算数【基本】約数・倍数・素数

問１　約数（公約数・最大公約数）・素数

（１）次の数の約数をすべて書きなさい。

約数とは

ある整数を割り切ることができる整数
●「1」はすべての整数の約数である
●ある整数の約数には、その整数自身も含まれる
●ある整数をその約数で割ると、その商もある整数の約数である

① 3　　② 26　　③ 49　　④ 84　　⑤ 100

答え（１）- ①, ②, ③, ④, ⑤

①　1, 3
②　1, 2, 13, 26
③　1, 7, 49
④　1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
⑤　1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

解き方（１）- ①, ②, ③, ④, ⑤

「ある整数をその約数で割ると、その商もある整数の約数である」を利用する
① 3 ÷ 1 = 3
② 26 ÷ 1 = 26, 26 ÷ 2 = 13, 26 ÷ 3 割り切れない, 26 ÷ 4 割り切れない, 26 ÷ 5 割り切れない, 26 ÷ 6 割り切れない, 26 ÷ 7 割り切れない, 26 ÷ 8 割り切れない, 26 ÷ 9 割り切れない, 26 ÷ 10 割り切れない, 26 ÷ 11 割り切れない, 26 ÷ 12 割り切れない
③ 49 ÷ 1 = 49, 49 ÷ 2 割り切れない, 49 ÷ 3 割り切れない, 49 ÷ 4 割り切れない, 49 ÷ 5 割り切れない, 49 ÷ 6 割り切れない, 49 ÷ 7 = 7
④

⑤

（２）1 ～ 20までの整数のうち、素数をすべて書きなさい。

素数とは

約数が「1」と「その数自身」しかない整数
●「0」「1」は素数ではない

答え（２）

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

解き方（２）

1 → 素数ではない
2の約数 1, 2 → 素数
3の約数 1, 3 → 素数
4の約数 1, 2, 4 → 素数ではない
5の約数 1, 5 → 素数
6の約数 1, 2, 3, 6 → 素数ではない
7の約数 1, 7 → 素数
8の約数 1, 2, 4, 8 → 素数ではない
9の約数 1, 3, 9 → 素数ではない
10の約数 1, 2, 5, 10 → 素数ではない
11の約数 1, 11 → 素数
12の約数 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 素数ではない
13の約数 1, 13 → 素数
14の約数 1, 2, 7, 14 → 素数ではない
15の約数 1, 3, 5, 15 → 素数ではない
16の約数 1, 2, 4, 8, 16 → 素数ではない
17の約数 1, 17 → 素数
18の約数 1, 2, 3, 6, 9, 18 → 素数ではない
19の約数 1, 19 → 素数
20の約数 1, 2, 4, 5, 10, 20 → 素数ではない

（３）次の数を素因数分解しなさい。

素因数分解とは

整数を素数のかけ算で分解し表すこと。

【素因数分解の方法「連除法（すだれ算）」】
12を素因数分解すると

図のように、割り切ることができる素数で商が素数になるまで割っていく。
すべての素数をかける ⇒ 2 × 2 × 3

① 9

答え（３）- ①

3 × 3

解き方（３）- ①

② 15

答え（３）- ②

3 × 5

解き方（３）- ②

③ 20

答え（３）- ③

2 × 2 × 5

解き方（３）- ③

④ 27

答え（３）- ④

3 × 3 × 3

解き方（３）- ④

⑤ 156

答え（３）- ⑤

2 × 2 × 3 × 13

解き方（３）- ⑥

（４）次の数の公約数と最大公約数を求めなさい。

公約数と最大公約数とは

公約数：2つ以上の整数に共通する約数
最大公約数：公約数のうち最も大きい数
●公約数には必ず「1」が含まれる
●公約数は最大公約数の約数である

【最大公約数の求め方「連除法（すだれ算）」】
24と36の最大公約数を求める

図のように、2つの数を割り切ることができる共通の数（青字）で、割り切れる共通の数がなくなるまで割っていく。それまでに割った共通の数（青字）の積が最大公約数となる。
24と36の最大公約数は 2 × 2 × 3 = 12
※はじめから大きい数で割ることで、式を短くできる。

① 8, 12

答え（４）- ①

公約数 1, 2, 4
最大公約数 4

解き方（４）- ①

最大公約数を求める。

青字（共通の約数）の積、2 × 2 = 4 が最大公約数となる。
公約数は最大公約数の約数なので、1, 2, 4

② 12, 60

答え（４）- ②

公約数 1, 2, 3, 4, 6, 12
最大公約数 12

解き方（４）- ②

最大公約数を求める。

青字（共通の約数）の積、12が最大公約数となる。
公約数は最大公約数の約数なので、1, 2, 3, 4, 6, 12

③ 16, 40

答え（４）- ③

公約数 1, 2, 4, 8
最大公約数 8

解き方（４）- ③

最大公約数を求める。

青字（共通の約数）の積、8が最大公約数となる。
公約数は最大公約数の約数なので、1, 2, 4, 8

④ 56, 84

答え（４）- ④

公約数 1, 2, 4, 7, 14, 28
最大公約数 28

解き方（４）- ④

最大公約数を求める。

青字（共通の約数）の積、7 × 4 = 28 が最大公約数となる。
公約数は最大公約数の約数なので、1, 2, 4, 7, 14, 28

⑤ 18, 24, 42

答え（４）- ⑤

公約数 1, 2, 3, 6
最大公約数 6

解き方（４）- ⑤

最大公約数を求める。

青字（共通の約数）の積、6が最大公約数となる。
公約数は最大公約数の約数なので、1, 2, 3, 6

問２　倍数（公倍数・最小公倍数）

（１）次の数の倍数を小さい方から順に３個書きなさい。

倍数とは

ある整数を1倍、2倍、3倍、・・・した数
●0倍した数（= 0）は倍数には含まない。
●ある整数の倍数は、ある整数で割り切れる。

① 4　　② 11　　③ 90　　

答え（１）- ①, ②, ③

① 4, 8, 12
② 11, 22, 33
③ 90, 180, 270

解き方（１）- ①, ②, ③

① 4 × 1 = 4,　4 × 2 = 8,　4 × 3 = 12
② 11 × 1 = 11,　11 × 2 = 22,　11 × 3 = 33
③ 90 × 1 = 90,　90 × 2 = 180,　90 × 3 = 270

（２）23の小さい方から15番目の倍数を答えなさい。

答え（２）

345

解き方（２）

ある整数Aの小さい方から□番目の数は、A × □ で求められる。
よって、23 × 15 = 345

（３）A～Jの整数があります。以下の問いに答えなさい。

A. 12　　B. 48　　C. 65　　D. 80　　E. 91

F. 518　　G. 1024　　H. 5888　　I. 12300　　J. 642642

ヒント（３）

2の倍数：一の位が偶数
3の倍数：各位の数字の和が3の倍数
4の倍数：下2けたが4の倍数、または下2けたが00
5の倍数：一の位が0または5
6の倍数：偶数かつ3の倍数
8の倍数：下3けたが8の倍数、または下3けたが000
9の倍数：各位の数字の和が9の倍数
※けた数が大きい数について判断するとき、知っていると便利です！

① 2の倍数をすべて選びなさい。

答え（３）- ①

A, B, D, F, G, H, I, J

解き方（３）- ①

一の位が偶数の数を選ぶ → A. 12, B. 48, D. 80, F. 518, G. 1024, H. 5888, I. 12300, J. 642642

② 3の倍数をすべて選びなさい。

答え（３）- ②

A, B, I, J

解き方（３）- ②

各位の数字の和が3の倍数になる数を選ぶ
A. 1 + 2 = 3
B. 4 + 8 = 12 = 3 × 4
C. 6 + 5 = 11
D. 8 + 0 = 8
E. 9 + 1 = 10
F. 5 + 1 + 8 = 14
G. 1 + 0 + 2 + 4 = 7
H. 5 + 8 + 8 + 8 = 29
I. 1 + 2 + 3 + 0 + 0 = 6 = 3 × 2
J. 6 + 4 + 2 + 6 + 4 + 2 = 24 = 3 × 8

③ 8の倍数をすべて選びなさい。

答え（３）- ③

B, D, G, H

解き方（３）- ③

8で割り切れる、または下3けたが8の倍数、または下3けたが000を選ぶ
A. 12 ÷ 8 ・・・割り切れない
B. 48 ÷ 8 = 6
C. 65 ÷ 8 ・・・割り切れない
D. 80 ÷ 8 = 10
E. 91 ÷ 8 ・・・割り切れない
F. 518 ÷ 8 ・・・割り切れない
G. 024 ÷ 8 = 3
H. 888 ÷ 8 = 111
I. 300 ÷ 8 ・・・割り切れない
J. 642 ÷ 8 ・・・割り切れない

（４）250に最も近い9の倍数を求めなさい。

答え（４）

252

解き方（４）

250以下で250に最も近い9の倍数は、9と250を9で割った商の積で求められる。
250 ÷ 9 = 27 あまり 7 より、250以下で250に最も近い9の倍数は 9 × 27 = 243
次に大きい9の倍数は 9 × 28 = 252
250に最も近い9の倍数は252

（５）次の数の最小公倍数を求めなさい。

公倍数と最小公倍数とは

公倍数：2つ以上の整数に共通する倍数
最小公倍数：公倍数のうち最も小さい数
●公倍数は最小公倍数の倍数である

【最小公倍数の求め方「連除法（すだれ算）」】
① 24と36の最小公倍数を求める

図のように、2つの数を割り切ることができる共通の数（青字）で、割り切れる共通の数がなくなるまで割っていく。それまでに割った共通の数と最後の商（青字）の積が最小公倍数となる。
24と36の最小公倍数は 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72
※はじめから大きい数で割ることで、式を短くできる。


② 24と36と48の最小公倍数を求める

3つの商のうち2つが共通の数で割り切れるときはわり算を続け、割り切れない商はそのまま下ろす。それまでに割った共通の数と最後の商（青字）の積が最小公倍数となる。
24と36と48の最小公倍数は、2 × 2 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 = 144
※このとき、最大公約数は3つとも割り切れる数のみかけあわせる。
24と36と48の最大公約数は、2 × 2 × 3 = 12

① 6, 9

答え（５）- ①

18

解き方（５）- ①

青字（割った数と最後の商）の積が最小公倍数なので、3 × 2 × 3 = 18

② 15, 18

答え（５）- ②

90

解き方（５）- ②

青字（割った数と最後の商）の積が最小公倍数なので、3 × 5 × 6 = 90

③ 30, 75

答え（５）- ③

150

解き方（５）- ③

青字（割った数と最後の商）の積が最小公倍数なので、15 × 2 × 5 = 150

④ 4, 12, 18

答え（５）- ④

36

解き方（５）- ④

青字（割った数と最後の商）の積が最小公倍数なので、2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 3 = 36

⑤ 16, 24, 48

答え（５）- ⑤

48

解き方（５）- ⑤

青字（割った数と最後の商）の積が最小公倍数なので、8 × 3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 48

問３

縦180cm、横240cmの紙があります。この紙をあまりがでないように大きさの等しい正方形に切り分けます。切り分ける正方形を最も大きくなるようにするとき、全部で何枚に分けることができますか。

答え

12枚

解き方

最も大きい正方形に切り分けるとき、その1辺の長さは180と240の最大公約数60(cm)となる。したがって、切り分けられる正方形の枚数は、
(180 ÷ 60) × (240 ÷ 60) = 3 × 4 =12(枚)

問４

4と9の両方で割れる数の中で2000に最も近い整数を求めなさい。

答え

2016

解き方

4と9の両方でわれる数は、4と9の最小公倍数である36の倍数である。
2000以下で最も大きい36の倍数は、2000 ÷ 36 = 55余り20より、36 × 55 = 1980
次に大きい数は、36 × 56 = 1980 + 36 = 2016
よって、2016

問５

10以上50以下の整数の中で、6で割り切れる数は何個ありますか。

答え

7個

解き方

50以下の整数で6で割り切れる数の個数は、50 ÷ 6 = 8. …より8個。
10より小さい整数で6で割り切れる数の個数は、10 ÷ 6 = 1. …より1個。
よって、10以上50以下の整数の中で、6で割り切れる数の個数は、8 – 1 = 7(個)

問６

整数Aについて、Aの約数の個数を＜A＞とします。例えば、＜3＞ = 2、＜10＞ = 4 となります。

便利な解法（約数の個数を求める方法）

ある数の約数の個数は、
１．ある数を素因数分解する
２．得られた約数とその個数をまとめる
３．その個数に１を足し、それぞれかけ算する

実際にやってみましょう。
例１：16の約数の個数は？
16を素因数分解すると、2 × 4個となる。したがって4個 + 1で答えは5。

例２：50の約数の個数は？
50を素因数分解すると、(2 × 1個) × (5 × 2個)となる。したがって(1個 + 1) × (2個 + 1)で答えは6。

例３：2520の約数の個数は？
2520を素因数分解すると、(2 × 3個) × (3 × 2個) × (5 × 1個) × (7 × 1個)となる。したがって(3個 + 1) × (2個 + 1) × (1個 + 1) × (1個 + 1)で、4 × 3 × 2 × 2となり答えは48。

（１）＜18＞を求めなさい。

答え（１）

6

解き方（１）

18の約数は、1、2、3、6、9、18より、6個

（２）＜100＞を求めなさい。

答え（２）

9

解き方（２）

100の約数は、1、2、4、5、10、20、25、50、100より、9個

（３）Aが2けたの整数のとき、＜A＞が奇数となるAは何個ありますか。

答え（３）

6個

解き方（３）

図のように、ある整数の約数を順番に並べると、左から1番目と右から1番目をかける、左から2番目と右から2番目をかける、・・・とある整数になる。そして、ある整数が100のように同じ数の積(10 × 10)となる場合、その約数の個数は奇数となる。
2けたの整数の中で同じ数の積になっているのは、16、25、36、49、64、81の6個

問７

2の倍数であり7の倍数である数の中で、5番目に小さい数を求めなさい。

答え

70

解き方

2の倍数であり7の倍数である数は、2と7の最小公倍数である14の倍数である。
よって、14 × 5 = 70

問８

156を割ると6あまるような整数は何個ありますか。

答え

7個

解き方

156を割ると6あまるような整数とは、156からあまりの6を引いた150を割ると割り切れ、かつ6より大きい数である。すなわち、150の約数で6より大きい数である。
150の約数は、1、2、3、5、6、10、15、25、30、50、75、150
このうち6より大きい数は、7個

問９

100以下の数で3でも5でも割り切れる数のうち、6で割ると3あまる数は何個ありますか。

答え

3個

解き方

3でも5でも割り切れる数は、3と5の最小公倍数である15の倍数より、100以下には、100 ÷ 15 = 6. …より6個ある。書き出すと、
15, 30, 45, 60, 75, 90
このうち、6の倍数（6で割り切れる数）を除くと、15, 45, 75
15 ÷ 6 = 2 あまり 3
45 ÷ 6 = 7 あまり 3
75 ÷ 6 = 12 あまり 3
よって、3個

問１０

縦1cm、横2cmのタイルがたくさんあります。これらをすき間なく並べて正方形を作ります。

（１）考えられる正方形の中で、3番目に小さい正方形を作るにはタイルは何枚必要ですか。

答え（１）

18枚

解き方（１）

考えられる正方形の一辺の長さは、1と2の最小公倍数である2の倍数となる。よって、3番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 3 = 6(cm)である。
このときタイルは、縦に 6 ÷ 1 = 6(枚)、横に 6 ÷ 2 = 3(枚)必要なので、全部で 6 × 3 = 18(枚)必要となる。

（２）タイルが50枚以上100枚以下あるとき、何種類の大きさの正方形ができますか。

答え（２）

3種類

解き方（２）

4番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 4 = 8(cm)、必要なタイルの枚数は 8 ÷ 1 × 8 ÷ 2 = 8 × 4 = 32(枚)
5番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 5 = 10(cm)、必要なタイルの枚数は 10 ÷ 1 × 10 ÷ 2 = 10 × 5 = 50(枚)
6番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 6 = 12(cm)、必要なタイルの枚数は 12 ÷ 1 × 12 ÷ 2 = 12 × 6 = 72(枚)
7番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 7 = 14(cm)、必要なタイルの枚数は 14 ÷ 1 × 14 ÷ 2 = 14 × 7 = 98(枚)
7番目に小さい正方形の一辺の長さは 2 × 8 = 16(cm)、必要なタイルの枚数は 16 ÷ 1 × 16 ÷ 2 = 16 × 8 = 128(枚)
よって、3種類

問１１

ある駅から、A行きの電車が13分おきに、B行きの電車が26分おきに、C行きの電車が12分おきに出ています。どの電車も始発が午前6時のとき、次に同時に出発するのは午前何時何分ですか。

答え

午前8時36分

解き方

同時に出発するのは、13と26と12の最小公倍数の値ごと

図より、最小公倍数は 13 × 2 × 6
次に同時に出発するのは、
13 × 2 × 6(分後)
= 13 × 2 × 6 × \(\dfrac{1}{60}\) = \(2\dfrac{3}{5}\)(時間後)
= 2時間36分後
よって、午前8時36分

問１２

えんぴつが108本、消しゴムが72個あります。えんぴつと消しゴムをそれぞれ同じ数ずつ、あまりがでないように、できるだけ多くの子どもに配ります。何人の子どもに配ることができますか。

答え

36人

解き方

えんぴつと消しゴムをあまりが出ないように分ける最も大きい数は、108と72の最大公約数36となる。よって、36人。

問１３

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ・・・ × 10のように、1から10までの整数をかけた数は、6で何回割り切れますか。

答え

4回

解き方

素数以外を素因数分解し、2 × 3 の個数(= 6で割り切れる回数)を求める。
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10
= 1 × 2 × 3 × 2 × 2 × 5 × 2 × 3 × 7 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 2 × 5
2は8個、3は4個より、2 × 3 は4個、よって4回

問１４

99と165の最小公倍数と最大公約数を求めたとき、最小公倍数は最大公約数の何倍ですか。

答え

15倍

解き方

図より、最大公約数は 3 × 11、最小公倍数は 3 × 11 × 3 × 5 より、15倍

問１５

2けたの整数Aについて、2で割ることのできる回数を＜A＞とします。例えば、＜10＞は 10 ÷ 2 = 5、5は2で割り切れないので1です。また、＜12＞は 12 ÷ 2 = 6、6 ÷ 2 = 3 なので2です。＜A＞が3であるとき、最も大きいAの数を求めなさい。

答え

88

解き方

求めるAは、素因数分解すると 2 × 2 × 2 × □（□は奇数）で表される数である。そのうち、2けたの数で最も大きいのは、2 × 2 × 2 × 11 = 88

問１６

\(\dfrac{14}{27}\) と \(\dfrac{7}{18}\) のどちらにかけても整数になる、一番小さい分数を求めなさい。

ヒント

\(\dfrac{A}{B}\) × \(\dfrac{△}{□}\) と \(\dfrac{C}{D}\) × \(\dfrac{△}{□}\) がともに整数となる最も小さい \(\dfrac{△}{□}\)

\(\dfrac{△}{□}\) = \(\dfrac{BとDの最小公倍数}{AとCの最大公約数}\)

答え

\(7\dfrac{5}{7}\)

解き方

求める分数は、分子は2つの分数の分母である27と18の最小公倍数54、分母は2つの分数の分子である14と7の最大公約数7となる。
\(\dfrac{54}{7}\) = \(7\dfrac{5}{7}\)

問１７

縦4cm、横8cm、高さ3cmの直方体があります。この直方体を、同じ向きにすき間なく並べたり積んだりして、できるだけ小さい立方体をつくります。このとき、直方体は何個必要ですか。

答え

144個

解き方

できるだけ小さい立方体の一辺の長さは、4と8と3の最小公倍数24(cm)になる。
よって、縦は 24 ÷ 4 = 6(個)、横は 24 ÷ 8 = 3(個)、縦は 24 ÷ 3 = 8(個)必要なので、全部で 6 × 3 × 8 = 144(個) 必要。

問１８

30未満の4の倍数をすべて足すといくつになりますか。

答え

112

解き方

30未満で最大の4の倍数は 4 × 7 = 28
4 × 1 + 4 × 2 + ・・・ + 4 × 7
= 4 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)
= 4 × 28 = 112

問１９

1512の約数で、3番目に大きい数を求めなさい。

答え

504

解き方

3番目に小さい約数がわかると、3番目に大きい約数もわかる。

問２０

8とある整数の最大公約数は4、最小公倍数は104です。ある整数を求めなさい。

答え

52

解き方

ある整数を□、ある整数を最大公約数の4で割った商を○とする。

図より、8とある整数□の最小公倍数は、4 × 2 × ○ = 104
○ = 13
□ = 4 × ○ = 4 × 13 = 52

問２１

縦が3cm、横が4cmのタイルがあります。面積が576cm²の正方形になるようにタイルをしきつめるとき、縦には何個のタイルを並べればよいですか。

答え

8個

解き方

576 = 4 × 12 × 12 = 2 × 2 × 12 × 12 = 24 × 24 より、
面積が576cm²の正方形の一辺の長さは24cm
縦に必要なタイルは、24 ÷ 3 = 8(個)

問２２

1から100までの数字で、6の倍数に○をつけ、8の倍数に□をつけます。連続した3つの数字で、7や17のように、○と□ではさまれた数字は何個ありますか。

答え

8個

解き方

○と□ではさまれた数は、6の倍数より1大きく、8の倍数より1小さい数である。6の倍数より1大きく、8の倍数より1小さい数で最も小さい数は7で、それ以降は6と8の最小公倍数である24ごとに出てくるので、
7, 31, 55, 79の4個
□と○ではさまれた数は、8の倍数より1大きく、6の倍数より1小さい数である。8の倍数より1大きく、6の倍数より1小さい数で最も小さい数は17で、それ以降は6と8の最小公倍数である24ごとに出てくるので、
17, 41, 65, 89の4個
よって、8個