算数【応用】年齢算

問１

現在、父親の年令は 40 才で。子ども 2 人の年令の合計は 8 才です。父親の年令と、子どもの年令の合計の比が 5：2 になるのは何年後ですか。

答え
5 年後
解き方
【解き方①】倍数算を利用する
父親の年令と、子どもの年令の合計の比が 5：2 になるのは□年後とする。

80 + 2 × □ = 40 + 10 × □
8 × □ = 40
□ = 5 [年後]

【解き方②】比の関係を利用する（外項の積 = 内項の積）
□年後、父親の年令は 40 + □ [才]、子どもの年令の合計は 8 + 2 × □ [才] と表すことができる。よって、以下のような比が成り立つ。
40 + □：8 + 2 × □ = 5：2
2 × ( 40 + □ ) = 5 × ( 8 + 2 × □ )
80 + 2 × □ = 40 + 10 × □
8 × □ = 40
□ = 5 [年後]

問２

兄は弟より 3 歳年上です。現在、母の年齢は弟の年齢の 6 倍です。3 年前、母、兄、弟の年齢の平均は 14 歳でした。現在、兄は何歳ですか。

答え
9 歳
解き方
現在の兄の年齢を□歳として、条件を表にまとめる。
現在3 年前
兄□□ – 3
弟□ – 3□ – 3 – 3
母6 × ( □ – 3 )
= 6 × □ – 18		6 × □ – 18 – 3

3 年前の母、兄、弟の年齢の合計は、14 × 3 = 42 [歳] より、次の式が成り立つ。
□ – 3 + □ – 3 – 3 + 6 × □ – 18 – 3 = 42
8 × □ = 42 + 3 + 18 + 3 + 3 + 3 = 72
□ = 9 [歳]

問３

いま、父の年齢は私の年齢の 3 倍です。1 年前は母の年齢が私の年齢の 3 倍でした。父は母より何歳年上ですか。

答え
2 歳
解き方
現在の私の年齢を□歳、父は母より○歳年上として、条件を表にまとめる。
現在1 年前
私□□ – 1
父3 × □3 × □ – 1
母3 × □ – ○3 × ( □ – 1 )
= 3 × □ – 3

母の現在の年齢は、この1年前の年齢に1歳を足したものになるので、次の式が成り立つ。
3 × □ – ○ = 3 × □ – 3 + 1
○ = 3 × □ – 3 × □ + 3 – 1 = 2 [歳]

問４

いま、姉の年齢は妹の年齢の 2 倍で、父と姉と妹の 3 人の年齢の和は 74 歳です。6 年後、父の年齢は妹の年齢の 4 倍になります。今の姉の年齢は何歳ですか。

答え
16 歳
解き方
いまの妹の年齢を①として、条件を表にまとめる。
いま6 年後
妹①① + 6
姉②② + 6
父④ + 24 – 6
= ④ + 18		4 × ( ① + 6 )
= ④ + 24

よって、次の式が成り立つ。
① + ② + ④ + 18 = 74
⑦ = 56
① = 8
よって、姉のいまの年齢は、② = 2 × 8 = 16 [歳]

問５

現在、母の年令は兄と弟の年令の和の 3 倍です。4 年後には、母の年令は兄と弟の年令の和の 2 倍になります。また、現在、兄の年令は弟の 2 倍です。現在の母の年令と兄の年令をそれぞれ求めなさい。

答え
母：36 才　兄：8 才
解き方
【解き方①】倍数算を利用する
現在の母の年令と兄と弟の年令の和の比は 3：1 で、4 年後は 2：1 である。

③ + 4 = ② + 8 + 8
① = 12
よって、母の現在の年令は ③ = 12 × 3 = 36 [才]
兄と弟の年令の比は 2：1 より、兄の年令は 12 × \(\dfrac{2}{3}\) = 8 [才]

【解き方②】条件を表にまとめる
弟の年令を①とする。
現在4 年後
弟①① + 4
兄②② + 4
母( ① + ② ) × 3 = ⑨⑨ + 4

よって、次の式が成り立つ。
2 × ( ① + 4 + ② + 4 ) = ⑨ + 4
2 × ( ③ + 8 ) = ⑨ + 4
⑥ + 16 = ⑨ + 4
③ = 12
① = 4
よって、現在の母の年令は ⑨ = 9 × 4 = 36 [才]、兄の年令は ② = 2 × 4 = 8 [才]

【解き方③】比の関係を利用する（外項の積 = 内項の積）
現在の母の年令と兄と弟の年令の和の比は 3：1 で、4 年後は 2：1 である。
現在の兄と弟の年令の和を①とすると、母の年令は③と表すことができる。
4 年後の兄と弟の年令の和は ① + 2 × 4 = ① + 8 と、母の年令は ③ + 4 と表すことができるので、次の比が成り立つ。
③ + 4：① + 8 = 2：1
③ + 4 = 2 × ( ① + 8 )
③ + 4 = ② + 16
① = 12 [才]
よって、母の現在の年令は ③ = 12 × 3 = 36 [才]
兄と弟の年令の比は 2：1 より、兄の年令は 12 × \(\dfrac{2}{3}\) = 8 [才]

問６

現在、姉と妹と母の年齢の合計は 56 才です。今から 4 年前には、母の年齢は、姉と妹の年齢の合計の 3 倍でした。現在の母の年齢は何才ですか。

答え
37 才
解き方
姉と妹の年齢の合計を①として、条件を表にまとめる。
4 年前現在
姉と妹①① + 2 × 4
= ① + 8
母③③ + 4

よって、次の式が成り立つ。
① + 8 + ③ + 4 = 56
④ + 12 = 56
④ = 44
① = 11
よって、現在の母の年令は ③ + 4 = 3 × 11 + 4 = 37 [才]

問７

今年、A さんは 27 歳、お父さんは 59 歳です。お父さんの年齢が A さんの年齢の 3 倍だったのは何年前ですか。

答え
11 年前
解き方
□年前の A さんの年齢は 27 – □ [歳]、お父さんの年齢は 59 – □ [歳] と表すことができる。よって、次の式が成り立つ。
59 – □ = 3 × ( 27 – □ )
59 – □ = 81 – 3 × □
2 × □ = 22
□ = 11 [年前]

問８

現在父は 36 才、母は 34 才、2 人の姉妹は 12 才、7 才です。父母の年令の和が姉妹 2 人の年令の和の 2 倍になるのは何年後ですか。

答え
16 年後
解き方
□年後として、条件を表にまとめる。
現在□年後
父母36 + 34 = 7070 + 2 × □
姉妹12 + 7 = 1919 + 2 × □

よって、次の式が成り立つ。
70 + 2 × □ = 2 × ( 19 + 2 × □ )
70 + 2 × □ = 38 + 4 × □
2 × □ = 32
□ = 16 [年後]

問９

父、母、姉、兄、弟の 5 人家族がいます。

現在この 5 人家族の年齢の和は 133 歳ですが、10 年前の家族の年齢の和は 84 歳でした。また、5 年後には姉が留学し一緒に住めなくなるので、同居している家族の年齢の和は 135 歳になる予定です。

3 人の子どもの年齢はすべて異なり、兄より姉の方が年上とします。

（１）現在の姉の年齢は何歳ですか。

答え（１）
18 歳
解き方（１）
現在の姉の年齢を□歳とすると、次の式が成り立つ。
133 – □ + 4 × 5 = 135
133 – □ + 20 = 135
□ = 133 + 20 – 135 = 18 [歳]

（２）10 年前にまだ生まれていない人はいますか。

いるとすれば誰であるかを答えなさい。いない場合は「いない」と答えなさい。

答え（２）
弟
解き方（２）
10 年前の姉の年齢は 18 – 10 = 8 [歳] より、姉は生まれている。
生まれていない人が「いない」場合を考えると、10 年前の家族の年齢の和は、133 – 5 × 10 = 83 [歳] となる。
しかし、実際は 84 歳なので、少なくとも 1 人（弟）は生まれていないと考えられる。
次に、兄と弟の 2 人が生まれていない場合を考える。
10 年前の家族の年齢の和は、父、母、姉の年齢の和となるので、10 年前の父と母の年齢の和は 84 – 8 = 76 [歳] となる。
現在の兄と弟の年齢の和を□歳とすると、次の式が成り立つ。
76 + 2 × 10 + 18 + □ = 133
□ = 19 [歳]
10 年前に兄と弟が生まれていない場合、現在の兄と弟の年齢は、兄は 9 歳以下、弟は 8 歳以下となり、2 人の年齢の和は 17 歳以下となり、矛盾する。
よって、10 年前に生まれていないのは弟だけ。

（３）現在の弟の年齢は何歳ですか。

答え（３）
9 歳
解き方（３）
10 年前の父、母、兄の年齢の和は 76 歳。現在の弟の年齢を□歳とすると、
76 + 3 × 10 + 18 + □ = 133
□ = 133 – 124 = 9 [歳]

（４）現在、父の年齢は兄の年齢の 4 倍よりも 1 歳年上で、母の年齢よりも 4 歳年上です。現在の父の年齢は何歳ですか。

答え（４）
49 歳
解き方（４）
現在の兄の年齢を□歳とすると、父は 4 × □ + 1 [歳]、母は 4 × □ + 1 – 4 [歳] と表すことができる。よって、次の式が成り立つ。
4 × □ + 1 + 4 × □ + 1 – 4 + 18 + □ + 9 = 133
9 × □ + 25 = 133
9 × □ = 133 – 25 = 108
□ = 12 [歳]
よって、現在の父の年齢は 4 × 12 + 1 = 49 [歳]