算数【基本】容器内の水の体積（容積）と水位変化

問１

ポイント
水位 = 水の体積 ÷ 容器の底面積

（１）図のような長方形と直角三角形で囲まれた容器の中に、深さ 4 cm のところまで水が入っています。入っている水の体積は何 cm3 ですか。

答え（１）
54 cm3
解き方（１）

水の体積は、青線の台形（□DBCE）を底面とする高さ 3 cm の四角柱の体積である。
△ABC と△ADE は相似で相似比は 2：1 より、面積比は 4：1 となる。
□DBCE
= △ABC – △ADE
= △ABC – \(\dfrac{1}{4}\) × △ABC
= \(\dfrac{3}{4}\) × △ABC
= \(\dfrac{3}{4}\) × 6 × 8 × \(\dfrac{1}{2}\) = 18 [cm2]
水の体積は、18 × 3 = 54 [cm3]

（２）図のように直方体 A の容器に、水が 20 cm のところまで入っています。B の容器は直方体の上に円柱がのっている形をしています。

　円周率は3として計算しなさい。

① A の容器に入っている水の半分を、B の容器に移します。B の容器の㋐の面から水面までの高さは何 cm になりますか。

答え（２）- ①
4 cm
解き方（２）- ①
B の容器に移す水の体積は 15 × 12 × 20 ÷ 2 = 1800 [cm3]
㋐の面積は 30 × 15 = 450 [cm2] より、水面までの高さは、
1800 ÷ 450 = 4 [cm]
(4 ＜ 6 より、水は直方体部分に収まっている)

② A の容器に入っている水を、すべてB の容器に移します。B の容器の㋐の面から水面までの高さは何 cm になりますか。

答え（２）- ②
18 cm
解き方（２）- ②
B の容器の直方体部分に入る水の体積は 450 × 6 = 2700 [cm3] より、残りの 3600 – 2700 = 900 [cm3] は円柱部分に入る。

円柱部分の水面の高さを□ cm とすると、
□ = 900 ÷ ( 5 × 5 × 3 ) = 12 [cm]
㋐から水面までの高さは、
6 + 12 = 18 [cm]

（３）円柱の容器に、高さの 3 分の 2 の位置まで水が入っています。この水を図のような三角柱の容器に移したところ水は 12 cm3 あふれました。円柱の容積は何 cm3 ですか。

答え（３）
93 cm3
解き方（３）
円柱に入っていた水の体積は、5 × 5 × \(\dfrac{1}{2}\) × 4 + 12 = 62 [cm3]
円柱の容積は高さに比例するので、
62 × \(\dfrac{3}{2}\) = 93 [cm3]

（４）底面の半径が 4 cm、高さが 5 cm の円柱を 4 等分した形の容器に、図 1 のように水が入っています。以下の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

① 図 1 の水の体積は何 cm3 ですか。

答え（４）- ①
22.8 cm3
解説（４）- ①
4 × 4 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) × 5 – 4 × 4 × \(\dfrac{1}{2}\) × 5
= 20 × 3.14 – 20 × 2
= 20 × ( 3.14 – 2 )
= 20 × 1.14 = 22.8 [cm3]

② 図 1 の容器を、図 2 のようにおうぎ形が底面になるようにおきました。このとき、水の深さは何 cm ですか。答えは四捨五入して小数第 1 位まで求めなさい。

答え（４）- ②
1.8 cm
解説（４）- ②
22.8 ÷ ( 4 × 4 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) )
= 22.8 ÷ 12.56
= 1.81… ≒ 1.8 [cm]

（５）底面が 1 辺 4 cm の正方形で、深さが 20 cm の直方体の形をした容器に、1 辺が 2 cm の立方体の形をした氷を 33 個入れます。氷が完全にとけて水になったとき、水面の高さは 何 cm になりますか。ただし、氷の体積は、水の体積の1.1倍とする。

答え（５）
15 cm
解説（５）
氷が完全にとけて水になったときの体積は、
2 × 2 × 2 × 33 ÷ 1.1 = 240 [cm3]
よって、水面の高さは、
240 ÷ ( 4 × 4 ) = 15 [cm]

（６）図のような、水がいっぱい入っている三角柱の容器 A と、空の直方体の容器 B があります。

① 容器 A に入っている水は何 cm3 ですか。

答え（６）- ①
540 cm3
解説（６）- ①
18 × 4 × \(\dfrac{1}{2}\) × 15 = 540 [cm3]

② 容器 A から容器 B へ、水をすべて移しかえるとき、容器 B の水の深さは何 cm になりますか。

答え（６）- ②
7.5 cm
解説（６）- ②
540 ÷ ( 9 × 8 ) = 7.5 [cm]

③ 容器 A と容器 B の水の高さを同じにするには、容器 A から容器 B へ何 cm3 移せばよいですか。

答え（６）- ③
360 cm3
解説（６）- ③
高さを同じにすると、容積は底面積に比例する。
容器 A と B の底面積の比は 1：2 より、容積の比を 1：2 にすれば高さは同じになる。よって、
540 × \(\dfrac{2}{3}\) = 360 [cm3]

（７）縦 6 cm、横 5 cm、深さ 8 cm の直方体をした容器に、深さ 6 cm まで水が入っています。この容器を、辺 AB を床につけて静かにかたむけます。

① 図のように、水をこぼさないように容器をかたむけたとき、アの長さは何 cm になりますか。

答え（７）- ①
4 cm
解説（７）- ①

水が入っていない部分の体積は同じ。かたむける前と後で、縦の長さは同じなので、水が入っていない部分の底面積は等しい。よって、
5 × □ ÷ 2 = 5 × 2
□ = 4 [cm]
ア = 8 – 4 = 4 [cm]

② 図にように、容器を 45 度かたむけて水をこぼしてから、容器をもとに戻したとき、水の深さは何 cm になりますか。

答え（７）- ②
5.5 cm
解説（７）- ②

残っている水の体積は、
{ ( 3 + 8 ) × 5 ÷ 2 } × 6 = 165 [cm3]
求める水の深さは、
165 ÷ ( 6 × 5 ) = 5.5 [cm]

（８）図 1 は、縦 10 cm、横 10cm、高さ 15 cm の直方体から、縦 6 cm、横 4 cm、高さ 15 cm の直方体を 2 つぬき取った形をしている容器です。この容器に深さが 10 cm のところまで水を入れて、水がこぼれないようにふたをしました。

① この容器に入っている水の量は何 cm3 ですか。

答え（８）- ①
520 cm3
解説（８）- ①
( 10 × 10 – 4 × 6 × 2 ) × 10 = 520 [cm3]

② この容器を図 2 のように㋐の面を底にすると、水面は㋐の面から何 cm のところにありますか。

答え（８）- ②
\(8\dfrac{4}{15}\) cm
解説（８）- ②

容器を①②③の 3 つの部分に分ける。①③は同じ形をしている。
①の体積は 15 × 10 × 2 = 300 [cm3]、②の体積は 15 × 2 × 6 = 180 [cm3] となる。
① + ② = 480 [cm3] となり、その体積は入っている水の体積より小さいため、①②までは水で満たされている。
③の部分の水位は、
( 520 – 480 ) ÷ 150 = \(\dfrac{4}{15}\) [cm]
よって、㋐の面から水面までは 2 + 6 + \(\dfrac{4}{15}\) = \(8\dfrac{4}{15}\) [cm]

（９）図のように、縦 5 cm、横 30 cm、高さ 30cm の直方体から三角柱と直方体を切り取った形をした容器に、上から 5 cm のところまで水が入っています。

① 容器に入っている水の体積は何 cm3 ですか。

答え（９）- ①
2500 cm3
解説（９）- ①

入っている水の体積は、　　 部分を底面積とする高さ 5 cm の多角柱の体積に等しい。
　　 部分の面積は、
30 × 30 – 30 × 5 – 10 × 20 ÷ 2 – 10 × 15
= 900 – 150 – 100 – 150 = 500 [cm2]
入っている水の体積は、500 × 5 = 2500 [cm3]

② AB を床につけたまま、ゆっくりと CD が床につくまで容器をかたむけて水をこぼしたとき容器の中に残る水は何 cm3 ですか。

答え（９）- ②
625 cm3
解説（９）- ②

残る水の体積は、　　 部分を底面積とする高さ 5 cm の四角柱の体積に等しい。
　　 部分の面積は、
15 × 30 ÷ 2 – 10 × 20 ÷ 2
= ( 450 – 200 ) ÷ 2 = 125 [cm2]
入っている水の体積は、125 × 5 = 625 [cm3]

（１０）図 1 の容器に水を入れ、ふたをしてから傾けると図 2 のようになりました。図 1 の水の高さは何 cm ですか。

答え（１０）
5.75 cm
解説（１０）

図 1、2 の入っている水の体積は等しく、奥行きも等しいので、　　 部分の面積は等しい。
図 2 の 　　 部分の面積は、
8 × 8 – 4 × 4 – 3 × 3 ÷ 2 × 2
= 64 – 16 – 9 = 39 [cm2]
求める深さを□ cm とすると、
□ = ( 39 – 4 × 4 ) ÷ 4
= 23 ÷ 4 = 5.75 [cm]

（１１）図のような、直方体の形をした 2 つの水そう A、B があります。A には深さ 15 cm、B には深さ 10 cm まで水が入っています。

① A、B に入っている水はそれぞれ何 cm3 ですか。

答え（１１）- ①
A：3240 cm3　B：1440 cm3
解説（１１）- ①
A：12 × 18 × 15 = 3240 [cm3]
B：8 × 18 × 10 = 1440 [cm3]

② A、B の水の深さを同じにするには、A から B に何 cm3 移せばよいですか。

答え（１１）- ②
432 cm3
解説（１１）- ②
水の深さが等しいとき、それぞれに入っている水の体積の比は底面積の比に等しい。
A、B は横の長さが等しいので、入っている水の体積比は縦の長さの比になる。
A：B = 12：8 = 3：2　となり
\(\dfrac{2}{5}\)をAからBに移せばよい。
AとBの高さは、15 – 10 = 5 [cm]の差があるので、移す水の高さは、
5 × \(\dfrac{2}{5}\) = 2 [cm]
よって、12 × 18 × 2 = 432 [cm3]

【別解】A から B に移す水の体積を□ cm3 とすると、
3240 – □：1440 + □ = 12：8 = 3：2
2 × ( 3240 – □ ) = 3 × ( 1440 + □ )
5 × □ = 2 × 3240 – 3 × 1440
5 × □ = 2160
□ = 432 [cm3]

問２

ポイント
【容器の中に物（おもり）を入れる】
① 物の全体が水につかる場合
増加した水位 = 物の体積 ÷ 容器の底面積
② 物の一部分が水につかっている場合
水位 = 水の体積 ÷（ 容器の底面積 – 物の底面積 ）

（１）図 1 の容器に 6 cm の高さまで水を入れます。その中に、図 2 の直方体の形をしたおもりを容器の底までまっすぐに入れると、水面は何 cm 上がりますか。

答え（１）
1.5 cm
解き方（１）

水の体積は、10 × 8 × 6 = 480 [cm3]
おもりを入れたあとの底面の面積は、10 × 8 – 4 × 4 = 64 [cm2]
おもりを入れたあとの水位を□ cm とすると、
□ = 480 ÷ 64 = 7.5 [cm]
よって、元の水面より 7.5 – 6 = 1.5 [cm] 上がる。

（２）図のように、縦 20 cm、横 30 cm、高さ 10 cm の水そうに、8 cm の高さまで水が入っています。この水そうに 1 辺が 10 cm の立方体のおもりを入れていきます。

① おもりを 1 個入れると、水面は何 cm 上がりますか。

答え（２）- ①
1.6 cm
解き方（２）- ①
水そうの底面の面積は 30 × 20 = 600 [cm2]、水そうに入っている水の体積は 600 × 8 = 4800 [cm3]
おもりの 1 面の面積は 10 × 10 = 100 [cm2]おもりを 1 個入れたときの水位は、
4800 ÷ ( 600 – 100 ) = 9.6 [cm]
よって、水面は 9.6 – 8 = 1.6 [cm] 上がる。

② おもりを 4 個入れると、水そうの水は何 cm3 あふれますか。

答え（２）- ②
2800 cm3
解き方（２）- ②
おもりを 4 個入れると、水そうの底面積は 600 – 100 × 4 = 200 [cm2] となるので、水そうに入れることのできる水の体積は最大で 200 × 10 = 2000 [cm3] となる。
よって、あふれる水の量は、
4800 – 2000 = 2800 [cm3]

（３）図 1 のように、1 辺 5 cm の立方体の容器に水が入っています。この容器に、1 辺 1 cm の立方体のおもりを 9 個入れ、同様に 2 段目、3 段目、・・・と積み重ねていきます。

① おもりを 1 個入れると、水面は何 cm 上がりますか。ただし、おもりが水面の上にでないものとします。

答え（３）- ①
0.04 cm
解き方（３）- ①
物の全体が水につかる場合
おもり 1 個の体積分水面が上がる。
増加した水位 = 物の体積 ÷ 容器の底面積で計算できるので
( 1 × 1 × 1 ) ÷ ( 5 × 5 ) = 0.04 [cm]

② 5 段目を入れ終わるとちょうど満水になります。図 1 の水面の高さは何 cm でしたか。

答え（３）- ②
3.2 cm
解き方（３）- ②
5 段積み重ねたおもりの個数は 9 × 5 = 45 [個]
45 個入れたときの水面は、45 × 0.04 = 1.8 [cm] 上がる。
満水時は 5 cmなので、5 – 1.8 = 3.2 [cm]

【別解】
5 段積み重ねたおもりの個数は 9 × 5 = 45 [個] より、その体積は 45 cm3
容器に入っている水の体積は、
5 × 5 × 5 – 45 = 80 [cm3]
よって、水面の高さは、
80 ÷ 25 = 3.2 [cm]

（４）図のような容器 A と B があります。どちらにも同じ量の水が入っています。

① 容器 A に入っている水は何 cm3 ですか。

答え（４）- ①
8800 cm3
解説（４）- ①
22 × 25 × 16
= 22 × 25 × 4 × 4
= 88 × 100 = 8800 [cm3]

② 容器 A に水がこぼれないようにふたをして、　 部分を下にするようにたおしました。このとき、水面の高さは何 cm ですか。

答え（４）- ②
11 cm
解説（４）- ②
8800 ÷ ( 25 × 32 ) = 11 [cm]

③ 容器 B に鉄柱をしずめたら、水面の高さが 17 cm になりました。鉄柱の体積は何 cm ですか。

答え（４）- ③
720 cm3
解説（４）- ③
28 × 20 × 17 = 9520 [cm3]
鉄柱の体積は、9520 – 8800 = 720 [cm3]

（５）円柱の容器に水が入っています。この中に、底面の半径が 5 cm、高さが 15 cm の円柱を図 1 のように立てて入れたら、水面より 4 cm 上に出ました。次に、図 2 のように横にして入れたら、水の深さは 12 cm になりました。この容器の底面の半径は何 cm ですか。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え（５）
10 cm
解説（５）

　部分の体積が等しくなる。
容器の底面の半径を□ cm とすると、
□ × □ × 3.14 × 1 = 5 × 5 × 3.14 × 4
□ × □ = 5 × 5 × 2 × 2 = 10 × 10
□ = 10 [cm]

問３

ポイント
・同じ高さまで水を入れるとき、かかる時間の比は底面積の比と等しく、奥行きが一定の直方体の容器では横の長さの比とも等しい。
・底面積が一定のとき、水を入れる時間の比と水位の比は等しい。
・単位時間あたりに増加する水位の比と、水がたまる部分の底面積の比（奥行きが一定の容器では横の長さの比）は互いに逆比となる。

（１）立方体の形をした水そうに、直方体のおもりが入れてあります。グラフは、この水そうの中に毎分 2 L の割合で 10 分間水を入れたときの時間と水の深さの関係を表したものです。

① 水そうの底面積は何 cm2 ですか。

答え（１）- ①
1000 cm2
解説（１）- ①

グラフより、おもりは水を入れ始めてから 4 分後に完全に水に浸る状態になることがわかる。すなわち、これ以降、水面の面積（ = 容器の底面積 ）が底面積となる。4 ～ 10 分の間にたまった水の体積は、
2 × ( 10 – 4 ) = 12 [L] = 12000 [cm3]
よって、水そうの底面積は、
12000 ÷ ( 28 – 16 ) = 1000 [cm2]

② おもりの底面積は何 cm2 ですか。

答え（１）- ②
500 cm2
解説（１）- ②
おもりが完全に水に浸るまでにたまった水の体積は、
2 × 4 = 8 [L] = 8000 [cm3]
おもりの入っている部分の底面積は、
8000 ÷ 16 = 500 [cm2]
1000 – 500 = 500 [cm2]

【別解】
単位時間あたりに増加する水位と比と、水がたまる部分の底面積の比は逆比となることから、おもりの底面積を□ cm2とすると、
12 [cm] ÷ 6 [分]：16 [cm] ÷ 4 [分]
1：2 = 1000 – □：1000
1000 = 2 × ( 1000 – □ )
2 × □ = 2000 – 1000 = 1000
□ = 500 [cm2]

（２）図のように直方体の水そうが、板で A、B 2 つの部分に分けられています。また、B の部分には直方体のおもりが置いてあります。A の部分に毎分 150 cm3 の割合で水を入れます。グラフは水を入れ始めてからの時間と B の部分の水の深さを表しています。ただし、板の厚さは考えないものとします。

ヒント

P：A の部分の水の深さが板の高さと等しくなる
Q：B の部分の水の深さがおもりの高さと等しくなる（おもりが完全に水に浸る）
R：B の部分の水の深さが板の高さと等しくなる
S：水そうが満水になる

① 板の高さは何 cm ですか。

答え（２）- ①
20 cm
解説（２）- ①
ヒントより、20 cm

② おもりの底面積は何 cm2 ですか。

答え（２）- ②
170 cm2
解説（２）- ②
水そうの B 側の面積は、
150 × ( 48 – 38 ) ÷ ( 20 – 15 )
= 150 × 10 ÷ 5 = 300 [cm3]
おもりの入っている部分の底面積は、
150 × ( 38 – 25 ) ÷ 15 = 130 [cm2]
よって、おもりの底面積は
300 – 130 = 170 [cm2]

【別解】
単位時間あたりに増加する水位と比と、水がたまる部分の底面積の比は逆比となることから、おもりの底面積を□ cm2とすると、
( 20 – 15 ) ÷ ( 48 – 38)：15 ÷ ( 38 – 25) = 300 – □：300
\(\dfrac{1}{2}\)：\(\dfrac{15}{13}\) = 300 – □：300
13：30 = 300 – □：300
3900 = 30 × ( 300 – □ )
130 = 300 – □
□ = 300 – 130 = 170 [cm2]

（３）図のような直方体の容器があります。底の部分は、長方形の仕切りで 2 つの部分 A、B に分かれていて、A の側に立方体のおもりが入っています。この容器の A の側から、容器がいっぱいになるまで毎分一定の割合で水を入れます。グラフは、水を入れ始めてからの時間とAの水の深さの関係を表しています。

ヒント

P：A の部分の水の深さがおもりの高さと等しくなる（おもりが完全に水に浸る）
Q：A の部分の水の深さが仕切りの高さと等しくなる
R：B の部分の水の深さが仕切りの高さと等しくなる
S：水そうが満水になる

① 立方体の 1 辺の長さは何 cm ですか。

答え（３）- ①
10 cm
解説（３）- ①
ヒントより、P のとき、A の部分の水の深さがおもりの高さと等しくなるので、立方体の高さ（= 1 辺の長さ）は 10 cm

② 1 分間に入れている水の量は何 cm3 ですか。

答え（３）- ②
1000 cm3
解説（３）- ②
おもりが完全に水に浸ってから、水の深さが仕切りの高さと等しくなるまで（ ヒント：P ～ Q の間 ）に入った水の体積は、
40 × 30 × ( 20 – 10 ) = 12000 [cm3]
かかった時間は 23 – 11 = 12 [分] より、
12000 ÷ 12 = 1000 [cm3/分]

③ グラフの㋐、㋑に当てはまる値はそれぞれいくつですか。

答え（３）- ③
㋐：35　㋑：30
解説（３）- ③
ヒントより仕切りの高さは 20 cm より、Q ～ R までにかかる時間は、
20 × 30 × 20 ÷ 1000 = 12 [分]
よって、㋐ = 23 + 12 = 35
R ～ S の間に入る水の体積は、1000 × ( 53 – 35 ) = 18000 [cm3]
よって、この間に増える水位は、
18000 ÷ ( 60 × 30 ) = 10 [cm]
よって、㋑ = 20 + 10 = 30