算数【入試】比例と反比例

問１

A、B、C、Dの4人である仕事をすると、仕上げるのに28時間かかります。この仕事を仕上げる時間について以下の①、②、③がわかっています。

① Aが1人ですると、B、C、Dが3人でするときの4倍の時間がかかる。

② A、Bが2人ですると、C、Dが2人でするときの1.2倍の時間がかかる。

③ Cが1人ですると、Dが1人でするときの2倍の時間がかかる。

(1) Aが1人でこの仕事を仕上げるのに何時間かかりますか。

(2) Bが1人でこの仕事を仕上げるのに何時間かかりますか。

(3) Cは1人でこの仕事を始めましたが、途中からDが加わり、Cが始めてから66時間で仕上げました。C、Dが2人で仕事をしたのは何時間ですか。

答え(1)

140時間

答え(2)

110時間

答え(3)

44時間

解き方(1)

仕事の速さは、仕事にかかる時間に反比例する。①より仕事の速さの比は、A : B + C + D = \(\dfrac{1}{4}\) : 1 = 1 : 4とわかる。Aの仕事の速さを\(\boxed{1}\)とすると、4人でするときの仕事の速さは\(\boxed{5}\)であるから、すべての仕事の量は\(\boxed{5}\) × 28 = \(\boxed{140}\)となる。よってAが1人でするのにかかる時間は、
\(\boxed{140}\) ÷ \(\boxed{1}\) = 140(時間)

解き方(2)

②より仕事の速さの比は、A + B : C + D = \(\dfrac{1}{1.2}\) : 1 = 5 : 6とわかる。Aの仕事の速さを\(\boxed{1}\)とすると、

よって、よってBが1人でするのにかかる時間は、
\(\boxed{140}\) ÷ ( \(\boxed{\dfrac{25}{11}}\) – \(\boxed{1}\) ) = 110(時間)

解き方(3)

③より仕事の速さの比は、C : D = \(\dfrac{1}{2}\) : 1 = 1 : 2とわかる。Aの仕事の速さを\(\boxed{1}\)とすると、C = \(\boxed{\dfrac{30}{11}}\) × \(\dfrac{1}{3}\) = \(\boxed{\dfrac{10}{11}}\)
C、Dが2人で仕事をしたのは、
( \(\boxed{140}\) – \(\boxed{\dfrac{10}{11}}\) × 66) ÷ ( \(\boxed{\dfrac{30}{11}}\) – \(\boxed{\dfrac{10}{11}}\) ) = 44(時間)・・・つるかめ算を利用

問２

ある仕事を終えるのに機械Aは5日間、機械Bは3日間かかります。

(1) 機械Aと機械Bに同時にこの仕事をさせたとき、仕事を終えるのに何日と何時間かかりますか。

(2) 機械Aと機械Cに同時にこの仕事をさせたときと、機械Bと機械Cに同時にこの仕事をさせたときにかかった時間の比は25 : 21です。機械Cだけにこの仕事をさせたとき、仕事を終えるのに何日かかりますか。

(3) 機械Aが7台、機械Bが1台、機械Cが4台あります。この12台で、この仕事の14倍をさせるとき、仕事を始めた日時が3月1日13時であれば、終わるのは何月何日何時でしょうか。ただし、機械はすべて、毎日22時から翌日8時まで停止し、それ以外の時間はすべて仕事をさせることとします。

答え(1)

1日と21時間

答え(2)

2日

答え(3)

3月7日19時

解き方(1)

仕事の速さは仕事にかかる時間に反比例する。よって、機械AとBの仕事の速さは、A : B = \(\dfrac{1}{5}\) : \(\dfrac{1}{3}\) = 3 : 5となる。Aの仕事の速さを\(\boxed{3}\)とすると、この仕事の量は\(\boxed{3}\) × 5 = \(\boxed{15}\)となる。よって、
\(\boxed{15}\) ÷ ( \(\boxed{3}\) + \(\boxed{5}\) ) = 1\(\dfrac{7}{8}\)(日) ⇒ 1日と21時間

解き方(2)

仕事の速さは、A + C : B + C = 21 : 25となる。Aの仕事の速さを\(\boxed{3}\)とすると、
( \(\boxed{3}\) + C) : ( \(\boxed{5}\) + C) = 21 : 25
25 × ( \(\boxed{3}\) + C) = 21 × ( \(\boxed{5}\) + C)
C = \(\boxed{\dfrac{15}{2}}\)
全体の仕事の量は \(\boxed{15}\) なので、
\(\boxed{15}\) ÷ \(\boxed{\dfrac{15}{2}}\) = 2(日)

解き方(3)

Aの仕事の速さを\(\boxed{3}\)とすると、停止せずに仕事をさせたときにかかる時間は、
( \(\boxed{15}\) × 14) ÷ ( \(\boxed{3}\) × 7 + \(\boxed{5}\) + \(\boxed{\dfrac{15}{2}}\) × 4) = \(\dfrac{15}{4}\)(日) = 90(時間)
機械は1回に10時間停止し、1回目は9時間後、以降14時間ごとに1回停止する。
(90 – 9) ÷ 14 = 5余り11より、機械は全6回停止する。よって、6日後と11時間動いた日時の3月7日19時となる。

問３

イベントの食事係になりました。予算の金額で、ジュースならばちょうど84本、パンならば30個、お菓子は70個買うことができます。ジュース1本とパン1個とお菓子1個を1人分とすると、予算内で参加者全員分を買うことができ、お金は420円余ります。人数がもう1人多いと、予算では足りません。

(1) イベントの参加者は何人ですか。

(2) 予算はいくらですか。

答え(1)

16人

答え(2)

8820円

解き方(1)

ジュース84本、パン30個、お菓子70個の金額が等しいことより、それぞれ1個あたりの金額の比は個数に反比例する。よってそれぞれ1個の金額の比は、
ジュース : パン : お菓子 = \(\dfrac{1}{84}\) : \(\dfrac{1}{30}\) : \(\dfrac{1}{70}\) = 5 : 14 : 6
よって、予算は\(\boxed{5}\) × 84 = \(\boxed{420}\)、1人分の金額は 5 + 14 + 6 の\(\boxed{25}\)となる。
\(\boxed{420}\) ÷ \(\boxed{25}\) = 16余り\(\boxed{20}\)
よって、参加者は16人。

解き方(2)

\(\boxed{20}\)が420円に当たるので、
\(\dfrac{\boxed{420}}{\boxed{20}}\) × 420 = 8820(円)

問４

歯車Aと歯車Bがかみ合って回転しています。歯車Aは歯数が36個で、5分間で150回転します。歯車Bは7分間で420回転するとき、歯車Bの歯数は何個ですか。

答え

18個

解き方

歯車がかみ合うとき、同じ時間あたりに歯が送り出される数、すなわち歯数と回転数の積は一定である。よって、歯数の比は回転数に反比例する。
AとBの歯数の比は、A : B = \(\dfrac{1}{150 ÷ 5}\) : \(\dfrac{1}{420 ÷ 7}\) = 2 : 1
Bの歯数は、36 × \(\dfrac{1}{2}\) = 18(個)

問５

家から公園まで、姉は15分で、妹は20分で歩きます。2人はこの速さで25kmのハイキングコースを歩きました。姉は30分歩くごとに10分の休憩をとったので、3時間35分かかりました。妹も30分歩くごとに10分の休憩をとりました。妹は何時間何分かかりましたか。

答え

4時間50分

解き方

姉と妹が同じ距離を歩くのにかかる時間の比は、姉 : 妹 = 15 : 20 = 3 : 4である。姉が休憩をとった回数は、(3 × 60 + 35) ÷ (30 + 10) = 5余り15より5回。休憩を除いて姉がかかった時間は、215 – 5 × 10 = 165(分)となる。同じ速さで歩く場合、かかった時間は距離に比例するので、距離が変わってもかかる時間の比は同じである。休憩を除いて妹が歩くのにかかった時間は、
165 × \(\dfrac{4}{3}\) = 220(分)
妹が休憩した回数は、220 ÷ 30 = 7余り10より7回。よって、休憩を入れた時間は、
220 + 7 × 10 = 290(分) ⇒ 4時間50分