算数【基本】仕事算

問１

（１）ある作業を終えるのに、兄だけでは12分、弟だけでは20分かかります。兄弟で一緒に作業すると、何分何秒で終わりますか。

答え（１）

7分30秒

解き方（１）

全体の作業の量を、12と20の最小公倍数である \(\boxed{60}\) とする。
兄弟、それぞれが1分間にできる作業の量は、
兄、\(\boxed{60}\) ÷ 12 = \(\boxed{5}\) /分
弟、\(\boxed{60}\) ÷ 20 = \(\boxed{3}\) /分
兄弟一緒にすると、\(\boxed{5}\) + \(\boxed{3}\) = \(\boxed{8}\) /分
よって求める時間は、
\(\boxed{60}\) ÷ \(\boxed{8}\) = 7.5(分) = 7分30秒

（２）ある品物を何個か作る仕事があります。その仕事をAさんが1人で毎日続けると、30日目で終了します。また、同じ仕事をAさんとBさんの2人で毎日続けると、18日で終了します。1日あたりに作る品物の個数は、Aさん、Bさんともにそれぞれ一定で、Bさんは1日あたり16個作ることがわかっています。

① Aさんは1日あたり何個の品物を作りますか。

答え（２）- ①

24個

解き方（２）- ①

全品物の個数を、30と18の最小公倍数である \(\boxed{90}\) とする。
Aさんが1日あたりに作る品物の個数は、
\(\boxed{90}\) ÷ 30 = \(\boxed{3}\) (個/日)
よって、次の式が成り立つ。
( \(\boxed{3}\) + 16 ) × 18 = \(\boxed{90}\)
\(\boxed{3}\) + 16 = \(\boxed{90}\) ÷ 18 = \(\boxed{5}\)
\(\boxed{2}\) = 16
\(\boxed{1}\) = 8
Aさんが1日あたりに作る品物の個数は、
\(\boxed{3}\) = 3 × 8 = 24(個)

② この仕事で作る品物は全部で何個ですか。

答え（２）- ②

720個

解き方（２）- ②

（１）より、
\(\boxed{90}\) = 90 × 8 = 720(個)

③ この仕事をAさんとBさんで行いました。Aさんは毎日働き、Bさんは何日か休んだところ、この仕事を終えるのに22日かかりました。Bさんは何日休みましたか。

答え（２）- ③

10日

解き方（２）- ③

22日間でAさんが作った品物の個数は、24 × 22 = 528(個)
Bさんが作った個数は、720 – 528 = 192(個)
Bさんが、品物を192個作るのにかかる日数は、
192 ÷ 16 = 12(日)
よってBさんが休んだ日数は、22 – 12 = 10(日)

【別解】つるかめ算
AさんとBさんが2人とも休まずに働いた場合、作れる品物の個数は ( 24 + 16 ) × 22 = 40 × 22 = 880(個)。
実際は720個なので、Aさんが1人で働いた(= Bさんが休んだ)日数は、
( 880 – 720 ) ÷ ( 40 – 24 )
= 160 ÷ 16 = 10(日)

（３）姉が1人ですると12日間、妹が1人ですると18日間かかる仕事があります。この仕事を、姉と妹の2人で5日間したあと、残りを姉1人ですることになりました。このとき、仕事を終えるのに何日間かかりますか。

答え（３）

9日間

解き方（３）

全体の仕事の量を、12と18の最小公倍数である \(\boxed{36}\) とする。
姉、妹がそれぞれ1日でする仕事の量は、
姉： \(\boxed{36}\) ÷ 12 = \(\boxed{3}\) (/日)
妹： \(\boxed{36}\) ÷ 18 = \(\boxed{2}\) (/日)
5日間で姉と妹の2人でした仕事の量は、
( \(\boxed{3}\) + \(\boxed{2}\) ) × 5 = \(\boxed{25}\)
残り \(\boxed{36}\) – \(\boxed{25}\) = \(\boxed{11}\) を、姉1人ですると、かかる日数は、
\(\boxed{11}\) ÷ \(\boxed{3}\) = 3 あまり 2 より、4日
仕事を終えるのにかかる日数は、5 + 4 = 9(日間)

（４）ある仕事をするのに、Aさん1人だと12日、Bさん1人だと15日、Cさん1人だと20日かかります。この仕事を3人ですると何日かかりますか。

答え（４）

5日

解き方（４）

全体の仕事の量を、12と15と20の最小公倍数である \(\boxed{60}\)とする。
Aさん、Bさん、Cさんがそれぞれ1日でする仕事の量は、
Aさん、\(\boxed{60}\) ÷ 12 = \(\boxed{5}\)(/日)
Bさん、\(\boxed{60}\) ÷ 15 = \(\boxed{4}\)(/日)
Cさん、\(\boxed{60}\) ÷ 20 = \(\boxed{3}\)(/日)
3人ですると、かかる日数は、
\(\boxed{60}\) ÷ ( \(\boxed{5}\) + \(\boxed{4}\) + \(\boxed{3}\) )
= \(\boxed{60}\) ÷ \(\boxed{12}\) = 5(日)

（５）Aさんだけで行うと16時間、Bさんだけで行うと20時間かかる仕事があります。はじめの7時間はAさん1人で仕事をし、残りはAさんとBさんの2人で仕事をしました。2人が一緒に仕事をしたのは何時間ですか。

答え（５）

5時間

解き方（５）

全体の仕事の量を、16と20の最小公倍数である \(\boxed{80}\)とする。
Aさん、Bさんがそれぞれ1時間でする仕事の量は、
Aさん、\(\boxed{80}\) ÷ 16 = \(\boxed{5}\)(/時間)
Bさん、\(\boxed{80}\) ÷ 20 = \(\boxed{4}\)(/時間)
Aさんが1人でした仕事の量は \(\boxed{5}\) × 7 = \(\boxed{35}\)
残りは \(\boxed{80}\) – \(\boxed{35}\) = \(\boxed{45}\)
よって、残りの仕事を2人でしたときにかかる時間は、
\(\boxed{45}\) ÷ ( \(\boxed{5}\) + \(\boxed{4}\) )
= \(\boxed{45}\) ÷ \(\boxed{9}\) = 5(時間)

（６）ある仕事をするのに、AさんとBさんの2人ですると3時間、BさんとCさんでは6時間、AさんとCさんでは9時間かかります。この仕事を3人ですると、何時間何分で終わらせることができますか。

答え（６）

3時間 \(16\dfrac{4}{11}\) 分

解き方（６）

全体の仕事の量を、3と6と9の最小公倍数である \(\boxed{18}\)とする。
Aさん、Bさん、Cさんがそれぞれ1時間でする仕事の量をA、B、Cとする。
A + B = \(\boxed{18}\) ÷ 3 = \(\boxed{6}\) ・・・①
B + C = \(\boxed{18}\) ÷ 6 = \(\boxed{3}\) ・・・②
A + C = \(\boxed{18}\) ÷ 9 = \(\boxed{2}\) ・・・③
Aさん、Bさん、Cさんの3人が1時間でする仕事の量 A + B + C を求める。
① + ② + ③ より、
2 × ( A + B + C ) = \(\boxed{11}\)
A + B + C = \(\boxed{5.5}\)
よって仕事を終わらせるのにかかる時間は、
\(\boxed{18}\) ÷ \(\boxed{5.5}\) = \(3\dfrac{3}{11}\) (時間) = 3時間 \(16\dfrac{4}{11}\) 分

（７）Aさんが1人ですると18日で終わり、AさんとBさんの2人ですると8日で終わる仕事があります。この仕事をBさんが1人ですると何日で終わりますか。

答え（７）

15日

解き方（７）

全体の仕事の量を、18と8の最小公倍数である \(\boxed{72}\)とする。
Aさんが1日でする仕事の量と、AさんとBさんの2人が1日でする仕事の量は、
Aさん、\(\boxed{72}\) ÷ 18 = \(\boxed{4}\)(/日)
AさんとBさん、\(\boxed{72}\) ÷ 8 = \(\boxed{9}\)(/日)
よって、Bさんが1日でする仕事の量は \(\boxed{9}\) – \(\boxed{4}\) = \(\boxed{5}\)(/日)
よって、すべての仕事をBさんがしたときにかかる日数は、
\(\boxed{72}\) ÷ \(\boxed{5}\) = 14 あまり 2 より、15日。

（８）ある仕事を仕上げるのにAさんは40日、Bさんは60日かかります。この仕事の最初の10日間はAさんが行い、11日目からは2人で行うと、何日で仕上がりますか。

答え（８）

28日

解き方（８）

全体の仕事の量を、40と60の最小公倍数である \(\boxed{120}\) とする。
Aさん、Bさんがそれぞれ1人で1日あたりにする仕事の量は、
Aさん、\(\boxed{120}\) ÷ 40 = \(\boxed{3}\) (/日)
Bさん、\(\boxed{120}\) ÷ 60 = \(\boxed{2}\) (/日)
AさんとBさん、\(\boxed{3}\) + \(\boxed{2}\) = \(\boxed{5}\) (/日)
Aさんが10日間で行った仕事の量は \(\boxed{3}\) × 10 = \(\boxed{30}\) より、残りは \(\boxed{120}\) – \(\boxed{30}\) = \(\boxed{90}\)
残りの仕事を2人で行うと、かかる日数は、
\(\boxed{90}\) ÷ \(\boxed{5}\) = 18(日)
よって仕上がるのにかかる日数は、10 + 18 = 28(日)

（９）AさんとBさんの2人で12日かかる仕事があります。はじめ2人で9日間、残りをAさん1人で5日間かかりました。この仕事をBさん1人ですると何日間かかりますか。

答え（９）

30日間

解き方（９）

全体の仕事の量を \(\boxed{12}\) とする。
AさんとBさんの2人で1日あたりにする仕事の量は、
\(\boxed{12}\) ÷ 12 = \(\boxed{1}\) (/日)
Bさんが1日あたりにする仕事の量を求める。
AさんとBさんが2人で9日間でした仕事の量は \(\boxed{1}\) × 9 = \(\boxed{9}\) より、Aさんが1人でした仕事の量は \(\boxed{12}\) – \(\boxed{9}\) = \(\boxed{3}\)
Aさんが1日あたりにする仕事の量は、
\(\boxed{3}\) ÷ 5 = \(\boxed{0.6}\)
よって、Bさんが1日あたりにする仕事の量は、1 – \(\boxed{0.6}\) = \(\boxed{0.4}\)
この仕事をBさん1人でするとかかる日数は、
\(\boxed{12}\) ÷ \(\boxed{0.4}\) = 30(日間)

問２

（１）6人で働いてちょうど13日で終わる仕事を、はじめの3日間は4人で働き、その後は6人で働きました。6人で働いたのは何日ですか。ただし、1人あたりの仕事量は同じとします。

答え（１）

11日

解き方（１）

1日あたりの1人の仕事量を \(\boxed{1}\) とすると、全体の仕事量は \(\boxed{1}\) × 6 × 13 = \(\boxed{78}\) となる。
はじめの3日間で4人でした仕事量は \(\boxed{1}\) × 3 × 4 =\(\boxed{12}\) より、残りは \(\boxed{78}\) – \(\boxed{12}\) = \(\boxed{66}\)
残りの仕事を6人ですると、かかる日数は、
\(\boxed{66}\) ÷ ( \(\boxed{1}\) × 6 )
= \(\boxed{66}\) ÷ \(\boxed{6}\) = 11(日)

（２）8人で働くと24日かかる仕事があります。この仕事を16日で終わらせるには、働く人を何人増やせばよいですか。ただし、1人あたりの仕事量は同じとします。

答え（２）

4人

解き方（２）

1日あたりの1人の仕事量を \(\boxed{1}\) とすると、全体の仕事量は \(\boxed{1}\) × 8 × 24 = \(\boxed{192}\) となる。
この仕事を16日で終わらせるために、1日でする仕事の量は、
\(\boxed{192}\) ÷ 16 = \(\boxed{12}\)
必要な人数は \(\boxed{12}\) ÷ \(\boxed{1}\) = 12(人)
よって増やす人数は、12 – 8 = 4(人)

【別解】比を利用
16日で終わらせる働く人数を□とすると、
8人でする1日の仕事は、 \(\dfrac{1}{24}\)
□人でする1日の仕事は、 \(\dfrac{1}{16}\)
8 ： \(\dfrac{1}{24}\) = □ ： \(\dfrac{1}{16}\)
\(\dfrac{1}{24}\) × □ = \(\dfrac{1}{2}\)
□ = 12
よって増やす人数は、12 – 8 = 4(人)

問３

（１）500Lの貯水槽に、1分間に36Lの割合で水を入れることができる栓Aと、3分間に92Lの割合で水を入れることのできる栓Bを使って、同時に水を入れ始めました。空の貯水槽は何分何秒で満水になりますか。

答え（１）

7分30秒

解き方（１）

栓AとBがそれぞれ1分間に入れることができる水の量は、
栓A、36(L/分)
栓B、92 ÷ 3 = \(\dfrac{92}{3}\) (L/分)
栓Aと栓B同時では、36 + \(\dfrac{92}{3}\) = \(\dfrac{200}{3}\) (L/分)
よって、満水になるのにかかる時間は、
500 ÷ \(\dfrac{200}{3}\) = \(7\dfrac{1}{2}\) (分) = 7分30秒

（２）ある水そうを満水にするために、菅Aでは30分、菅Bでは20分、菅Cでは40分かかります。はじめに菅Aで21分間入れました。次に、菅Bと菅Cを同時に使って、この水そうを満水にしました。菅Bと菅Cで入れたのは何分間でしたか。

答え（２）

4分

解き方（２）

水そうの容量を、30と20と40の最小公倍数である \(\boxed{120}\) とする。
菅A、B、Cがそれぞれ1分間に入れることができる水の量は、
菅A、\(\boxed{120}\) ÷ 30 = \(\boxed{4}\)
菅B、\(\boxed{120}\) ÷ 20 = \(\boxed{6}\)
菅C、\(\boxed{120}\) ÷ 40 = \(\boxed{3}\)
菅Bと菅C同時では、\(\boxed{6}\) + \(\boxed{3}\) = \(\boxed{9}\)
菅Aによって入れられた容量は \(\boxed{4}\) × 21 =\(\boxed{84}\) より、残りは \(\boxed{120}\) – \(\boxed{84}\) = \(\boxed{36}\)
残りを菅Bと菅Cを同時に使って入れるとかかる時間は、
\(\boxed{36}\) ÷ \(\boxed{9}\) = 4(分)