算数【入試】植木算

問1

長方形の形をした土地の周囲に同じ間隔で木を植えます。6mの間隔で植えても9mの間隔で植えても、4つの角のすべてに植えることができます。6mの間隔で植えるときは、9mの間隔で植えるときより22本多くの木が必要になります。

(1) このような長方形の土地の周囲の長さは何mですか。

(2) このような長方形の土地で、面積がもっとも大きい土地の面積は何m\(^{2}\)ですか。

答え(1)

396m

答え(2)

9720m\(^{2}\)

解き方(1)

6m間隔で植えるときと9m間隔で植えるときの、木の本数の比は\(\dfrac{1}{6}\) : \(\dfrac{1}{9}\) = 3 : 2となる。6m間隔で植えるときの木の本数を③とすると、
③ – ② = 22
① = 22
よって、6m間隔で植えるときの木の本数は3 × 22 = 66(本)となり、土地の周囲の長さは6 × 66 = 396(m)

解き方(2)

周囲の長さが一定の長方形の面積は、正方形に近いほど大きくなる。6mの間隔で植えても9mの間隔で植えても、4つの角のすべてに植えることができることから、1辺の長さは縦も横も6と9の最小公倍数である18の倍数となる。周囲の長さ396は18 × 22より、面積がもっとも大きくなるのは縦18 × 5(m)、横18 × 6(m)のときであるから、その面積は9720m\(^{2}\)

問２

縦と横の長さの比が4 : 7である長方形の紙が28枚あります。これら28枚を縦に1列に並べて、同じ幅ののりしろではり合わせると、縦の長さは199cmになります。また、これら28枚を横に1列に並べて、縦に並べたときと同じ幅ののろしろではり合わせると、横の長さは409cmになります。もとの長方形の紙の縦の長さとのろしろの幅を求めなさい。

答え

縦の長さ 10cm, のりしろの幅 3cm

解き方

のろしろ部分の総和を①とすると、199 + ① : 409 + ① = 4 : 7となる。
7 × (199 + ①) = 4 × (409 + ①)
① = 81(cm)
よって、もとの長方形の縦の長さは、(199 + 81) ÷ 28 = 10(cm)
のろしろの幅は、81 ÷ (28 – 1) = 3(cm)

問３

道にそって等しい間隔で木を植えます。長さ720mの区間にはしからはしまで等しい間隔で61本の木を植えるはずのところを、まちがってはしからはしまで等しい間隔で41本の木を植えてしまいました。はじめの予定通り61本の木を植えなおすためには、すでに植えてある木の中でそのままにしておいてよいものは何本ありますか。

答え

21本

解き方

はじめの予定では720 ÷ (61 – 1) = 12(m)の間隔で植えるところ、実際は720 ÷ (41 – 1) = 18(m)の間隔で植えてしまった。これより、はしから最小公倍数の36m間隔で植えられた木はそのままにしておいてよい。その本数は、720 ÷ 36 + 1 = 21(本)

問４

同じ幅の赤色のテープと白色のテープがいくつかあります。赤色のテープの長さは5cm、白色のテープの長さは8cmです。赤色と白色のテープを、のりしろをすべて1cmにしてはり合わせ、120cmのテープを作りました。使ったテープは全部で23本でした。このとき、使った赤色と白色のテープの本数はそれぞれ何本ですか。

答え

赤色 14本、白色 9本

解き方

全部赤色のテープをはり合わせた場合の長さは、5 × 23 – 1 × (23 – 1) = 93(cm)
よって白色のテープの本数は、
(120 – 93) ÷ (8 – 5) = 9(本)、赤色のテープの本数は、23 – 9 = 14(本)

問５

同じ長さのロープを25本結んで113mの長さにしました。それぞれのロープの5%を使って1つの結び目を作るとき、1本のロープの長さは何mですか。

答え

5m

解き方

1本のロープの長さを<1>とすると、結び目1つにつき必要な長さは<0.05>となる。1つの結び目を作るとロープは<0.05> × 2 = <0.1>短くなる。よって、
<1> × 25 – <0.1> × (25 – 1) = 113
<1> = 5(m)