算数【応用】角度

問１

解き方: 内角と外角の関係を利用する。
角イ = 角 ACD + 角 CDE と表すことができる。
角 ACD = 180 – 60 = 120 [°]
角 CDE = 角 BCF = 180 – ( 87 + 60 ) = 33 [°]
よって、角イ = 120 + 33 = 153 [°]

【別解】

角イ = 角 CAB + 角 ABC + 角 CDE と表すことができる。
角 CAB = 角 ABC = 60°
角 CDE = 角 BCF = 180 – ( 87 + 60 ) = 33 [°]
よって、角イ = 60 + 60 + 33 = 153 [°]

解き方: 図のように印のついた角に①～⑦の番号をつけ、印のない角には記号をつけると、以下の式が成り立つ。
① + ② + ⑤ + ⑦ + △ = 360 ・・・（ア）
③ + ④ + ⑤ + ⑦ + ○ = 360 ・・・（イ）
⑤ + ○ = ⑥ + ▲ ・・・（ウ）
⑦ + △ = ⑥ + ◎ ・・・（エ）
（ウ）+（エ）より、
⑤ + ⑦ + ○ + △ = 2 × ⑥ + ▲ + ◎・・・（オ）
▲ + ◎ = 180 – ⑥ より、
⑤ + ⑦ + ○ + △ = 2 × ⑥ + 180 – ⑥
⑤ + ⑦ + ○ + △ = ⑥ + 180 ・・・（オ）’
（ア）+（イ）より、
① + ② + ③ + ④ + ⑤ + ⑦ + ( ⑤ + ⑦ + ○ + △ ) = 720 ・・・（カ）
（カ）を（オ）で置き換えると、
① + ② + ③ + ④ + ⑤ + ⑦ + ⑥ + 180 = 720
① + ② + ③ + ④ + ⑤ + ⑥ + ⑦ = 720 – 180 = 540 [°]

解き方: 角 BAE（×）の大きさは、90 – 63 = 27 [°]
よって、角 DAF = 90 – 27 × 2 = 36 [°]
△ADF は AD = AF の二等辺三角形より、
ア = ( 180 – 36 ) ÷ 2 = 72 [°]

解き方: 内角と外角の関係より、以下の式が成り立つ。
ア + ○ = 112 ・・・①
112 + 2 × ● = 138 ・・・②
○ + ● = 180 – 138 = 42 ・・・③
② より、
2 × ● = 138 – 112 = 26
● = 13
③ より、
○ = 42 – ● = 42 – 13 = 29
① より、
ア = 112 – ○ = 112 – 29 = 83 [°]

解き方: 正五角形の内角の和は 180 × ( 5 – 2 ) = 540 [°] より、1 つの内角の大きさは 540 ÷ 5 = 108 [°]
正三角形の 1 つの内角の大きさは 60°
したがって、× = 108 – 60 = 48 [°] となる。
2 × ● = 180 – 48 = 132 [°]
よって、
ア = 360 – ( 60 + 132 ) = 168 [°]

解き方: △ABC、△DBC、△EBC の各頂点 A、D、E を合わせると、1 辺の長さが BC の正三角形ができる。
正三角形の 1 つの内角の大きさは 60°
したがって、
ウ = 180 – 14 – ( 60 – 36 )
　 = 180 – 14 – 24 = 142 [°]

解き方: 四角形の内角の和は 360° より、
● + ○
= { 360 – ( 76 + 110 ) } ÷ 2
= ( 360 – 186 ) ÷ 2
= 174 ÷ 2 = 87 [°]
よって、
ア = 180 – 87 = 93 [°]