算数【基本】角度
- 角度
- 【等しい角】
① 直線がつくる角
●対頂角：2 本の直線が交わったときにできる、向かい合った角どうしのことで、必ず等しい。
●同位角：2 本の直線に、1 本の直線が交わるときにできる角の関係。2 本の直線が平行なとき、同位角は等しい。
●錯角：2 本の直線に、1 本の直線が交わるときにできる角の関係。2 本の直線が平行なとき、錯角は等しい。
② 折り返した角
同じ記号の角は等しい。
【多角形】
●3 本以上の辺で囲まれた図形のことを「多角形」といい、辺の長さと角がすべて等しい多角形を「正多角形」という。
●n 角形の内角の和：180 × ( n – 2 ) [度]
例えば、三角形は 180°、四角形は 360°
●n 角形の外角の和：どのような多角形も 360° となる。
- 三角形と角度
- 【内角と外角】
●内角の和：㋐ + ㋑ + ㋒ = 180 [°]
●内角と外角の関係：外角 = ㋐ + ㋑
【特別な三角形】
①二等辺三角形：2 つの辺の長さが等しい三角形
●頂角：長さの等しい 2 つの辺で作られた角。
●底角：頂角以外の残りの 2 つ角で、大きさは等しい。
②正三角形：3つの辺の長さが等しい三角形
●内角の大きさはすべて等しく、その大きさは 60° である。
③三角定規：正三角形を半分にした直角三角形と、正方形を半分にした直角二等辺三角形の 2 つの形がある。
- 平行四辺形と角度
- 平行四辺形：2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形（長方形・正方形・ひし形も含まれる）
●向かい合う角の大きさは等しい。
●向かい合う辺の長さは等しい。
ひし形：4 つの辺の長さが等しい平行四辺形
●向かい合う角の大きさは等しい。
●向かい合う辺がそれぞれ平行である。
●対角線は直交する。
問１
□ の値を求めなさい。
（１）
- 答え（１）
- 76
- 解き方（１）
34 + 42 = 76 [°]
（２）
- 答え（２）
- 53
- 解き方（２）
27 + 26 = 53 [°]
（３）
- 答え（３）
- 28
- 解き方（３）
62 – 34 = 28 [°]
（４）図の ○ と × は、それぞれ角の大きさが等しいことを表しています。
- 答え（４）
- 59
- 解き方（４）
ア + イ = 180 – 62 = 118 ・・・ ①
ア + イ + 2 × ( ○ + × ) = 360 ・・・ ②
② を ① で置き換えると、
118 + 2 × ( ○ + × ) = 360
2 × ( ○ + × ) = 360 – 118 = 242
○ + × = 242 ÷ 2 = 121 ・・・ ③
□ = 180 – ( ○ + × ) ・・・ ④
④ を ③ で置き換えると、
□ = 180 – 121 = 59 [°]
問２
角度 ㋐、㋑、㋒を求めなさい。
- 答え
- ㋐ 60° ㋑ 76° ㋒ 44°
- 解き方
㋐ = 180 – 120 = 60 [°]
㋑ = 136 – ㋐ = 136 – 60 = 76 [°]
㋒ = 180 – 136 = 44 [°]
問３
□ の値を求めなさい。
（１）長方形の紙の角 ㋐ を ㋐’ に折り、次に角 ㋑ を ㋑’ へと折りました。
- 答え（１）
- 36
- 解き方（１）
※等しい角を記入する。
72 – 36 = 36 [°]
（２）辺 AB と辺 AC の長さが等しい二等辺三角形 ABC があります。辺 AB 上の点を D、辺 BC 上の点を E として、この三角形を D と E で結んだ線で折り返しました。
- 答え（２）
- 68
- 解き方（２）
※等しい角を記入する。
角 DBE (●) = ( 180 – 52 ) ÷ 2 = 64 [°]
□ = 180 – ( 64 + 48 ) = 68 [°]
問４
（１）2 つの正三角形を各辺が平行になるように重ね合わせました。 □ の値を求めなさい。
- 答え（１）
- 120
- 解き方（１）
正三角形の内角は60°
□ = 60 + 60 = 120 [°]
（２）図は1組の三角定規を重ね合わせたものです。角㋐と角㋑の大きさを求めなさい。
- 答え（２）
- ㋐ 60° ㋑ 75°
- 解き方（２）
㋐ = 60 [°]
㋑ = 180 – ( 45 + 60 ) = 75 [°]
（３）辺 AB と辺 AD、辺 AC と辺 BC の長さがそれぞれ等しいとき、□ の値を求めなさい。
- 答え（３）
- 39
- 解き方（３）
三角形 ABC は AC = BC の二等辺三角形より、角 ACB = 180 – 73 × 2 = 34 [°]
□ = 73 – 34 = 39 [°]
（４）2 種類の三角定規を図のように重ね合わせました。□ の値を求めなさい。
- 答え（４）
- 165
- 解き方（４）
□ = 30 + 90 + 45 = 165 [°]
（５）□ の値を求めなさい。
- 答え（５）
- 100
- 解き方（５）
- 3 × ( ● + × ) = 180 – 60 = 120 [°]
( ● + × ) = 40 [°]
□ = 180 – 2 × ( ● + × )
□ = 180 – 2 × 40 = 100 [°]
【別解】特殊な形に注目する。
□ = 60 + ( ● + × )
□ = 60 + 40 = 100 [°]
（６）三角形 ABC と三角形 ADE は同じ大きさの直角二等辺三角形です。このとき、□ の値を求めなさい。
- 答え（６）
- 143
- 解き方（６）
□ = ( 90 – 37 ) + 2 × 45
□ = 53 + 90 = 143 [°]
【別解】
□ = 180 – 37 = 143 [°]
（７）□ の値を求めなさい。
- 答え（７）
- 30
- 解き方（７）
□ = 100 – 70 = 30 [°]
（８）○ 印のついた角の和を求めなさい。
- 答え（８）
- 180°
- 解き方（８）
○1 + ○2 + ○3 + ○4 + ○5 は三角形の内角の和に等しい。したがって、180°
【別解】
○1 + ○2 + ○3 + ○4 + ○5 は三角形の内角の和に等しい。したがって、180°
（９）アの角度と同じ大きさは、○ に中に何個ありますか。また、アの角度を求めなさい。
- 答え（９）
- 3個、36°
- 解き方（９）
図より、アの角度と同じ大きさの ○ は 3 個。
2 つの ○ と 1 つの ●（ア）の和は 180° になる。
また、○ = 2 × アより、
2 × ○ + ア = 180
2 × 2 × ア + ア = 180
5 × ア = 180
ア = 36 [°]
問５
正八角形の 1 つの内角は何度ですか。
- 答え
- 135 度
- 解き方
- n 角形の内角の和は 180 × ( n – 2 ) で求められる。
八角形の内角の和は、180 × ( 8 – 2 ) = 1080 [°]
正八角形の内角はすべて等しいので、1080 ÷ 8 = 135 [°]
【別解】三角形に分割する
多角形の内角の和は、1 つの頂点を共有するそれぞれの三角形のすべての角の和に等しい。
八角形の場合、1 つの頂点を共有する三角形は 6 個できる。
よって、八角形の内角の和は、
180 × 6 = 1080 [°]
1080 ÷ 8 = 135 [°]
問６
（１）□ の値を求めなさい。
- 答え（１）
- 62
- 解き方（１）
六角形の内角の和は 180 × ( 6 – 2 ) = 720 [°] より、
㋐ = 720 – ( 90 + 124 + 119 + 166 + 103 ) = 118 [°]
□ = 180 – 118 = 62 [°]
（２）平行な直線の間に、正六角形をかきました。角 ㋐ の大きさが、角 ㋑ の大きさの 3 倍のとき、角 ㋐ の大きさは何度ですか。
- 答え（２）
- 45 度
- 解き方（２）
正六角形の内角の和は 180 × ( 6 – 2 ) = 720 [°] より、1 つの内角の大きさは 720 ÷ 6 = 120 [°]
角 ㋐ の大きさは角 ㋑ の大きさの 3 倍より、
㋐ = 3 × ㋑ ・・・①
㋐ + ㋑ = 60 ・・・②
②を①で置き換えると、
3 × ㋑ + ㋑ = 60
4 × ㋑ = 60
㋑ = 15
㋐ = 3 × ㋑ = 3 × 15 = 45 [°]
（３）□ の値を求めなさい。
- 答え（３）
- 128
- 解き方（３）
五角形の内角の和は 180 × ( 5 – 2 ) = 540 [°] より、
□ = 540 – ( 45 + 67 + 270 + 30 ) = 128 [°]
（４）正五角形に対角線を引きました。このとき、□ の値を求めなさい。
- 答え（４）
- 72
- 解き方（４）
正五角形の内角の和は 180 × ( 5 – 2 ) = 540 [°] より、1つの内角の大きさは 540 ÷ 5 = 108 [°]
平行四辺形の向かい合う角は等しい。よって、
□ = 180 – 108 = 72 [°]
（５）図の多角形の内角の和を求めなさい。
- 答え（５）
- 900
- 解き方（５）
- n角形の内角の和は 180 × ( n – 2 ) で求められる。
この図は七角形なので、内角の和は、180 × ( 7 – 2 ) = 900 [°]
【別解】三角形に分割する
多角形の内角の和は、1 つの頂点を共有するそれぞれの三角形のすべての角の和に等しい。
七角形の場合、1 つの頂点を共有する三角形は 5 個できる。
よって、七角形の内角の和は、
180 × 5 = 900 [°]
問７
□ の値を求めなさい。
（１）
- 答え（１）
- 150
- 解き方（１）
360 – ( 60 + 2 × 75 ) = 150 [°]
（２）
- 答え（２）
- 20
- 解き方（２）
角 BAC = 70° より、△ABC は AC = BC の二等辺三角形
角 BDC = 35° より、△BCD は BC = CD の二等辺三角形
よって、△ACD は AC = CD の二等辺三角形なので、角 ADC = 55°より、
□ = 55 – 35 = 20 [°]
（３）平行四辺形と直角二等辺三角形を組み合わせた図形です。
- 答え（３）
- 45
- 解き方（３）
□ = 45 [°]
