算数【基本】平均（面積図）

平均

●式で表す
平均 = 合計 ÷ 個数
⇔ 合計 = 平均 × 個数
⇔ 個数 = 合計 ÷ 平均

●面積図
「合計 = 平均 × 個数」は図のような面積で表すことができる


例）3人の得点の平均が20点、2人の得点の平均が45点のとき
3人の得点の合計 = 面積A
2人の得点の合計 = 面積B
5人の得点の合計 = 面積C

より、A + B = C　となる。
したがって、2つの面積図を重ねると、

斜線部の面積は等しくなる。

問１

（１）あるクラスで算数のテストを行ったところ、男子25人の平均点は72点、女子20人の平均点は81点でした。このクラス全体の平均点は何点ですか。

答え（１）

76点

解き方（１）

男子25人の合計点は 25 × 72 = 1800(点)
女子20人の合計点は 20 × 81 = 1620(点)
よって、クラス全体の平均点は、
( 1800 + 1620 ) ÷ ( 25 + 20 )
= 3420 ÷ 45 = 76(点)

（２）グループAとグループBに同じ算数のテストをしました。グループAは10人で平均点は70.5点、グループBの平均点は83点です。また2つのグループを合わせた平均点は78点です。グループBの人数は何人ですか。

答え（２）

15人

解き方（２）

グループBの人数を□人として面積図をかく。

斜線部の面積が等しくなることから、
5 × □ = 7.5 × 10 = 75
□ = 15(人)

（３）Aさんは、100点満点のテストを4回受けました。1回目と2回目は同じ点数で、3回目は61点、4回目は87点、4回目までの平均点は75点でした。1回目の得点は何点ですか。

答え（３）

76点

解き方（３）

1回目の得点を□点とすると、2回目の得点も□点となる。よって、
2 × □ + 61 + 87 = 75 × 4
2 × □ + 148 = 300
2 × □ = 300 – 148 = 152
□ = 76(点)

（４）国語、算数、理科、社会の4つのテストをしました。算数以外の3つの平均点は64点でした。4つのテストの平均点を70点以上にするには、算数を何点以上とればよいですか。

答え（４）

88点

解き方（４）

平均点が70点のとき、算数を□点とすると、
64 × 3 + □ = 70 × 4
192 + □ = 280
□ = 280 – 192 = 88(点)
平均点が70点以上になるのは、算数が88点以上のとき

（５）Aさんの第1回から第□回までのテストの平均点は72点です。次のテストで100点をとると、平均点は74点になります。□に当てはまる数を答えなさい。

答え（５）

13

解き方（５）

面積図をかく。

斜線部の面積が等しくなるので、
2 × □ = 26 × 1
□ = 13(回)

（６）男子生徒60人と女子生徒40人が、算数のテストを受けました。100人全員の平均点が72.2点で、男子生徒の平均点が71点でした。女子生徒の平均点は何点でしたか。

答え（６）

74点

解き方（６）

全員の合計点は 100 × 72.2 = 7220(点)、男子の合計点は 71 × 60 = 4260(点) より、女子の合計点は、
7220 – 4260 = 2960(点)
よって女子の平均点は、
2960 ÷ 40 = 74(点)

【別解】面積図をかく。

斜線部の面積が等しくなるので、
( □ – 72.2 ) × 40 = 1.2 × 60
40 × □ – 2888 = 72
40 × □ = 72 + 2888 = 2960
□ = 2960 ÷ 40 = 74(点)

（７）男子が30人、女子が20人いるクラスで算数のテストを行ったところ、男子の平均点は女子より5点低く、男女全体の平均点は72点でした。このとき、男子の平均点は何点ですか。

答え（７）

70点

解き方（７）

男子の平均点を□点とすると、女子の平均点は ( □ + 5 ) 点となる。
全員の合計点は 50 × 72 = 3600(点) より、
30 × □ + 20 × ( □ + 5 ) = 3600
30 × □ + 20 × □ + 100 = 3600
30 × □ + 20 × □ = 3600 – 100
50 × □ = 3500
□ = 70(点)

問２

（１）算数のテストについて、次のことがわかっています。

① A、B、C 3人の平均点は72点です。

② C、D 2人の平均点は60点です。

③ A、B、D 3人の合計点は264点です。

このとき、A、B、C、D 4人の平均点は何点ですか。

答え（１）

75点

解き方（１）

A、B、C、Dそれぞれの点数をA点、B点、C点、D点とする。
①より、A + B + C = 72 × 3 = 216 ・・・(1)
②より、C + D = 60 × 2 = 120 ・・・(2)
③より、A + B + D = 261 ・・・(3)
(1) + (3) – (2)より、
A + B + C + A + B + D – ( C + D ) = 216 + 264 – 120
2 × A + 2 × B + ( C + D ) – ( C + D ) = 360
2 × ( A + B ) = 360
A + B = 180 ・・・(4)
4人の平均点は ( A + B + C + D ) ÷ 4 より、(2)+(4)より、
( A + B + C + D ) ÷ 4
= ( 180 + 120 ) ÷ 4
= 300 ÷ 4 = 75(点)

（２）A、B、C 3人の平均点は A、B、C、D、E 5人の平均点より9点低くなっています。D、E 2人の合計点は163点でした。このとき5人の平均点は何点ですか。

答え（２）

68点

解き方（２）

面積図より、斜線のところが同じ面積になるので、
ABCの3人分の面積は、3 × 9 = 27
DEの2人の平均は、27 ÷ 2 = 13.5(点)高い
DEの平均は、163 ÷ 2 = 81.5(点)なので、
5人の平均は、81.5 – 13.5 = 68(点)

【別解】式で解く
A、B、C、D、Eそれぞれの点数をA点、B点、C点、D点、E点とする。
「A、B、C 3人の平均点は A、B、C、D、E 5人の平均点より9点低い」より、
( A + B + C ) ÷ 3 = {( A + B + C + D + E ) ÷ 5 } – 9
{( A + B + C ) ÷ 3 } × 15 = [{( A + B + C + D + E ) ÷ 5 } – 9 ] × 15
5 × ( A + B + C ) = 3 × ( A + B + C + D + E ) – 135
2 × ( A + B + C ) = 3 × ( D + E ) – 135 ・・・①
「D、E 2人の合計点は163点」より、
D + E = 163 ・・・②
①を②で置き換えると、
2 × ( A + B + C ) = 3 × 163 – 135 = 354
A + B + C = 177 ・・・③
5人の平均点は ( A + B + C + D + E ) ÷ 5 より、②③で置き換えて計算すると、
( A + B + C + D + E ) ÷ 5
= ( 177 + 163 ) ÷ 5
= 340 ÷ 5 = 68(点)

（３）4人のうち、3人ずつの得点の平均は68点、75点、67点、84点でした。4人の得点の平均は何点ですか。

答え（３）

73.5点

解き方（３）

4人をA、B、C、Dすると、3人ずつの組み合わせは、( A, B, C )、 (A, B, D )、( A, C, D )、( B, C, D ) となる。よって、A、B、C、Dの得点をA点、B点、C点、D点とすると、
3 × ( A + B + C + D ) = 3 × ( 68 + 75 + 67 + 84 )
A + B + C + D = 68 + 75 + 67 + 84 = 294
4人の得点の平均は 294 ÷ 4 = 73.5(点)

問３

（１）グラフは、30人のクラスで行った10点満点のテストの点数の記録です。全体の平均点は何点ですか。

答え（１）

6.1点

解き方（１）

( 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 2 + 4 × 2 + 5 × 9 + 6 × 3 + 7 × 5 + 8 × 4 + 9 × 3 + 10 × 1 ) ÷ 30
= ( 0 + 2 + 6 + 8 + 45 + 18 + 35 + 32 + 27 + 10 ) ÷ 30
= 183 ÷ 30 = 6.1(点)

（２）30人のクラスで5点満点の算数のテストをしました。グラフはそのテストの結果を表したものです。テストの平均点は3.6点で、グラフは3点と4点のところがまだ完成していません。3点と4点をとった人はそれぞれ何人ですか。

答え（２）

3点：8人、4点：9人

解き方（２）

3点をとった人数をA人、4点をとった人数をB人とする。
全員で30人より、
2 + 3 + A + B + 8 = 30
A + B = 17 ・・・①
全員の合計点は 3.6 × 30 = 108 より、
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × A + 4 × B + 5 × 8 = 108
2 + 6 + 3 × A + 4 × B + 40 = 108
3 × A + 4 × B = 60 ・・・②
① × 4 – ②より、
A = 17 × 4 – 60 = 8(人) ・・・③
①より、
8 + B = 17
B = 9(人)

（３）表はあるクラスで5点満点のテストを行った結果をまとめたものです。このクラスの人数は30人、平均点は3.4点でした。このとき、AとBに入る数字をそれぞれ答えなさい。

答え（３）

A：2、B：7

解き方（３）

クラスの人数は30人より、
1 + 2 + A + 11 + B + 7 = 30
A + B = 9 ・・・①
合計点は 3.4 × 30 = 102 より、
0 × 1 + 1 × 2 + 2 × A + 3 × 11 + 4 × B + 5 × 7 = 102
0 + 2 + 2 × A + 33 + 4 × B + 35 = 102
2 × A + 4 × B = 32
A + 2 × B = 16 ・・・②
② – ①より、
B = 16 – 9 = 7(人) ・・・③
①より、
A + 7 = 9
A = 2(人)

（４）次の内容は、Aさんが算数のテストを7回受けたときのものです。1回目、3回目、6回目の得点は表の通りです。

㋐ 1回目から2回目、2回目から3回目は同じ点数ずつ得点が増えた。

㋑ 5回目から6回目、6回目から7回目は同じ点数ずつ得点が減った。

㋒ 4回目のテストの得点は2回目と6回目の得点の間にあり、7回のテストの平均点は整数で表すことができた。

① 2回目の得点を求めなさい。

答え（４）- ①

64点

解き方（４）- ①

㋐より、2回目の得点は、
57 + ( 71 – 57) ÷ 2
= 57 + 14 ÷ 2 = 64(点)

② 4回目の得点を求めなさい。

答え（４）- ②

67

解き方（４）- ②

㋐より、1～3回目の合計点は 64 × 3 = 192(点)
㋑より、5～7回目の合計点は 70 × 3 = 210(点)
よって、4回目の得点を□点とすると、1～7回目の合計点は ( 192 + □ + 210 ) 点と表すことができる。
㋒より、( 192 + □ + 210 ) は7の倍数である。
210 は7の倍数なので、( 192 + □ ) が7の倍数となる□を求める。
㋒より、□は 65、66、67、68、69のいずれかである。
192 + 67 = 259 = 7 × 37 より、□ = 67