算数【応用】消去算

問１

袋の中に、赤玉と白玉が合わせて 126 個入っています。赤玉の個数の \(\dfrac{1}{3}\) と白玉の個数の \(\dfrac{5}{6}\) が等しいとき、赤玉は何個入っていますか。

答え

90 個

解き方

赤玉の個数を A 個、白玉の個数を B 個とすると、
A + B = 126 ・・・ ①
\(\dfrac{1}{3}\) × A = \(\dfrac{5}{6}\) × B ・・・ ②
A を求めたいので、 B が消えるように計算すると
① × 5 + ② × 6 より、
5 × A + 5 × B + 2 × A = 630 + 5 × B
7 × A = 630
A = 90 [個]

問２

3 つの数 A、B、C があります。A は B より 15 大きく、C より 6 小さいです。A と B と C の平均が 76 のとき、C の値を求めなさい。

答え

85

解き方

A = B + 15 → B = A – 15 ・・・ ①
A = C – 6 → C = A + 6 ・・・ ②
A + B + C = 3 × 76 = 228 ・・・ ③
③を①、②で置き換えると、
A + A – 15 + A + 6 = 228
3 × A = 228 + 15 – 6 = 237
A = 79
②より、
C = A + 6 = 79 + 6 = 85

問３

3 種類のおもり A、B、C があります。A 3 個と B 1 個の重さの合計は C 2 個の重さと等しく、A 2 個と C 1 個の重さの合計は B 4 個の重さと等しくなります。C の重さは A の重さの何倍ですか。

答え

2 倍

解き方

おもり A、B、C の重さは、
3 × A + B = 2 × C ・・・ ①
2 × A + C = 4 × B ・・・ ②
A と C を比べたいので、 B が消えるようにする。
① × 4 + ② より、
12 × A + 4 × B + 2 × A + C = 8 × C + 4 × B
7 × C = 14 × A
C = 2 × A
よって、2 倍

問４

ある容器に水が \(\dfrac{4}{5}\) だけ入っているときの全体の重さは 400 g です。また、この容器に水が \(\dfrac{3}{4}\) だけ入っているときの全体の重さは 385 g です。この容器だけの重さは何 g ですか。

答え

160 g

解き方

容器だけの重さを A g、満水のときの水の重さを B g とすると、
A + \(\dfrac{4}{5}\) × B = 400 ・・・ ①
A + \(\dfrac{3}{4}\) × B = 385 ・・・ ②
① – ② より、
( \(\dfrac{4}{5}\) – \(\dfrac{3}{4}\) ) × B = 400 – 385
\(\dfrac{1}{20}\) × B = 15
B = 300 [g]
①より、
A = 400 – \(\dfrac{4}{5}\) × B = 400 – 240 = 160 [g]

問５

2 つの整数がA、B があり、和は 623 です。A に 49 を加えると、B の 6 倍になります。このとき、整数 B を求めなさい。

答え

96

解き方

A + B = 623 ・・・ ①
A + 49 = 6 × B ・・・ ②
① – ② より、
B – 49 = 623 – 6 × B
7 × B = 623 + 49 = 672
B = 96

問６

ある植物園の入園料は、大人 3 人と子ども 5 人では 3920 円、大人 9 人と子ども 6 人では 8160 円です。子ども 1 人の入園料は何円ですか。

答え

400 円

解き方

大人 1 人の入園料を A 円、子ども 1 人の入園料を B 円とすると、
3 × A + 5 × B = 3920 ・・・ ①
9 × A + 6 × B = 8160 ・・・ ②
① – ② ÷ 3 より、
5 × B – 2 × B = 3920 – 2720
3 × B = 1200
B = 400 [円]

問７

3 つのおもりがあり、軽い順に A、B、C とします。これらのおもりを 2 つずつ合計した重さは 43 g、59 g、76 g でした。A のおもりは何 g ですか。

答え

13 g

解き方

A、B、C の重さをそれぞれ A g、B g、C g とする。
A ＜ B ＜ C より、A + B ＜ A + C ＜ B + C なので、
A + B = 43 ・・・ ①
A + C = 59 ・・・ ②
B + C = 76 ・・・ ③
① + ② より、
2 × A + B + C = 102・・・ ④
④-③より、
2 × A = 102 – 76
2 × A = 26
A = 13 [g]

問８

兄と弟がじゃんけんをして、1 回ごとに勝った方が 5 個、負けた方が 3 個のあめを母からもらいます。何回かのじゃんけんをしたところ、兄が 44個、弟が 36 個のあめを持っていました。兄は何回勝ちましたか。

答え

7 回

解き方

兄が勝った回数を A 回、負けた回数を B 回とすると（弟が勝った回数は B 回、負けた回数は A 回）、
5 × A + 3 × B = 44 ・・・ ①
3 × A + 5 × B = 36 ・・・ ②
① × 5 – ② × 3 より、
25 × A – 9 × A = 220 – 108
16 × A = 112
A = 7 [回]

問９

ガムとあめを 1 個ずつ買うと、代金は 124 円です。あめとチョコレートを 1 個ずつ買うと、代金は 170 円です。さらに、ガムとチョコレートを 1 個ずつ買うと、代金は 150 円です。

（１）ガム、あめ、チョコレートを 2 個ずつ買ったときの代金を求めなさい。

答え（１）

444 円

解き方（１）

ガム、あめ、チョコレートの値段をそれぞれ A 円、B 円、C 円とすると、
A + B = 124 ・・・ ①
B + C = 170 ・・・ ②
A + C = 150 ・・・ ③
① + ② + ③ より、
2 × A + 2 × B + 2 × C = 124 + 170 + 150 = 444 [円]

（２）ガム、あめ、チョコレートを 1 個ずつ買ったときの代金を求めなさい。

答え（２）

222 円

解き方（２）

（１）より、
2 × A + 2 × B + 2 × C = 444
2 × ( A + B + C ) = 444
A + B + C = 222 [円]

（３）ガム、あめ、チョコレート 1 個の値段をそれぞれ求めなさい。

答え（３）

ガム：52 円　あめ：72 円　チョコレート：98 円

解き方（３）

（２）より、
A + B + C = 222 ・・・ ④
④を②で置き換えると、
A + 170 = 222
A = 52 [円]
①より、
B = 124 – A = 124 – 52 = 72 [円]
③より、
C = 150 – A = 150 – 52 = 98 [円]