算数【基本】方陣算

方陣算
ご石などを正方形の形に並べたものを「方陣」といい、ご石の個数を求める問題を方陣算という。方陣には中がつまっているものと、中が空いているものがある。
中がつまっている方陣を「中実方陣」といいます。
全体の個数 = 1辺の個数 × 1辺の個数


中が空いている方陣を「中空方陣」といいます。
全体の個数 = ( 1辺の個数 – 1 ) × 4


【正N角形のまわりに並ぶご石の個数】
正N角形のまわりに並ぶご石の個数 = ( 1辺の個数 – 1 ) × N

問１

（１）中実方陣は、中がつまった方陣です。

① ご石を何個か並べて中実方陣を作りました。1辺に並べた個数が6個のとき、全体の個数は何個ですか。

答え（１）- ①
36個
解き方（１）- ①
6 × 6 = 36(個)

② ご石100個を並べて中実方陣を作りました。1辺に並べた個数は何個ですか。

答え（１）- ②
10個
解き方（１）- ②
100 = 10 × 10 より、10個

（２）中空方陣は、中が空いた方陣です。

① ご石を何個か並べて1列の中空方陣を作りました。1辺に並べた個数が10個のとき、全体の個数は何個ですか。

答え（２）- ①
36個
解き方（２）- ①
( 10 – 1 ) × 4 = 36(個)

② ご石80個を並べて1列の中空方陣を作りました。1辺に並べた個数は何個ですか。

答え（２）- ②
21個
解き方（２）- ②

80 ÷ 4 + 1 = 21(個)

（３）1辺に並ぶご石の数が7個の中実方陣を作りました。

① たて、横とも1列ずつ増やして新しい中実方陣にするには、あと何個のご石が必要ですか。

答え（３）- ①
15個
解き方（３）- ①

7 × 2 + 1 = 15(個)

② 外側に1まわり増やして新しい中実方陣にするには、あと何個のご石が必要ですか。

答え（３）- ②
32個
解き方（３）- ②

7 × 4 + 4 = 32(個)

【別解】1まわり増やす = 元の方陣より1辺が2個多い、1列中空方陣を作ると考える
1辺9個の1列中空方陣を作るのに必要なご石は、
( 9 – 1 ) × 4 = 32(個)

（４）ご石が何個かあります。このご石を使い、ある大きさの正方形の形にぎっしりと並べて中実方陣を作ったところ、12個のご石があまりました。そこで、正方形の1辺に並ぶご石の数を1個増やし、新しい中実方陣にしようとしたところ、ご石は9個たりませんでした。ご石は全部で何個ありますか。

答え（４）
112個
解き方（４）

12個あまり、一行一列増やしたとき9個足りないので、
一行一列増やすために必要なご石は、9 + 12 = 21(個)
元の中実方陣の1辺のご石の数は、( 21 – 1 ) ÷ 2 = 10
よって、10 × 10 + 12 = 112(個)

（５）図のようにご石を正三角形の形に並べます。

① 正三角形の1辺に並ぶご石の数が18個のとき、周りに並ぶご石は何個ですか。

答え（５）- ①
51個
解き方（５）- ①

( 18 – 1 ) × 3 = 51(個)

② 正三角形の周りに並ぶご石の数が42個のとき、1辺に並ぶご石は何個ですか。

答え（５）- ②
15個
解き方（５）- ②

42 ÷ 3 + 1 = 15(個)

（６）図のように、ご石を正方形の形になるようにすきまなく並べます。

① ご石を256個並べたとき、一番外側のご石は何個ですか。

答え（６）- ①
60個
解き方（６）- ①
256 = 16 × 16 より、一番外側の1辺のご石の個数は16個。

よって、一番外側のご石の総数は、
( 16 – 1 ) × 4 = 60(個)

② 一番外側のご石が48個のとき、並べたご石は全部で何個ですか。

答え（６）- ②
169個
解き方（６）- ②

一番外側の1辺のご石の個数は、
48 ÷ 4 + 1 = 13(個)
よって、ご石は全部で、
13 × 13 = 169(個)

（７）おはじきが113個あります。このおはじきを2周させて図のような正方形をつくったところ、9個のおはじきがあまりました。外側の1辺には何個のおはじきが並んでいますか。

答え（７）
15個
解き方（７）

図より、
2 × □ × 4 = 113 – 9
8 × □ = 104
□ = 13
よって、外側の1辺のおはじきの個数は、13 + 2 = 15(個)

問２

（１）図は白と黒のご石をある規則にしたがって並べたものです。

① 7番目の図では白と黒のご石の個数は全部で何個ですか。

答え（１）- ①
169個
解き方（１）- ①
1番目：1辺1個
2番目：1辺3個
3番目：1辺5個
7番目は、一辺13個
よって、13 × 13 = 169(個)

② 7番目の図では白のご石の個数は何個ですか。

答え（１）- ②
85個
解き方（１）- ②
1番目：白1黒0(計1)
2番目：白5黒4(計9)
3番目：白13黒12(計25)
7番目は、白□黒□(計169)
番号が増すときに増える白と黒のご石の個数は等しい。
常に白のご石は黒より1個多い。
( 169 + 1 ) ÷ 2 = 85(個)

③ 白のご石の個数が313個となるのは、何番目の図ですか。

答え（１）- ③
13番目
解き方（１）- ③
黒のご石は、白より1個少ないので、312個。白と黒のご石の個数は全部で 313 + 312 = 625(個)
625 = 25 × 25 より、1辺に並ぶご石の個数は25個。
1番目の1辺：白1黒0(計1)
2番目の1辺：白2黒1(計3)
3番目の1辺：白3黒2(計5)
7番目の1辺：白7黒6(計13)
1辺に並ぶ白のご石と□番目の数は同じ。黒は1個多い。
1辺に並ぶご石の個数は25個なので
白13黒12となり、
13番目である。

（２）図のようにご石を正三角形の形に並べていきます。

① 10番目には何個のご石が使われていますか。

答え（２）- ①
30個
解き方（２）- ①
1辺に並ぶご石の個数は 番数 + 1 (個) である。

よって、使われているご石の個数は、
10 × 3 = 30(個)

② 57個のご石が使われているのは、何番目ですか。

答え（２）- ②
19番目
解き方（２）- ②
番数は、1辺に並ぶご石の個数から1引いた数である。

57 ÷ 3 = 19(番目)

③ 1番目から20番目まで全部で何個のご石が使われていますか。

答え（２）- ③
630(個)
解き方（２）- ③

n番目のご石の個数は n × 3 と表すことができ、20番目までの個数を順に表すと、
3, 6, 9, ・・・, 60
初項が3、公差が3の20個の等差数列となる。その和が求めるご石の個数なので、
20 × ( 3 + 60 ) ÷ 2 = 630(個)

（３）ある規則にしたがって、整数を1から順に次のように並べました。

① 図7にならべた整数の中で、一番大きい整数は何ですか。

答え（３）- ①
28
解き方（３）- ①
一番大きい整数は、図を構成する整数の個数に等しい。
1辺に並んだ整数の個数は、図の番号より1大きい数なので、

7 × 4 = 28

② 図8にならべた全ての整数の和を求めなさい。

答え（３）- ②
528
解き方（３）- ②
図8を構成する整数の個数は 8 × 4 = 32(個)
よって、1～32までの整数の和を求める。
1 + 2 + ・・・ + 32
= 32 × ( 1 + 32 ) ÷ 2 = 528

③ 全ての整数の和が210となるのは何番目の図ですか。

答え（３）- ③
5番目
解き方（３）- ③
最も大きい整数を□とすると、1～□までの和が210となるので、
□ × ( 1 + □ ) ÷ 2 = 210
□ × ( 1 + □ ) = 420
20 × 21 = 420
よって、□ = 20

図の番号は、1辺にならぶ整数の個数より1小さい数より、
20 ÷ 4 = 5(番目)

（４）図のように、内側から黒、白、黒、・・・の順にご石を長方形になるように並べていきます。

① 黒、白、黒、白、黒と並べたとき、ご石は全部で何個ですか。

答え（４）- ①
99個
解き方（４）- ①
最も内側の黒のご石は縦に1個、横に3個で、その後は縦も横も2個ずつ増えていく。よって、ご石が5重に並んでいる場合、一番外側では、
縦は、1 + 2 × 4 = 9(個)
横は、3 + 2 × 4 = 11(個)
したがって、全部で 9 × 11 = 99(個)

② 全部で195個のご石を並べたとき、一番外側のご石は何色で何個ありますか。

答え（４）- ②
黒色、52個
解き方（４）- ②
横の個数は、縦の個数より常に2個多い。よって、一番外側の縦のご石の個数を□個として、全部のご石の個数を表すと、次のような式になる。
□ × ( □ + 2 ) = 195
195を素因数分解すると、
195 = 3 × 5 × 13 = 13 × 15
よって、一番外側のご石は、縦13個、横15個とわかる。
13 = 1 + 2 × 6 より、一番外側は7番目(奇数)より、ご石の色は黒。

ご石の個数は、13 × 4 = 52(個)