした。消しゴム1個の値段を求めなさい。

答え(1)

23 : 39

答え(2)

55円

解き方(1)

同じ個数を買うとき、残高の差は変わらないので、比の差をそろえる。

⑬ – ⑫ = ①が消しゴム4個分の値段の比を表す。消しゴムを7個ずつ買ったときのA子さんとB子さんの残金の比は、(⑫ – \(\dfrac{①}{4}\) × 2) : (⑳ – \(\dfrac{①}{4}\) × 2) = 23 : 39

解き方(2)

A子さんとB子さんがはじめに持っていたお金の比の合計は、(⑬ + \(\dfrac{①}{4}\)) + (㉑ + \(\dfrac{①}{4}\)) = \(\dfrac{138}{4}\)で、これが7590円に相当する。
よって、消しゴム1個の値段は\(\dfrac{①}{4}\) = 55(円)

問２

はじめAさんとBさんの所持金の比は3 : 2でした。AさんがBさんに140円わたすと4 : 5になりました。Aさんのはじめの所持金は何円ですか。

答え

540円

解き方～和に注目して連比を考える～

やりとりの前後で2人の所持金の和は変わらないので、和に注目して連比を考える。

Aさんはやりとりの前後で<27> – <20> = <7> 減っているので、<7> = 140(円)、すなわち<1> = 20(円)とわかる。Aさんのはじめの所持金は<27> = 20 × 27 = 540(円)

解き方～「外項の積 = 内項の積」を利用する～

Aさんのはじめの所持金を③とすると、Bさんのはじめの所持金は②となる。AさんがBさんに140円わたしたあとの比が4 : 5なので、
(③ -140) : (② + 140) = 4 : 5
5 × (③ -140) = 4 × (② + 140)
① = 180
よって、Aさんのはじめの所持金は3 × 180 = 540(円)

問３

兄と弟の最初の所持金の比は9 : 5でした。その後、兄は靴を買い、弟は帽子を買いました。兄と弟の使った金額の比は5 : 2でした。残った金額は、兄が1800円、弟が1700円でした。

(1) 弟が買った帽子はいくらでしたか。

(2) 2人の最初の所持金の合計金額はいくらでしたか。

答え(1)

1800円

答え(2)

9800円

解き方(1)～線分図を描いて考える～

兄の最初の所持金を⑨とすると、弟の最初の所持金は⑤となる。また、靴の金額を\(\boxed{5}\)とすると、帽子の金額は\(\boxed{2}\)となる。兄と弟の所持金の変化を線分図で表し、最初の所持金の比の大きさをそろえる。

\(\boxed{25}\) – \(\boxed{18}\) = 15300 – 9000
\(\boxed{1}\) = 900
よって、帽子の金額は900 × 2 = 1800(円)

解き方(1)～「外項の積 = 内項の積」を利用する～

帽子の金額を②とすると、靴の金額は⑤となる。兄と弟の最初の所持金はそれぞれ、⑤ + 1800、② + 1700と表すことができ、その比が9 : 5である。よって、
⑤ + 1800 : ② + 1700 = 9 : 5
5 × (⑤ + 1800) = 9 × (② + 1700)
① = 900
帽子の金額②は1800円。

解き方(2)

弟の最初の所持金は、1800 + 1700 = 3500(円)である。よって、2人の最初の所持金の合計は、
3500 × \(\dfrac{14}{5}\) = 9800(円)

問４

AさんとBさんの所持金の比は5 : 1でした。BさんはAさんから750円もらい、その後Bさんは1100円使いました。すると、AさんとBさんの所持金の比は9 : 1になりました。Aさんははじめに何円持っていましたか。

答え

3000円

解き方～線分図を描いて考える～

Aさんのはじめの所持金を⑤とすると、Bさんの所持金は①と表すことができる。AさんとBさんの所持金の変化を線分図で表し、最初の所持金の比の大きさをそろえる。

\(\boxed{9}\) – \(\boxed{5}\) = 5500 – 3750 – 750
\(\boxed{1}\) = 250
よって、Aさんのはじめの所持金は9 × 250 + 750 = 3000(円)

解き方～「外項の積 = 内項の積」を利用する～

Aさんのはじめの所持金を⑤とすると、Bさんの所持金は①と表すことができる。BさんはAさんから750円もらい、その後1100円使ったので、AさんとBさんの所持金はそれぞれ⑤ – 750、① – 350となる。この比が9 : 1になることから、
⑤ – 750 : ① – 350 = 9 : 1
⑤ – 750 = 9 × (① – 350)
① = 600(円)
Aさんのはじめの所持金は⑤なので、600 × 5 = 3000円

問５

大人と子どもが何人かずついます。子どもには1人4個ずつ、大人には1人3個ずつあめを配ると、子どもと大人に配ったあめの数の合計の比は2 : 1になり、148個余りました。そこで、子どもには1人6個ずつ、大人には1人5個ずつ配りなおすと、子どもと大人に配ったあめの合計の比は9 : 5になり、8個余りました。子どもは何人いましたか。

答え

42人

解き方

子どもと大人の人数の比は、\(\dfrac{2}{4}\) : \(\dfrac{1}{3}\) = 3 : 2より、子どもの人数を③とすると、大人の人数は②となる。よって、はじめに配ったあめの個数は、③ × 4 + ② × 3 = ⑱、あとに配った個数は③ × 6 + ② × 5 = ㉘となる。 あめの総数は変わらないので、
⑱ + 148 = ㉘ + 8
① = 14
子どもの人数は、3 × 14 = 42(人)