算数【応用】方陣算

問１

図のように、何個かのご石を、たて・横が同じ数になるように並べると、7 個あまりました。さらに、たて・横 1 列ずつ増やすには、あと 16 個足りません。ご石は全部で何個ですか。

答え
128 個
解き方

たて・横 1 列ずつ増やすために必要なご石の数は 7 + 16 = 23 [個] より、増やす前に並べたご石の 1 辺の数は、
( 23 – 1 ) ÷ 2 = 11 [個]
よって全部のご石の数は、
11 × 11 + 7 = 128 [個]

問２

図のように、ご石を並べて正方形を増やしていきます。

（１）1 番目の図から 2 番目の図では、正方形の形が 2 つ増えています。3 番目の図から 4 番目の図では正方形はいくつ増えますか。ただし、正方形は 1 番目の図と同じ大きさのものだけを数えることとします。

答え（１）
4 つ
解き方（１）

図より、4 つ増える。

（２）3 番目の図から 4 番目の図を作るには、何個のご石を足せばよいですか。

答え（２）
26 個
解き方（２）

図より、
8 × 2 + 5 × 2
= 16 + 10 = 26 [個]

（３）4 番目の図では、ご石は全部で何個ありますか。

答え（３）
75 個
解き方（３）

図より、
12 + 8 × 6 + 5 × 3
= 12 + 48 + 15 = 75 [個]

（４）□ 番目の図を作るには、一つ前の ( □ – 1 ) 番目の図にご石を 56 個足す必要があります。□ にあてはまる数はいくつですか。

答え（４）
10
解き方（４）

( □ – 1 ) 番目の図から □ 番目の図を作るとき、正方形は □ 個増える。
このとき、2 個の ■ 部分のご石はそれぞれ 8 個増え、( □ – 2 ) 個の ■ 部分のご石はそれぞれ 5 個増える。よって、次の式が成り立つ。
8 × 2 + 5 × ( □ – 2 ) = 56
16 + 5 × ( □ – 2 ) = 56
5 × ( □ – 2 ) = 56 – 16 = 40
□ – 2 = 8
□ = 8 + 2 = 10

問３

大きな方眼紙があります。その方眼紙のたての線と横の線が交わってできる点を格子こうし点と呼びます。以下の手順にしたがって格子点に白い石を並べ、白い石の置かれた方眼を塗りつぶします。

【手順１】正方形の 4 辺が方眼紙のたて横の線上にある正方形を一つ作り、その辺上のすべての格子点に白い石を置きます。

【手順２】【手順１】で白い石を置いた格子点をひとつの頂点とする方眼をすべて塗りつぶします。白い石が 16 個ある場合は次の図のようになり、方眼は 32 ヶ所塗りつぶします。

（１）【手順１】で使用した白い石が全部で 32 個だったとすると、【手順２】で塗りつぶした方眼は何ヶ所ですか。

答え（１）
64 ヶ所
解き方（１）
白い石が全部で 32 個のとき、正方形の 1 辺に並ぶ石の数は、
32 ÷ 4 + 1 = 9 [個]
このとき石の外側の方眼は 1 辺 9 + 1 = 10 [ヶ所] 塗りつぶされる。
また、石の内側の方眼は 1 辺 9 – 1 = 8 [ヶ所] 塗りつぶされる。
したがって、全部で、
( 10 – 1 ) × 4 + ( 8 – 1 ) × 4
9 × 4 + 7 × 4
= 36 + 28 = 64 [ヶ所]

（２）白い石は 70 個までしか用意できませんでした。このとき、できるだけ多くの方眼を塗りつぶすように白い石を置きます。塗りつぶすことができる方眼は最大何ヶ所ですか。

答え（２）
136 ヶ所
解き方（２）
70 個の石でできる最大の正方形を作ったとき、塗りつぶす方眼の数も最大となる。
70 以下で最大の 4 の倍数は 68 より、最大の正方形の 1 辺に並ぶ石の数は、
68 ÷ 4 + 1 = 18 [個]
このとき石の外側の方眼は 1 辺 18 + 1 = 19 [ヶ所] 塗りつぶされる。
また、石の内側の方眼は 1 辺 18 – 1 = 17 [ヶ所] 塗りつぶされる。
したがって、全部で、
( 19 – 1 ) × 4 + ( 17 – 1 ) × 4
= 18 × 4 + 16 × 4
= 72 + 64 = 136 [ヶ所]

問４

下の図のように、同じ大きさの正方形のタイル 300 枚を、すき間なくしきつめて、長方形をつくりました。周囲のタイルは 66 枚です。長方形の長いほうの辺には、何枚のタイルがしきつめられていますか。

答え
20 枚
解き方

長方形の長いほうの辺に □ 枚のタイルがあるとすると、短いほうの辺にあるタイルは、
( 66 – 2 × □ ) ÷ 2 + 2 = 35 – □ [枚]
と、表すことができる。
タイルは全部で 300 枚あるので、次の式が成り立つ。
□ × ( 35 – □ ) = 300
この式から、□ は 35 より小さく、35 – □ より大きい整数であることがわかる。
この条件で積が 300 となるのは、
30 × 10 ⇒ 35 – 10 = 15 ≠ 10
25 × 12 ⇒ 35 – 25 = 10 ≠ 12
20 × 15 ⇒ 35 – 20 = 15
よって、□ = 20 [枚]

問５

ご石が何個かあります。これらのご石を並べて、たて 1 列と横 1 列の個数の比が 1：2 の長方形をつくります。はじめに、ある大きさの長方形をつくったところ、32 個のご石があまりました。そこで、たてと横の個数の比は変えずにもうひとまわり大きい長方形をつくろうとしたところ、18 個たりなくなりました。

（１）はじめにつくった長方形のたて 1 列に並んでいるご石の数は何個ですか。

答え（１）
12 個
解き方（１）

はじめにつくった長方形のたて 1 列に並んでいるご石の数を ① とすると、横 1 列に並んでいるご石の数は ② と表すことができ、次の式が成り立つ。
① × 2 + ② + 2 = 32 + 18
② + ② + 2 = 50
④ = 48
① = 12 [個]

（２）ご石は全部で何個ありますか。

答え（２）
320 個
解き方（２）
12 × 12 × 2 + 32
= 144 × 2 + 32
= 288 + 32 = 320 [個]

問６

4 以上の整数について以下のルールに従したがって、円形のカードに数字を書いて並べていきます。

① 正三角形の一辺にカードを並べます。

　整数「4」について考えると、【図１】のように、一辺に 4 枚、合計で 9 枚のカードを並べます。

　整数「5」について考えると、【図２】のように、一辺に 5 枚、合計で 12 枚のカードを並べます。

　このようにしてできた正三角形について、一辺に □ 枚あるときは、「□ 型正三角形」と呼ぶことにします。

② 「□ 型正三角形」のそれぞれのカードには、□ の数字をくり返しかけ合わせた結果の一の位の数字を、【図１】や【図２】のように、A の場所から反時計回りに B、C の順に進み、D の場所まで書き並べます。

　例えば【図３】のように、「4 型正三角形」では、4 をくり返しかけ合わせると、一の位の数字は「4, 6, 4, 6, 4, 6, ・・・」となるので、それらを順に書き並べます。

（１）「9 型正三角形」には、合計で何枚のカードを並べていますか。

答え（１）
24 枚
解き方（１）
「9 型正三角形」では一辺に 9 枚のカードが並べられているので、
( 9 – 1 ) × 3 = 24 [枚]

（２）「17 型正三角形」において、B、C、D にあてはまる数字を求めなさい。

答え（２）
B：7　C：7　D：1
解き方（２）
2 けた以上のある整数をくり返しかけ合わせた一の位の数字は、ある整数の一の位をくり返しかけ合わせた一の位の数字と等しいことから、17 をくり返しかけ合わせた一の位の数字は、7 をくり返しかけ合わせた一の位の数字と等しくなる。
よって、A から順に「7, 9, 3, 1」の 4 個の数字のくり返しとなる。
また、カードを左から A、B、C、D の順に並べると、下の図のようになる。

B、C の番数は 4 の倍数 + 1 より、7
D の番数は 4 の倍数より、1

（３）「53 型正三角形」において、並べているカードの数字の合計はいくつになりますか。

答え（３）
780
解き方（３）
53 をくり返しかけ合わせた一の位の数字は、A から順に「3, 9, 7, 1」の 4 個の数字のくり返しとなる。
また、カードは全部で ( 53 – 1 ) × 3 = 156 [枚] ある。
156 ÷ 4 = 39 より、
( 3 + 9 + 7 + 1 ) × 39
= 20 × 39 = 780

（４）十の位が「1」の 2 けたの整数の中に、ルールに従って並べたとき、A、B、C の場所にあるカードの数字がすべて異なる整数があります。このような整数をすべて答えなさい。

答え（４）
12, 18
解き方（４）
「10」「11」「15」「16」はすべてのカードの数字が同じになる。
「13」「17」をくり返しかけ合わせた一の位の数字は 4 個の数字のくり返しとなり、A、B、C の番数はすべて 4 の倍数 + 1 となりすべて同じ数字が入る。
「14」「19」をくり返しかけ合わせた一の位の数字は 2 個の数字のくり返しとなり、A、B、C のうち少なくとも 2 つは同じ数字が入る。
12 をくり返しかけ合わせた一の位の数字は、A から順に「2, 4, 8, 6」の 4 個の数字のくり返しとなる。A は 1 番目の数字より 2、B は 12 番目の数字より 6、C は 23 番目の数字より 8 ⇒ すべて異なる数字
18 をくり返しかけ合わせた一の位の数字は、A から順に「8, 4, 2, 6」の 4 個の数字のくり返しとなる。A は 1 番目の数字より 8、B は 18 番目の数字より 4、C は 35 番目の数字より 2 ⇒ すべて異なる数字
よって、12 と 18