算数【入試】ニュートン算

問１

一定量の水が流れ込む池の水をポンプですべてくみ出すのに、ポンプ4台では16時間かかり、ポンプ6台では8時間かかります。ポンプ10台では何時間かかりますか。

答え: 4時間

解き方: 1) ポンプ1台が1時間あたりにくみ出す水の量を<1>とすると、ポンプ4台16時間でくみ出せる水の量は<1>×4×16=<64>、ポンプ6台8時間でくみ出せる水の量は<1>×6×8=<48>となる。
2) 2つの線分図の差から、8時間で<64>-<48>=<16>の水が流れ込むことがわかる。すなわち、1時間に流れ込む水の量は<16>÷8=<2>であるから、池に最初に入っていた水の量は<64>-<2>×16=<32>となる。
3) ポンプ10台では1時間あたりに<10>の水をくみ出せるが、1時間に<2>の水が流れ込むため、実際の水の減少量は1時間あたり<10>-<2>=<8>となる。池に最初に入っていた水の量は<32>なので、求める時間は<32>÷<8>=4時間である。

問２

ある量の水が入った水そうに、毎分36Lずつ水を入れながら、ポンプを何台か使って排水します。使用するすべてのポンプは同じ割合で水をくみ出すとします。ポンプを2台使用したときは58分30秒で水がなくなりました。ポンプを3台使用したときは13分で水がなくなりました。ポンプ1台が1分間に排水する水の量は何Lですか。

答え: 21L

解き方: ポンプ1台で1分間に排水する水の量を<1>とすると、ポンプ2台で58分30秒間に排水する水の量は<1> × 2 × 58.5 = <117>で、そのうち増加した水の量は36 × 58.5 = 2106(L)となる。ポンプ3台で排水する水の量は<1> × 3 × 13 = <39>で、そのうち増加した水の量は36 × 13 = 468(L)となる。

線分図より、
<117> – <39> = 1638
<1> = 21(L)

問３

ある量の水が入った水そうに、一定の割合で水を入れながらポンプを使って水をくみ出します。水そうを空にするには、4台のポンプでは117分かかり、9台のポンプでは39分かかります。使用するすべてのポンプは同じ割合で水をくみ出すとします。20分以内に水そうを空にするには、最も少ない場合で何台のポンプが必要ですか。

答え: 17台

解き方: ポンプ1台が1分間でくみ出す水の量を<1>とする。4台のポンプで117分間にくみ出す水の量は、<1> × 4 × 117 = <468>、9台のポンプで39分間にくみ出す水の量は、<1> × 9 × 39 = <351>となる。

線分図より、78分間で増加した水の量は<117>なので、1分間で水の量は<117> ÷ 78 = <1.5>増加する。よって、最初に入っていた水の量は<351> – <1.5> × 39 =<292.5>となる。20分で増加する水の量は<1.5> × 20 = <30>なので、最初に入っていた水を加え、ポンプは20分以内に、<292.5> + <30> = <322.5>の水をくみ出す必要がある。すなわち1分あたり、<322.5> ÷ 20 = <16.125>以上の水をくみ出す必要があるので、最も少ない場合で17台必要となる。

問４

一定量の水がわき出ている井戸の水を12人で使うと20日間でなくなります。もし、9人で使うと35日間でなくなります。1人が1日で使う水の量は同じであるとします。

(1) 1日にわき出る水の量は、1人が1日に使う水の量の何倍ですか。

(2) この井戸を初めに5人で使い、5日目から使う人が何人か増えたところ、それから14日間で水がなくなりました。何人増えたでしょうか。

答え(1): 5倍

答え(2): 10人

解き方(1): (1) 1人が1日に使う水の量を<1>とする。12人で20日間使う水の量は<1> × 20 × 12 = <240>、9人で35日間使う水の量は<1> × 35 × 9 = <315>となる。

線分図より、1日にわき出る水の量は<75> ÷ 15 = <5>となり、1人が1日に使う量の5倍である。

解き方(2): (1)

(2) 最初に入っていた水の量は、<240> – <5> × 20 = <140>となる。18日間で水がなくなったので、使った水の量は<140> + <5> × 18 = <230>となる。5人で4日間で使った水の量は<1> × 5 × 4 = <20>、残り14日間で<230> – <20> = <210>の水を使ったことになるので、1日あたり<15>の水を使ったことになる。よって、15人で使ったことになるので、増えた人数は10人である。