算数【応用】植木算

問１

地点AとBとCがあり、ABCを結ぶと三角形の土地になります。地点AとBは60mはなれています。地点A、Bからそれぞれ84m、144mはなれたところに地点Cがあります。三角形の土地のまわりに、同じ間かくで木を植えます。間かくはできるだけ広くとり、かどにも必ず木を植えるとき、木は何本必要ですか。

答え

24本

解き方

異なる長さにできるだけ広く同じ間かくをとる場合、その間かくは異なる長さの数の最大公約数になる。
60、84、144の最大公約数は12なので、必要な木の本数は、
(60 + 84 + 144) ÷ 12
= 5 + 7 + 12 = 24(本)

問２

60mの道の片側に赤旗、白旗、黄旗を立てます。最初に赤旗をはしから3mおきに立てます。次に白旗をスタート地点から4mおきに立て、最後に黄旗を5mおきに立てます。ただし、すでに別の旗が立っていた場合は立てずに、次の地点に立てます。赤旗、白旗、黄旗はそれぞれ何本必要ですか。

答え

赤旗：21本、白旗：10本、黄旗：6本

解き方

異なる間かくごとに立てる旗の位置は、異なる間かくの数の最小公倍数ごとに重なる。
赤旗：赤旗は両はしに立つので、
60 ÷ 3 + 1 = 21(本)
白旗：白旗と赤旗を立てる位置が重なるのは、それぞれの間かくの最小公倍数である12mごとです。また、両はしには赤旗が立っているので、白旗は両はしには立たない。よって、
(60 ÷ 4 -1) – (60 ÷ 12 – 1) = 10(本)
黄旗：黄旗と赤旗を立てる位置が重なるのは15mごと、黄旗と白旗が重なるのは20mごと、すべての旗を立てる位置が重なるのは60mごとです。また、両はしには赤旗が立っているので、黄旗は両はしには立たない。よって、
(60 ÷ 5 -1) – (60 ÷ 15 – 1) – (60 ÷ 20 – 1) = 6(本)

問３

（１）縦18m、横24mの長方形の土地のまわりに、等しい間かくで木を植えます。角には必ず木を植え、木の本数はできるだけ少なくします。このとき、木を植える間かくと木の本数を求めなさい。

答え（１）

間かく：6m　本数：14本

解き方（１）

長方形の角に必ず木を植え、本数が最も少なくなるとき、その間かくは縦と横の長さの最大公約数になる。よって、間かくは18と24の最大公約数6(m)となる。
植える木の本数は、2 × (18 + 24) ÷ 6 = 14(本)

（２）3辺の長さが38m、57m、95mの三角形の土地のまわりに等しい間かくで木を植えます。頂点に必ず木を植えることにすると、木は少なくとも何本必要ですか。

答え（１）

10本

解き方（１）

三角形の頂点に必ず木を植え、本数が最も少なくなるとき、その間かくは各辺の最大公約数になる。よって、間かくは38と57と95の最大公約数19(m)となり、植える木の本数は、(38 + 57 + 95) ÷ 19 = 10(本)

問４

円形の広場のまわりに木を36本植えました。木と木の間かくは、1m20cmのところが18か所、残りはすべて75cmです。広場のまわりは何mですか。

答え

35.1m

解き方

図のように分断して考えると、
1m20cmの間かくで植えられている木の本数は 18 + 1 = 19(本)、長さは 1.2 × 18 = 21.6(m)
75cmの間かくで植えられている木の本数は 36 – 19 = 17(本)で、長さは 0.75 × 18 = 13.5(m)
よって、広場のまわりの長さは、21.6 + 13.5 = 35.1(m)

問５

1周3.2kmの池の周りに2種類の木A、Bを植えることにしました。Aは40mおきに植え、AとAの間に5m間かくでBを植えます。このとき、Bは何本必要になりますか。

答え

560本

解き方

40m間かくの木Aの本数は、3200 ÷ 40 = 80(本)・・・木Aの間かくも80である
40mの中に植えられる木Bの本数は、40 ÷ 5 – 1 = 7(本)
よって、必要なBの本数は、7 × 80 = 560(本)

問６

図のように三角形の紙をその一部が重なるようにマグネットで止めました。使ったマグネットが333個のとき、止めた三角形の紙は何枚ですか。

答え

166枚

解き方

止めた三角形の紙を \(\boxed{　}\) 枚とすると、
\(\boxed{　}\) + ( \(\boxed{　}\) + 1) = 333
\(\boxed{　}\) = 166(枚)

【別の考え方】

止めた三角形の紙を \(\boxed{　}\) 枚とすると、
2 × ( \(\boxed{　}\) – 1) + 3 = 333
\(\boxed{　}\) = 166(枚)