算数【応用】面積

問１

図で、点 P は三角形 ABC の頂点 A を出発し、三角形 PBC が角 B を直角とする直角三角形になるまで、辺 BC に平行な直線 X 上を動きます。移動後の点 P を Q とし、AC と QB が交わる点を H とすると、HB の長さは 5 cm でした。　 部分の面積が 28 cm2 であるとき、点 P が動いた距離きょりを求めなさい。

答え
11.2 cm　( \(11\dfrac{1}{5}\) )
解き方

点 P が動いた距離は AQ の長さである。
△ABC と△QBC の面積は同じなので、△ABH の面積は 28 cm2 である。よって、AQ は BH を底辺としたときの△ABH の高さになる。したがって、
5 × AQ ÷ 2 = 28
AQ = 28 × \(\dfrac{2}{5}\) = \(\dfrac{56}{5}\) = \(11\dfrac{1}{5}\) [cm]

問２

たて 2 m、よこ 5 m の長方形の土地があります。この周りに同じ幅の道をつくって広げて、長方形の土地をつくりました。広げた 　 部分の面積は 78 cm2 となりました。このとき、道の幅を求めなさい。

答え
3 m
解き方

道の幅を □ m とすると、　 部分の面積は次のように表すことができる。
5 × 2 × □ + 2 × 2 × □ + 2 × □ × 2 × □
= 14 × □ + 4 × □ × □
よって、次の式が成り立つ。
14 × □ + 4 × □ × □ = 78
7 × □ + 2 × □ × □ = 39
□ × ( 7 + 2 × □ ) = 39 = 3 × 13
□ = 3 のとき、7 + 2 × □ = 7 + 2 × 3 = 13 となり、矛盾はない。
よって、□ = 3 [m]

問３

図の 　 部分の面積は 42 cm2 です。このとき、㋐の長さを求めなさい。

答え
12 cm
解き方

図より、　 部分の面積は、太線の三角形の面積と等しくなる。よって、次の式が成り立つ。
7 × ㋐ ÷ 2 = 42
㋐ = 42 × 2 ÷ 7 = 12 [cm]

問４

図は 1 辺が 8 cm の正方形の中に正三角形をかき入れ、正方形の頂点 A と正三角形の頂点 B を結んだものです。このとき、　 部分の面積を求めなさい。

答え
16 cm2
解き方

図より、　 部分の面積は、青線の三角形の面積と等しくなる。よって、
8 × 4 ÷ 2 = 16 [cm2]

問５

図のような長方形 ABCD の辺 AD、CD 上に点 E、F があり、点 E は辺 AD の真ん中の点で、点 F は辺 CD を 3：5 に分ける点です。三角形 CEF の面積が 3 cm2 のとき、三角形 BED の面積は何 cm2 ですか。

答え
8 cm2
解き方

△BED と △CED は底辺が等しく高さが等しい三角形より面積は等しい。
△CEF と △CED は底辺の比が CF：CD = 3：8 で高さが等しい三角形より、その面積比は 3：8 である。
△BED
= △CED
= △CEF × \(\dfrac{8}{3}\) = 3 × \(\dfrac{8}{3}\) = 8 [cm3]

問６

ある三角形について、底辺を 50 % 長くし、高さを短くしたところ、面積は 38 % 大きくなりました。高さは何 % 短くなっていますか。

答え
8 %
解き方
ある三角形の面積は、元の面積の「底辺の倍率 × 高さの倍率」となる。
高さの倍率を □ 倍とすると、次の式が成り立つ。
1.5 × □ = 1.38
□ = 1.38 ÷ 1.5 = \(\dfrac{69}{50}\) × \(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{23}{25}\) = 0.92 [倍]
よって、高さは 8 % 短くなっている。

問７

たての長さが 15 cm、横の長さが 20 cm の長方形 ABCD があります。この長方形の周上に、図のように点 E、F、G、H をとり、さらに直線 EG 上の点 E と点 G の間のどこかに点 I をとります。三角形 EFI と三角形 HIG の面積の和は何 cm2 ですか。

答え
72 cm2
解き方

平行四辺形 EFGH の面積は、
15 × 20 – 2 × ( 8 × 6 ÷ 2 + 12 × 9 ÷ 2 )
= 300 – 156 = 144 [cm2]
平行四辺形 EFGH を、点 I を通り、それぞれ辺 EF、FG に平行な線分で区切ると 4 つの平行四辺形に分けられる。
それぞれの平行四辺形において、　 部分はその平行四辺形の面積の \(\dfrac{1}{2}\) である。よって、求める面積は、
144 × \(\dfrac{1}{2}\) = 72 [cm2]

問８

図の三角形 ABC の面積は 48 cm2 です。また、点 P は辺 AB を 2 等分する点、点 Q は辺 BC を 3 等分する点、点 R は辺 CA を 4 等分する点です。このとき、三角形 PQR の面積は何 cm2 ですか。

答え
14 cm2
解き方
△PQR
= △ABC – △APR – △BPQ -△CQR
= 48 – 48 × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{3}{4}\) – 48 × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{3}\) – 48 × \(\dfrac{2}{3}\) × \(\dfrac{1}{4}\)
= 48 – 18 – 8 – 8 = 14 [cm2]

問９

正六角形 ABCDEF の面積は 180 cm2 です。三角形 ACD の面積を求めなさい。

答え
60 cm2
解き方


正六角形 ABCDEF の中心を点 O とする。
△OAC と△OBC の面積は等しいことから、△ACD の面積は四角形 OBCD と等しく、正六角形 ABCDEF の 3 分の 1 となる。よって、
△ACD = 180 ÷ 3 = 60 [cm2]

問１０

図のような三角形ABC において辺 BC と辺 AC 上にそれぞれ BE：EC = 2：3、AF：FC = 3：4 となる点 E と点 F をとります。さらに四角形 DECF の面積と三角形 DBE の面積の比が 5：3 となるような点 D を辺 AB 上にとります。このとき、AD：DB を最も簡単な整数の比で表しなさい。

答え
7：60
解き方


△DBE の面積を \(\boxed{3}\) とすると、□DECF の面積は \(\boxed{5}\) となる。また、
△DEC = △DBE × \(\dfrac{3}{2}\) = \(\boxed{3}\) × \(\dfrac{3}{2}\) = \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\)
△DCF = □DECF – △DEC = \(\boxed{5}\) – \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\) = \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\)
AD：DB = △ADC：△DBC である。
△ADC = △DCF × \(\dfrac{7}{4}\) = \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\) × \(\dfrac{7}{4}\)= \(\boxed{\dfrac{7}{8}}\)
△DBC = △DBE + △DEC = \(\boxed{3}\) + \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\) = \(\boxed{\dfrac{15}{2}}\)
よって、
AD：DB = \(\boxed{\dfrac{7}{8}}\)：\(\boxed{\dfrac{15}{2}}\) = 14：120 = 7：60