算数【応用】周期算

問１

ある規則にしたがって、分数を並べました。

\(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{8}{4}\), \(\dfrac{7}{6}\), \(\dfrac{6}{2}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{8}{6}\), \(\dfrac{7}{2}\), \(\dfrac{6}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), …

（１）10回目に出てくる \(\dfrac{7}{6}\) は、左から数えて何番目ですか。

答え（１）
114番目
解き方（１）
分子の並びは「8, 7, 6, 5」の4個1組の繰り返し、分母は「2, 4, 6」の3個1組の繰り返しになっている。1回目に出てくる\(\dfrac{7}{6}\)は6番目で、以降は4と3の最小公倍数12番ごとにでてくるので、
6 + 12 × (10 – 1) = 114(番目)

（２）100番目までに出てくる分数の中で、約分できない分数をすべて加えるといくつになりますか。

答え（２）
92\(\dfrac{1}{4}\)
解き方（２）
分数の並びは「\(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{8}{4}\), \(\dfrac{7}{6}\), \(\dfrac{6}{2}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{8}{6}\), \(\dfrac{7}{2}\), \(\dfrac{6}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\)」の12個1組の繰り返しになっている。その中で約分できない分数は、\(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{7}{6}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{7}{2}\), \(\dfrac{5}{6}\)で、その和は11。100 ÷ 12 = 8 あまり 4 より、
11 × 8 + \(\dfrac{7}{4}\) + \(\dfrac{5}{2}\) = 92\(\dfrac{1}{4}\)

問２

表のように、上段には14個のアルファベット「A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N」がこの順で繰り返し並んでいます。下段は10個のひらがな「あ、い、う、え、お、か、き、く、け、こ」がこの順で繰り返し並んでいます。

上段ABCDEFGHIJKLMNAB…
下段あいうえおかきくけこあいうえおか…

（１）2回目に「A」と「あ」が上下に並ぶのは、左から何番目ですか。

答え（１）
71番目
解き方（１）
上段の並びは14個1組の繰り返し、下段の並びは10個1組の繰り返しになっている。よって、同じ組み合わせは14と10の最小公倍数である70番ごとに出てくる。よって、
1 + 70 = 71(番目)

（２）「I」と「う」がはじめて上下に並ぶのは、左から何番目ですか。

答え（２）
23番目
解き方（２）
1回目の「I」が出てくるのは9番目で、以降14番ごとに出てくる ⇒ 14で割ると9余る数が「I」の出てくる番数
1回目の「う」が出てくるのは3番目で、以降10番ごとに出てくる ⇒ 10で割ると3余る数が「う」の出てくる番数
求める番数は、14で割ると9余り、10で割ると3余る最小の数
14で割ると9余る数は、9, 23, ・・・
10で割ると3余る数は、3, 13, 23, ・・・
よって、23番目

問３

\(\boxed{1}\) \(\boxed{2}\) ③ \(\boxed{4}\) ⑤ ⑥ \(\boxed{7}\) \(\boxed{8}\) ⑨ \(\boxed{10}\) ① ② \(\boxed{3}\) \(\boxed{4}\) ⑤ \(\boxed{6}\) ⑦ ⑧ \(\boxed{9}\) \(\boxed{10}\) ① …

数字の書かれた□と○が規則にしたがって並んでいます。数字の1が書かれた□を「 四角の1」、数字の1が書かれた○を「丸の1」とします。

下記の \(\boxed{　}\)に当てはまる文字または数字を答えなさい。

（１）左側から50番目までに丸は \(\boxed{ア}\) 個並んでいます。また、丸に書かれた数字の和は \(\boxed{イ}\) です。

答え（１）
ア：24　イ：126
解き方（１）
数字と図形の別の並びと考えると、
□□○□○○□□○□○○□…
12345678910123…

図形の並びは「□, □, ○, □, ○, ○」の6個1組の繰り返しで、そのうち○は3個。50 ÷ 6 = 8 あまり 2 より、○の個数は、
3 × 8 = 24(個)
数字の並びは「1, 2, 3, …, 10」の10個1組の繰り返しとなっている。図形と数字の組み合わせはそれぞれの1組の個数の最小公倍数である30個1組の繰り返しになっている。
□□○□○○
123456
7891012
345678
9101234
5678910
合計：25合計：30合計：25合計：30合計：25合計：30

この30個中の○の数字の和は、25 + 25 + 30 = 80
50 ÷ 30 = 1 あまり 20
80 × 1 + (80 – 10 – 9 – 7 – 4 – 3 – 1) = 126

（２）左から150番目までに「四角の2」は \(\boxed{　}\) 個並んでいます。

答え（２）
10
解き方（２）
□□○□○○
123456
7891012
345678
9101234
5678910

図形と数字の組み合わせはそれぞれの1組の個数の最小公倍数である30個1組の繰り返しになっている。そのうち、\(\boxed{2}\) は2個。
150 ÷ 30 = 5 あまり 0 より、\(\boxed{2}\) の個数は、2 × 5 = 10(個)

（３）17個目の「丸の7」は、左から \(\boxed{　}\) 番目です。

答え（３）
257
解き方（３）
□□○□○○
123456
7891012
345678
9101234
5678910

図形と数字の組み合わせはそれぞれの1組の個数の最小公倍数である30個1組の繰り返しになっている。そのうち、⑦は2個。
17 ÷ 2 = 8 あまり 1 より、30 × 8 + 17 = 257(番目)

問４

1番目の数は1とし、偶数番目の数は1つ前の数に2を足し、奇数番目の数は1つ前の数に1を足します。この規則にしたがって、数を並べます。

1, 3, 4, 6, 7, 9, …

（１）100番目の数はいくつですか。

答え（１）
150
解き方（１）
1, 4, 7と3, 6, 9の数字の組み合わせになっている。100番目は偶数なので、3, 6, 9の数字の一部である。
したがって、3, 6, 9の半分の50番目の数字が100番目の数字にあたる。
n番目の数字 × 3 がその数になるので、3 × 50 = 150

【別解】

図のように、この数の並びは、1に2と1を順に繰り返し足した数の並びである。n個の数が並んでいるとき、足した数の数は(n-1)個である。
100番目の数は1に2と1を順に99個足した数となる。99 ÷ 2 = 49 あまり 1 より、100番目の数は、1 + (2 + 1) × 49 + 2 = 150

（２）1番目から2121番目までに偶数は何個ありますか。

答え（２）
1060個
解き方（２）

図のように、この数の並びは、「奇数、奇数、偶数、偶数」の4個1組の繰り返しで、そのうち偶数は2個ある。2121 ÷ 4 = 530 あまり 1 より、偶数は、530 × 2 = 1060(個)

問５

向かい合う面の数の和が7になるサイコロがあります。このサイコロを図のように置き、すべらせることなく矢印の方向に563回ころがしたとき、真下を向く面の和はいくつですか。例えば2回ころがしたときの真下を向く面の和は 4 + 2 = 6 となります。

答え
1969
解き方
真下を向く面の数字は「4, 2, 3, 5」の4個1組の繰り返しで、その和は14。563 ÷ 4 = 140 あまり 3 より、567回ころがしたときの真下を向く面の和は、14 × 140 + 4 + 2 + 3 = 1969

問６

規則にしたがって、白玉と黒玉を1から順に並んだ数字の下に並べていきます。

12345678910…
○○○●●●○○○●…
○○●●○○●●○○…
○●○●○●○●○●…

（１）すべて白玉が並ぶ数字は、250番目までに何個ありますか。

答え（１）
42個
解き方（１）
1段目は「○○○●●●」の6個1組、2段目は「○○●●」の4個1組、3段目は「○●」の2個1組の繰り返しになっていて、すべての段はそれぞれの段の個数の最小公倍数である12番ごとの繰り返しになっている。
123456789101112
○○○●●●○○○●●●
○○●●○○●●○○●●
○●○●○●○●○●○●

そのうちすべて白玉が並んでいる数字は2回。250 ÷ 12 = 20 あまり 10 より、白玉が並ぶ数字は、2 × 20 + 2 = 42(個)

（２）1から100までに黒玉は何個ありますか。

答え（２）
149個
解き方（２）
1段目は「○○○●●●」の6個1組、2段目は「○○●●」の4個1組、3段目は「○●」の2個1組の繰り返しになっていて、すべての段はそれぞれの段の個数の最小公倍数である12番ごとの繰り返しになっている。
123456789101112
○○○●●●○○○●●●
○○●●○○●●○○●●
○●○●○●○●○●○●

そのうち黒玉は18個。100 ÷ 12 = 8 あまり 4 より、黒玉は、18 × 8 + 1 + 1 + 3 = 149(個)

（３）黒玉の合計が281個になるときの数字はいくつですか。

答え（３）
188
解き方（３）
1段目は「○○○●●●」の6個1組、2段目は「○○●●」の4個1組、3段目は「○●」の2個1組の繰り返しになっていて、すべての段はそれぞれの段の個数の最小公倍数である12番ごとの繰り返しになっている。
123456789101112
○○○●●●○○○●●●
○○●●○○●●○○●●
○●○●○●○●○●○●

そのうち黒玉は18個。281 ÷ 18 = 15 あまり 11 より、黒玉の合計が281個になるときの数字は、12 × 15 + 8 = 188

問７

はじめの数は1とし、その後は前の数に1, 0, 3, 5, 1, 0, 3, 5, …の順に繰り返し数を足します。この規則にしたがって、数を並べます。

1, 2, 2, 5, 10, 11, 11, 14, 19, 20 …

（１）28番目の数はいくつですか。

答え（１）
59
解き方（１）

n個の数が並んでいるとき、足した数の数は(n-1)個である。
28番目の数は1に「1, 0, 3, 5」の4個の数を繰り返し27個足した数となる。27 ÷ 4 = 6 あまり 3 より、28番目の数は、1 + (1 + 0 + 3 + 5) × 6 + 1 + 0 + 3 = 59

（２）はじめて500より大きくなる数は、何番目の数ですか。

答え（２）
225番目
解き方（２）
4個の数「1, 0, 3, 5」の和は9。
1 + 9 × 55 = 496
496 + 1 = 497
496 + 1 + 0 = 497
496 + 1 + 0 + 3 = 500
496 + 1 + 0 + 3 + 5 = 505
496は 55 × 4 + 1 = 221(番目)なので、505は 221 + 4 = 225(番目)

問８

次のように、ある規則に従って並んでいる数の列があります。

1, 4, 9, 16, 25, 36, ・・・

この数列の各数を 6 で割った余りを左から順番に並べて新しい数の列を作ります。この新しい数列について、次の問いに答えなさい。

（１）はじめから数えて 50 番目の数はいくつですか。

答え（１）
4
解き方（１）

元の数列は各項の番号の 2 乗の数になっている。よって、元の数列の 50 番目の数は 50 × 50 = 2500 である。よって、新しい数列の数は 6 で割った余りより、
2500 ÷ 6 = 416 余り 4

（２）4 が 10 回目に現れるのは、はじめから数えて何番目ですか。

答え（２）
28 番目
解き方（２）

新しい数列は ( 1, 4, 3, 4, 1, 0 ) の 6 個の数を群とした周期数列になっている。
各群には 4 が 2 個ずつあることから、4 が 10 回目に現れるのは 5 群の 4 番目と考えられる。よって、
4 × 6 + 4 = 28 [番目]

（３）はじめの数から 2025 番目の数までの和はいくつですか。

答え（３）
4389
解き方（３）
新しい数列は ( 1, 4, 3, 4, 1, 0 ) の 6 個の数を群とした周期数列になっている。
2025 ÷ 6 = 337 余り 3 より、2025 番目の数までの和は、
( 1 + 4 + 3 + 4 + 1 + 0 ) × 337 + ( 1 + 4 + 3)
= 13 × 337 + 8 = 4389

問９

ある整数から、次の＜操作＞をくり返し行い、＜操作＞でできた数を順にならべて列をつくります。

＜操作＞その整数が偶数なら 2 で割り、奇数なら 3 倍して 1 を足す

例えば、11 から＜操作＞をくり返し行うと、11 は奇数なので、11 を 3 倍して 1 を足して、1 回目の＜操作＞でできた数は 34 となります。つぎに、34 は偶数なので、 34 を 2 で割って、2 回目の＜操作＞でできた数は 17 となります。このようにしてできた数を順にならべると、

34, 17, 52, 26, ・・・

という数の列になります。このとき、26 ができるまでに＜操作＞は 4 回行っています。

（１）12 から＜操作＞をくり返し行います。はじめて 1 ができるのは＜操作＞を何回行ったときですか。

答え（１）
9 回
解き方（１）
12 → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
はじめの「1」は 9 番目の数より、＜操作＞を行った回数は 9 回

（２）10 から＜操作＞をくり返し行います。2325 回目の＜操作＞でできる数はいくつですか。

答え（２）
1
解き方（２）
10 → 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ・・・
4 番目の数 ( 4 回目の＜操作＞ でできる数 ) 以降は、( 4, 2, 1 ) の 3 つの数のくり返しになる。
( 2325 – 3 ) ÷ 3 = 774 余り 0
より、2325 番目の数は 1

（３）7 回目の＜操作＞を行ったときにはじめて 1 ができるような数をすべて求め、小さい順に答えなさい。

答え（３）
3, 20, 21, 128
解き方（３）
1 から 1 を引くと 0 となり 3 で割ることができないので、前の数は偶数で 2
2 から 1 を引くと 1 となり 3 の倍数ではないので、前の数は偶数で 4
4 から 1 を引くと 3 となり 3 で割ると 1 より、前の数が奇数の場合 1、偶数の場合 8
このように、＜操作＞を さかのぼっていくと以下のようになる。