- 角度
- 【等しい角】
① 直線がつくる角
●対頂角：2本の直線が交わったときにできる、向かい合った角どうしのことで、必ず等しい。
●同位角：2本の直線に、1本の直線が交わるときにできる角の関係。2本の直線が平行なとき、同位角は等しい。
●錯角：2本の直線に、1本の直線が交わるときにできる角の関係。2本の直線が平行なとき、錯角は等しい。
② 折り返した角
同じ記号の角は等しい。
【多角形】
●3本以上の辺で囲まれた図形のことを「多角形」といい、辺の長さと角がすべて等しい多角形を「正多角形」という。
●n角形の内角の和：180 × ( n – 2 ) (度)
例えば、三角形は180°、四角形は360°
●n角形の外角の和：どのような多角形も360°となる。
- 三角形と角度
- 【内角と外角】
●内角の和：㋐ + ㋑ + ㋒ = 180(°)
●内角と外角の関係：外角 = ㋐ + ㋑
【特別な三角形】
①二等辺三角形：2つの辺の長さが等しい三角形
●頂角：長さの等しい2つの辺で作られた角。
●底角：頂角以外の残りの2つ角で、大きさは等しい。
②正三角形：3つの辺の長さが等しい三角形
●内角の大きさはすべて等しく、その大きさは60°である。
③三角定規：正三角形を半分にした直角三角形と、正方形を半分にした直角二等辺三角形の2つの形がある。
- 平行四辺形と角度
- 平行四辺形：2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形（長方形・正方形・ひし形も含まれる）
●向かい合う角の大きさは等しい。
●向かい合う辺の長さは等しい。
ひし形：4つの辺の長さが等しい四角形
●向かい合う角の大きさは等しい。
●向かい合う辺がそれぞれ平行である。
●対角線は直交する。
問１
□の値を求めなさい。
（１）
- 答え（１）
- 76
- 解き方（１）
34 + 42 = 76(°)
（２）
- 答え（２）
- 53
- 解き方（２）
27 + 26 = 53(°)
（３）
- 答え（３）
- 28
- 解き方（３）
62 – 34 = 28(°)
（４）図の○と×は、それぞれ角の大きさが等しいことを表しています。
- 答え（４）
- 59
- 解き方（４）
ア + イ = 180 -62 = 118
ア + イ + 2 × ( ○ + × ) = 360
118 + 2 × ( ○ + × ) = 360
2 × ( ○ + × ) = 360 – 118 = 242
○ + × = 242 ÷ 2 = 121
□ = 180 – ( ○ + × )
□ = 180 – 121 = 59(°)
問２
角度㋐、㋑、㋒を求めなさい。
- 答え
- ㋐ 60° ㋑ 76° ㋒ 44°
- 解き方
㋐ = 180 – 120 = 60(°)
㋑ = 136 – 60 = 76(°)
㋒ = 180 – 136 = 44(°)
問３
□の値を求めなさい。
（１）長方形の紙の角㋐を㋐’に折り、次に角㋑を㋑’へと折りました。
- 答え（１）
- 36
- 解き方（１）
※等しい角を記入する。
72 – 36 = 36(°)
（２）辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形ABCがあります。辺AB上の点をD、辺BC上の点をEとして、この三角形をDとEで結んだ線で折り返しました。
- 答え（２）
- 68
- 解き方（２）
※等しい角を記入する。
角DBE(●) = ( 180 – 52 ) ÷ 2 = 64(°)
□ = 180 – ( 64 + 48 ) = 68(°)
問４
（１）2つの正三角形を各辺が平行になるように重ね合わせました。 □の値を求めなさい。
- 答え（１）
- 120
- 解き方（１）
正三角形の内角は60°
□ = 60 + 60 = 120(°)
（２）図は1組の三角定規を重ね合わせたものです。角㋐と角㋑の大きさを求めなさい。
- 答え（２）
- ㋐ 60° ㋑ 75°
- 解き方（２）
㋐ = 60(°)
㋑ = 180 – ( 45 + 60 ) = 75(°)
（３）辺ABと辺AD、辺ACと辺BCの長さがそれぞれ等しいとき、□の値を求めなさい。 □の値を求めなさい。
- 答え（３）
- 39
- 解き方（３）
三角形ABCはAC = BCの二等辺三角形より、角ACB = 180 – 73 × 2 = 34(°)
□ = 73 – 34 = 39(°)
（４）2種類の三角定規を図のように重ね合わせました。□の値を求めなさい。
- 答え（４）
- 165
- 解き方（４）
□ = 30 + 90 + 45 = 165(°)
（５）□の値を求めなさい。
- 答え（５）
- 100
- 解き方（５）
- 3 × ( ● + × ) = 180 – 60 = 120(°)
( ● + × ) = 40(°)
□ = 180 – 2 × ( ● + × )
□ = 180 – 2 × 40 = 100(°)
【別解】特殊な形に注目する。
□ = 60 + ( ● + × )
□ = 60 + 40 = 100(°)
（６）三角形ABCと三角形ADEは同じ大きさの直角二等辺三角形です。このとき、□の値を求めなさい。
- 答え（６）
- 143
- 解き方（６）
□ = ( 90 – 37 ) + 2 × 45
□ = 53 + 90 = 143(°)
【別解】
□ = 180 – 37 = 143(°)
（７）□の値を求めなさい。
- 答え（７）
- 30
- 解き方（７）
□ = 100 – 70 = 30(°)
（８）○印のついた角の和を求めなさい。
- 答え（８）
- 180°
- 解き方（８）
○1 + ○2 + ○3 + ○4 + ○5 は三角形の内角の和に等しい。したがって、180°
【別解】
○1 + ○2 + ○3 + ○4 + ○5 は三角形の内角の和に等しい。したがって、180°
（９）アの角度と同じ大きさは、○に中に何個ありますか。また、アの角度を求めなさい。
- 答え（９）
- 3個、36°
- 解き方（９）
図より、アの角度と同じ大きさの○は3個。
2つの○と1つの●（ア）の和は180°になる。
また、○ = 2 × アより、
2 × ○ + ア = 180
2 × 2 × ア + ア = 180
5 × ア = 180
ア = 36(°)
問５
正八角形の1つの内角は何度ですか。
- 答え
- 135度
- 解き方
- n角形の内角の和は 180 × ( n – 2 ) で求められる。
八角形の内角の和は、180 × ( 8 – 2 ) = 1080(°)
正八角形の内角はすべて等しいので、1080 ÷ 8 = 135(°)
【別解】三角形に分割する
多角形の内角の和は、1つの頂点を共有するそれぞれの三角形のすべての角の和に等しい。
八角形の場合、1つの頂点を共有する三角形は6個できる。
よって、八角形の内角の和は、
180 × 6 = 1080(°)
1080 ÷ 8 = 135(°)
問６
（１）□の値を求めなさい。
- 答え（１）
- 62
- 解き方（１）
六角形の内角の和は 180 × ( 6 – 2 ) = 720(°) より、
㋐ = 720 – ( 90 + 124 + 119 + 166 + 103 ) = 118(°)
□ = 180 – 118 = 62(°)
（２）平行な直線の間に、正六角形をかきました。角㋐の大きさが、角㋑の大きさの3倍のとき、角㋐の大きさは何度ですか。
- 答え（２）
- 45度
- 解き方（２）
正六角形の内角の和は 180 × ( 6 – 2 ) = 720(°) より、1つの内角の大きさは 720 ÷ 6 = 120(°)
角㋐の大きさは角㋑の大きさの3倍より、
㋐ = 3 × ㋑ ・・・①
㋐ + ㋑ = 60 ・・・②
②を①で置き換えると、
3 × ㋑ + ㋑ = 60
4 × ㋑ = 60
㋑ = 15
㋐ = 3 × ㋑ = 3 × 15 = 45(°)
（３）□の値を求めなさい。
- 答え（３）
- 128
- 解き方（３）
五角形の内角の和は 180 × ( 5 – 2 ) = 540(°) より、
□ = 540 – ( 45 + 67 + 270 + 30 ) = 128(°)
（４）正五角形に対角線を引きました。このとき、□の値を求めなさい。
- 答え（４）
- 72
- 解き方（４）
正五角形の内角の和は 180 × ( 5 – 2 ) = 540(°) より、1つの内角の大きさは 540 ÷ 5 = 108(°)
平行四辺形の向かい合う角は等しい。よって、
□ = 180 – 108 = 72(°)
（５）図の多角形の内角の和を求めなさい。
- 答え（５）
- 900
- 解き方（５）
- n角形の内角の和は 180 × ( n – 2 ) で求められる。
この図は七角形なので、内角の和は、180 × ( 7 – 2 ) = 900(°)
【別解】三角形に分割する
多角形の内角の和は、1つの頂点を共有するそれぞれの三角形のすべての角の和に等しい。
七角形の場合、1つの頂点を共有する三角形は5個できる。
よって、七角形の内角の和は、
180 × 5 = 900(°)
問７
□の値を求めなさい。
（１）
- 答え（１）
- 150
- 解き方（１）
360 – ( 60 + 2 × 75 ) = 150(°)
（２）
- 答え（２）
- 20
- 解き方（２）
角BAC = 70°より、△ABCはAC = BCの二等辺三角形
角BDC = 35°より、△BCDはBC = CDの二等辺三角形
よって、△ACDはAC = CDの二等辺三角形なので、角ADC = 55°より、
□ = 55 – 35 = 20(°)
（３）平行四辺形と直角二等辺三角形を組み合わせた図形です。
- 答え（３）
- 45
- 解き方（３）
□ = 45(°)