算数【応用】つるかめ算
問１
1 個 150 円、200 円、300 円のおかしを合計 34 個買うと、代金の合計は 7200 円でした。150 円と 200 円のおかしを同じ個数買ったとき、300 円のおかしは何個買いましたか。
- 答え
- 10 個
- 解き方
- 150 円と 200 円のおかしのは同じ個数買ったことがわかっているので、これらの値段は、( 150 + 200 ) ÷ 2 = 175 [円] と平均化することができる。
買ったおかしがすべて 150 円と 200 円のおかしとすると、代金は 175 × 34 = 5950 [円] となるが、実際の代金は 7200 円である。よって、300 円のおかしを買った個数は、
( 7200 – 5950 ) ÷ ( 300 – 175 )
= 1250 ÷ 125 = 10 [個]
【別法 ①】消去算を利用する
150 円、200 円、300 円のおかしを買った個数を、それぞれ A 個、B 個、C 個とすると以下の式が成り立つ。
A + B + C = 34 ・・・ ①
150 × A + 200 × B + 300 × C = 7200 ・・・ ②
A = C ・・・ ③
①、② を ③ で置き換える。
2 × A + C = 34 ・・・ ①’
350 × A + 300 × C = 7200 ・・・ ②’
②’ ÷ 50 より、
7 × A + 6 × C = 144 ・・・ ②’’
②’’ × 2 – ①’ × 7 より、
12 × C – 7 × C = 288 – 238
5 × C = 50
C = 10 [個]
【別法 ②】式を作る
150 円のおかしを □ 個買ったとすると、200 円のおかしは □ 個、300 円のおかしは 34 – 2 × □ [個] 買ったと表すことができ、次の式が成り立つ。
150 × □ + 200 × □ + 300 × ( 34 – 2 × □ ) = 7200
250 × □ = 3000
□ = 12 [個]
よって、300 円のおかしの個数は 34 – 2 × 12 = 10 [個]
問２
ある商店で、クッキー 90 枚を 16000 円で仕入れて、1 枚 220 円で売りました。何枚かのクッキーがわれていて売れませんでしたが、利益は 2700 円でした。われていたクッキーは何枚ありましたか。
- 答え
- 5 枚
- 解き方
- すべてのクッキーが売れたとすると、売り上げは 220 × 90 = 19800 [円] となるが、実際の売上は 16000 + 2700 = 18700 [円] である。よって、われていたクッキーの枚数は、
( 19800 – 18700 ) ÷ ( 220 – 0 )
= 1100 ÷ 220 = 5 [枚]
【別法】式を作る。
われていたクッキーを □ 枚とすると、売れたクッキーは 90 – □ [枚] と表すことができ、次の式が成り立つ。
220 × ( 90 – □ ) = 16000 + 2700
19800 – 220 × □ = 18700
220 × □ = 1100
□ = 5 [枚]
問３
1 個 320 円のケーキと、1 個 70 円のチョコレートと、1 個 170 円のフィナンシェを合わせて 20 個買ったところ、代金が 3600 円でした。チョコレートとフィナンシェは同じ個数だけ買いました。ケーキは何個買いましたか。
- 答え
- 6 個
- 解き方
- チョコレートとフィナンシェは同じ個数買ったことがわかっているので、これらの値段は、( 70 + 170 ) ÷ 2 = 120 [円] と平均化することができる。
買ったものがすべてチョコレートとフィナンシェとすると、代金は 120 × 20 = 2400 [円] となるが、実際の代金は 3600 円である。よって、ケーキを買った個数は、
( 3600 – 2400 ) ÷ ( 320 – 120 )
= 1200 ÷ 200 = 6 [個]
【別法 ①】消去算を利用する
買ったケーキ、チョコレート、フィナンシェの個数を、それぞれ A 個、B 個、C 個とすると以下の式が成り立つ。
A + B + C = 20 ・・・ ①
320 × A + 70 × B + 170 × C = 3600 ・・・ ②
B = C ・・・ ③
①、② を ③ で置き換える。
A + 2 × B = 20 ・・・ ①’
320 × A + 240 × B = 3600 ・・・ ②’
②’ ÷ 80 より、
4 × A + 3 × B = 45 ・・・ ②’’
②’’ × 2 – ①’ × 3 より、
8 × A – 3 × A = 90 – 60
5 × A = 30
A = 6 [個]
【別法 ②】式を作る
チョコレートを □ 個買ったとすると、フィナンシェは □ 個、ケーキは 20 – 2 × □ [個] 買ったと表すことができ、次の式が成り立つ。
320 × ( 20 – 2 × □ ) + 70 × □ + 170 × □ = 3600
400 × □ = 2800
□ = 7 [個]
よって、買ったケーキの個数は 20 – 2 × 7 = 6 [個]
問４
1 個の値段がそれぞれ 50 円、80 円、107 円の品物を、合わせて13 個買ったところ、代金が 1061 円になりました。80 円の品物を何個買いましたか。
- 答え
- 8 個
- 解き方
- まず 107 円の品物の個数を考える。50 円と 80 円の代金の合計の 1 の位は必ず 0 となるので、3 つの代金の合計の 1 の位が 1 ということは、107 円の品物の代金の合計の 1 の位が 1 となる。
107 × 3 = 321 [円] となり、107 円の品物は 3 個、50 円と 80 円の品物は合わせて 10 個とわかる。
10 個をすべて50 円の品物とすると、代金は 50 × 10 = 500 [円] となるが、実際の代金は 1061 – 321 = 740 [円] である。よって、80 円の品物の個数は、
( 740 – 500 ) ÷ ( 80 – 50 )
= 240 ÷ 30 = 8 [個]
問５
幼稚園から次のようなイベントのお知らせがありました。
このイベントの参加者は 120 人で、売り上げは 61300 円でした。参加していた園児の人数を求めなさい。
- 答え
- 41 人
- 解き方
- 園児と保護者の人数は同じなので、これらの料金は ( 300 + 500 ) ÷ 2 = 400 [円] と平均化することができる。
すべて園児と保護者以外の参加者とすると、売り上げは 750 × 120 = 90000 [円]となるが、実際の売上は 61300 円である。よって、園児と保護者を合わせた人数は、
( 90000 – 61300 ) ÷ ( 750 – 400 )
= 28700 ÷ 350 = 82 [人]
園児の人数は 82 ÷ 2 = 41 [人]
【別法 ①】消去算を利用する
園児と保護者の人数は同じなので合わせて 2 × A [人]、その他の参加者の人数を B 人とすると、以下の式が成り立つ。
2 × A + B = 120 ・・・ ①
300 × A + 500 × A + 750 × B = 800 × A + 750 × B = 61300 ・・・ ②
② ÷ 50 より、
16 × A + 15 × B = 1226 ・・・ ②’
① × 15 – ②’ より、
30 × A – 16 × A = 1800 – 1226
14 × A = 574
A = 41 [人]
【別法 ②】式を作る
園児の人数を □ 人とすると、保護者は □ 人、その他の参加者は 120 – 2 × □ [人] と表すことができ、次の式が成り立つ。
300 × □ + 500 × □ + 750 × ( 120 – 2 × □ ) = 61300
700 × □ = 28700
□ = 41 [人]
問６
貯金箱の中に、10 円玉と 50 円玉と 100 円玉がそれぞれ何枚か入っています。50 円玉の枚数と 100 円玉の枚数の合計は 15 枚です。貯金箱の中に入っている硬貨をすべて 10 円玉に両替すると、貯金箱の中に入っている硬貨の枚数は 90 枚増えます。また、貯金箱の中に入っている硬貨をすべて 50 円玉に両替すると、10 円玉は余ることなく両替でき、貯金箱の中に入っている硬貨の枚数は 2 枚増えます。
（１）貯金箱の中に入っている 50 円玉の枚数は何枚ですか。
- 答え（１）
- 9 枚
- 解き方（１）
- 増えた 10 円玉の個数は 50 円玉と 100 円玉を 10 円玉に両替した分より、50 円玉と 100 円玉は両替後、10 円玉 15 + 90 = 105 [枚] になる。よって、50 円玉と 100 円玉の合計金額は 10 × 105 = 1050 [円] となる。
15 枚すべてが 100 円玉とすると、金額は 15 × 100 = 1500 [円] となるが、実際は 1050 円である。よって、50 円玉の枚数は、
( 1500 – 1050 ) ÷ ( 100 – 50 )
= 450 ÷ 50 = 9 [枚]
（２）貯金箱の中に入っている金額の合計はいくらですか。
- 答え（２）
- 1100 円
- 解き方（２）
- 10 円玉を 50 円玉に両替したあとの枚数を□枚とすると、余ることなく両替できたことから両替前の枚数は 5 × □ [枚] と表すことができる。両替前と 50 円玉に両替後の枚数を表にまとめた。
| 両替前 [枚] | 両替後 [枚] |
| 10 円玉 | 5 × □ | □ |
| 50 円玉 | 9 | 9 |
| 100 円玉 | 6 | 12 |
| 合計 | 5 × □ + 15 | □ + 21 |
よって、次の式が成り立つ。
( □ + 21 ) – ( 5 × □ + 15 ) = 2
4 × □ = 4
□ = 1 [枚]
よって、両替前の 10 円玉の金額は 5 × 1 × 10 = 50 [円]
（１）より、50 円玉と 100 円玉の合計金額は 1050 円より、貯金箱の中の金額の合計は 1050 + 50 = 1100 [円]
問７
あるお店ではアイスクリームが晴れの日には 10 個、くもりの日には 5 個、雨の日には 3 個売れます。アイスクリームは 1 個 200 円です。
（１）雨の降らなかった 1 週間で、売り上げは 12000 円でした。晴れの日は何日でしたか。
- 答え（１）
- 5 日
- 解き方（１）
- 1 日の売り上げは、晴れの日 200 × 10 = 2000 [円]、くもりの日 200 × 5 = 1000 [円]、雨の日 200 × 3 = 600 [円] となる。
1 週間 ( 7 日間 ) ずっとくもりの日とすると、売り上げは 1000 × 7 = 7000 [円] となるが、実際は 12000 円である。よって、晴れの日は、
( 12000 – 7000 ) ÷ ( 2000 – 1000 )
= 5000 ÷ 1000 = 5 [日]
（２）2 週間のうち、晴れの日数とくもりの日数が同じで、売り上げは 19200 円でした。晴れの日は何日でしたか。
- 答え（２）
- 6 日
- 解き方（２）
- 晴れの日とくもりの日の日数は同じなので、これらの売り上げは ( 2000 + 1000 ) ÷ 2 = 1500 [円] と平均化することができる。
2 週間全日雨だったとすると、売り上げは 600 × 14 = 8400 [円] となるが、実際の売り上げは 19200 円である。よって、晴れとくもりの合計の日数は、
( 19200 – 8400 ) ÷ ( 1500 – 600 )
= 10800 ÷ 900 = 12 [日]
晴れの日は 12 ÷ 2 = 6 [日]
【別法 ①】消去算を利用する
晴れの日とくもりの日の日数は同じなので合わせて 2 × A [日]、雨の日の日数を B 日とすると、以下の式が成り立つ。
2 × A + B = 14 ・・・ ①
2000 × A + 1000 × A + 600 × B = 3000 × A + 600 × B = 19200 ・・・ ②
② ÷ 600 より、
5 × A + B = 32 ・・・ ②’
②’ – ① より、
5 × A – 2 × A = 32 – 14
3 × A = 18
A = 6 [日]
【別法 ②】式を作る
晴れの日を □ 人とすると、くもりの日は □ 人、雨の日は 14 – 2 × □ [日] と表すことができ、次の式が成り立つ。
2000 × □ + 1000 × □ + 600 × ( 14 – 2 × □ ) = 19200
1800 × □ = 10800
□ = 6 [日]
