算数【基本】樹形図

問１

A、B、C、D、Eの5人が並びます。AとBがこの順で並び、さらにBが最後にならないようにするとき、並び方は何通りありますか。

答え

18通り

解き方

A – Bの順は決まっているので、\(\boxed{A-B}\) を1組として考える。
求める \(\boxed{A-B}\)、C、D、Eの並び方を樹形図で示した。


【別解】　順列の式で解く
\(\boxed{A-B}\) を1組とし、すべての \(\boxed{A-B}\)、C、D、Eの並び方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24(通り)
そのうち、\(\boxed{A-B}\) が最後になる並び方は、
3 × 2 × 1 × 1 = 6(通り)
よって求める並び方は、24 – 6 = 18(通り)

問２

1000円札1枚、500円硬貨2枚、100円硬貨3枚で支払える金額は何通りありますか。

答え

19通り

解き方

組み合わせを樹形図で示した。


19通り

問３

1⃣、2⃣、3⃣、4⃣の番号の書かれた箱が1個ずつと、①、②、③、④の番号の書かれた玉が1個ずつあります。4個の箱に玉をそれぞれ1個ずつ入れるとき、箱の番号と中に入れた玉の番号がすべて異なる場合は何通りありますか。

答え

9通り

解き方

条件に合う組み合わせを樹形図で示した。

9通り

問４

100円玉、50円玉、10円玉がたくさんあります。合計が300円になる組み合わせは全部で何通りありますか。

答え

16通り

解き方

300円になる組み合わせを樹形図で示した。

16通り

問５

1⃣、2⃣、3⃣、4⃣枚のカードから3枚を並べて3けたの整数をつくります。230より大きい数は何個ありますか。

答え

16通り

解き方

230より大きくなる組み合わせを樹形図で示した。

16通り

問６

0⃣、1⃣、2⃣、4⃣、5⃣の5枚のカードから3枚を選び、3けたの数をつくります。このとき、421は小さい方から数えて何番目ですか。

答え

32番目

解き方

百の位が1または2となる3けたの数は、2 × 4 × 3 = 24(個) ある。
百の位が4、十の位が0または1の3けたの数は、1 × 2 × 3 = 6(個)ある。
百の位が4、十の位が2の3けたの数は、

421は2番目
よって、421は小さい方から 24 + 6 + 2 = 32番目

※樹形図ですべてを書き出しても良いが、数が多いと、書き出すのに時間がかかったり、数え間違いも生じやすい。計算式も利用しよう！

問７

下記２つのルールに従って、コインが0枚になるまで操作をくり返します。

● コインの枚数が奇数の場合は、1枚引かれる。

● コインの枚数が偶数の場合は、半分の枚数になる。

（１）最初のコインの枚数が6枚のとき、6 → 3 → 2 → 1 → 0 と4回の操作でコインが0枚になります。コインが10枚のとき、何回の操作でコインが0枚になりますか。

答え（１）

5回

解き方（１）

10 → 5 → 4 → 2 → 1 → 0 より5回

（２）5回の操作でコインが0枚になるのは、最初のコインが何枚のときですか。すべて答えなさい。

答え（２）

7枚、9枚、10枚、12枚、16枚

解き方（２）

逆算すると、

7, 9, 10, 12, 16(枚)

（３）表は、操作の回数と最初のコインの枚数の関係をまとめたものです。㋐、㋑に当てはまる数をそれぞれ答えなさい。

答え（３）

㋐：8　㋑：21

解き方（３）

逆算すると、奇数の前は偶数の1通り、偶数の前は奇数と偶数の2通りが考えられる。

㋐8通り、㋑21通り