算数【応用】図形の移動

円周率は 3.14 とします。

問１

半径 2 cm の円を 1 辺 16 cm の正方形の内側に沿って転がします。

（１）図の A の位置から B の位置まで円を転がしたとき、円が通過した 　 部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（１）
60.56 cm2
解き方（１）

求める面積は、半径 2 cm の円の面積と、縦 4 cm、横 12 cm の長方形の面積の和となる。
2 × 2 × 3.14 + 4 × 12
= 12.56 + 48 = 60.56 [cm2]

（２）図の A の位置から円を正方形の内側に沿って 1 周転がしたとき、円が通過した部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（２）
188.56 cm2
解き方（２）

求める面積の図形は、（１）の 　 部分の図形を 4 つ組み合わせた形をしており、　 部分が重なっている。
重なった部分の面積は、
2 × 2 × 3.14 × 3 + 4 × 4
= 4 × ( 3.14 × 3 + 4 )
= 4 × ( 9.42 + 4 )
= 4 × 13.42 = 53.68 [cm2]
よって、求める面積は、
60.56 × 4 – 53.68 = 188.56 [cm2]

（３）図のように 1 辺 16 cm の正方形から 1 辺 4 cm の正方形を 4 つ切り取ります。このとき、円を図形の内側に沿って 1 周転がしたとき、円が通過した部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（３）
171.36 cm2
解き方（３）

求める面積は、　 部分。
　 部分の面積は、半径 4 cm の円 ( 　 ) と、赤線の長方形 4 個から 　 部分の面積を除いたものとなる。
　 部分の面積は、1 個の赤線の長方形から半径 2 cm の円を 2 個除いた面積より、
4 × 8 – 2 × 2 × 3.14 × 2
= 8 × ( 4 – 3.14 )
= 8 × 0.86 = 6.88 [cm2]
求める面積は、
4 × 4 × 3.14 + 4 × 8 × 4 – 6.88
= 50.24 + 128 – 6.88 = 171.36 [cm2]

問２

図のように、半径 8 cm、中心角 45° のおうぎ形が地面にそって、（ア）の位置から（イ）の位置へすべることなく 1 回転して移動します。

（１）（ア）と（イ）の点 O の位置は、何 cm はなれていますか。

答え（１）
22.28 cm
解き方（１）

AB 間の長さはおうぎ形の弧の長さに等しい。
（ア）と（イ）の点 O の位置は、
8 + 8 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{45}{360}\) + 8
= 8 + 6.28 + 8 = 22.28 [cm]
はなれている。

（２）点 O が通ったあとの長さを求めなさい。

答え（２）
31.4 cm
解き方（２）

点 O が通ったあとを青線で示した。
図よりその長さは、
8 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) × 2 + 6.28
= 25.12 + 6.28 = 31.4 [cm]

問３

図のような長方形 ABCD があります。点 O を中心として、三角形 OAB を点 A が点 B、C、D を通るように 360° 回転させたとき、辺 AB が通過する部分の面積を求めなさい。

答え
28.26 cm2
解き方

点 A、B は青線上を移動する。辺 AB の中点を M とすると、点 M は赤線上を移動する。したがって、辺 AB が通過するのは 　 部分となる。
△OAM と △CAB は相似の関係にあり、相似比は OA：CA = 1：2 である。よって、OM = CB × \(\dfrac{1}{2}\) = 8 × \(\dfrac{1}{2}\) = 4 [cm]
よって、求める面積は、
5 × 5 × 3.14 – 4 × 4 × 3.14
= ( 25 – 16 ) × 3.14
= 9 × 3.14 = 28.26 [cm2]

問４

図の長方形をすべらないように矢印の向きに 1 回転させたとき、点 P が描く図形の長さを求めなさい。

答え
18.84 cm
解き方

点 P が描く図形を太い青線で示した。
図よりその長さは、
3 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) + 5 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) + 4 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\)
= 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) × ( 3 + 5 + 4 )
= 2 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) × 12
= 3.14 × 6 = 18.84 [cm]

問５

図のように、直線状に直角三角形 ABC があります。この直角三角形 ABC を、直線状をすべらないように矢印の方向に一回転させました。このとき、頂点 A が描く曲線の長さを求めなさい。

答え
61.23 cm
解き方

頂点 A が描く曲線を太い青線で示した。
図よりその長さは、
9 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) + 18 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{150}{360}\)
= 9 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) + 18 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{5}{12}\)
= 4.5 × 3.14 + 15 × 3.14
= 19.5 × 3.14 = 61.23 [cm]

問６

図の直方体 ABCD-EFGH を、辺 FG が床と離れず、すべらないように面 BFGC が床につくまで倒たおしました。

（１）点 A が動いた長さは何 cm ですか。

答え（１）
7.85 cm
解き方（１）

点 A が描く曲線を太い青線で示した。
図よりその長さは、
5 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\)
= 10 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= 2.5 × 3.14 = 7.85 [cm]

（２）四角形 AEFB が動いた部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（２）
31.625 cm2
解き方（２）

四角形 AEFB が動いた部分の面積を 　 で示した。
図よりその面積は、
5 × 5 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) + 3 × 4 × \(\dfrac{1}{2}\) × 2
= 6.25 × 3.14 + 12
= 19.625 + 12 = 31.625 [cm2]

（３）直方体 ABCD-EFGH が動いた部分の体積は何 cm3 ですか。

答え（３）
189.75 cm3
解き方（３）

直方体 ABCD-EFGH が動いた部分の体積は、四角形 AEFB が動いた部分の面積 を底面とした高さ 6 cm の立体の体積となる。
よって求める体積は、
31.625 × 6 = 189.75 [cm3]

問７

1 辺の長さが 3 cm の正六角形が 2 つつながった図形があります。この図形のまわりを 1 辺 3 cm の正三角形 ABC が【図１】から【図２】の位置まで矢印の方向にすべることなく回転します。

（１）正三角形が【図２】の位置にきたとき、あてはまるものをア～カから選びなさい。

答え（１）
ウ
解き方（１）

図より、ウ

（２）頂点 A が動いた長さは何 cm ですか。

答え（２）
21.98 cm
解き方（２）

頂点 A が描く曲線を太い青線で示した。
図よりその長さは、
3 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{180}{360}\) × 2 + 3 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{60}{360}\)
= 6 × 3.14 + 3.14
= 7 × 3.14 = 21.98 [cm]

問８

図のように、直線上に長方形 A と直角三角形 B があります。長方形 A は図の位置から矢印の方向に秒速 1 cm で動きます。

（１）A と B が重なり始めてから重なり終わるまでにかかる時間を求めなさい。

答え（１）
18 秒
解き方（１）

図のように、長方形 A の各頂点を P、Q、R、S とし、直角三角形 B の各頂点を T、U、V とする。
A と B が重なり始めるのは R が U の位置に来たとき、A と B が重なり終わるのは Q が V の位置に来たときとなる。
この間に A が移動した距離を青矢印で示した。その距離は 8 + 10 = 18 [cm] より、かかった時間は、
18 ÷ 1 = 18 [秒]

（２）動き始めてから 5 秒後の、A と B が重なる部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（２）
1 cm2
解き方（２）

動き始めてから 5 秒後、 A が移動した距離は 1 × 5 = 5 [cm] より、R は U より右に 2 cm の位置にある。A の辺 RS と B の辺 TU の交点を W とすると、重なった部分は △WUR ( 　 ) である。
△WUR と △TUV は相似 ( 2 つの角の大きさが等しい ) で、相似比は UR：UV = 2：10 = 1：5、面積比は △WUR：△TUV = 1：25 より、
△WUR = △TUV × \(\dfrac{1}{25}\)
= 10 × 5 × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{25}\)
= 25 × \(\dfrac{1}{25}\) = 1 [cm2]

（３）動き始めてから 15 秒後の、A と B が重なる部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（３）
17 cm2
解き方（３）

動き始めてから 15 秒後、 A が移動した距離は 1 × 15 = 15 [cm] より、R は V より右に 2 cm、Q は U より右に 4 cm の位置にある。A の辺 PQ、PS と B の辺 TU の交点をそれぞれ X、Y とし、A の辺 PS と B の辺 TV の交点を Z とする。
重なった 　 部分の面積は、△TUV から △XUQ と △TYZ の面積を除くことで求めることができる。
△XUQ と △TUV は相似で、相似比は UQ：UV = 4：10 = 2：5、面積比は △XUQ：△TUV = 4：25 より、
△XUQ = △TUV × \(\dfrac{4}{25}\)
= 25 × \(\dfrac{4}{25}\) = 4 [cm2]
また、△XUQ と △TYZ は合同 ( 1 辺の長さとその両端の角の大きさが等しい ) なので、面積は等しい。よって、求める面積は、
25 – 4 × 2 = 17 [cm2]

（４）A と B が重なる部分の図形は時間が経たつにつれて変化していきます。どのような形に変化していくのか、変化する順に答えなさい。ただし、下のア～カから選んで答えなさい。

ア.　長方形

イ.　台形

ウ.　直角三角形

エ.　二等辺三角形

オ.　正三角形

カ.　五角形

答え（４）
ウ → イ → カ → ア
解き方（４）
R が U に到達してから S が辺 TU 上に到達するまで ⇒ 直角三角形

S が辺 TU 上に到達してから Q が U に到達するまで ⇒ 台形

Q が U に到達してから R が V に到達するまで ⇒ 五角形

R が V に到達してから Q が V に到達するまで ⇒ 長方形

問９

【図 1】のように、1 辺の長さが 4 cm の正三角形から、半径が 2 cm のおうぎ形を 3 個切り取ってできた図形 P があります。この図形 P を、【図 2 】のように半径が 2 cm の円 O の周上にぴったりと重ね、すべらないように矢印の方向に円 O の周上を転がします。1 辺の長さが 4 cm の正三角形の面積は 6.93 cm2 とします。

（１）図形 P の面積は何 cm2 ですか。

答え（１）
0.65 cm2
解き方（１）
図形 P の面積は、1 辺の長さが 4 cm の正三角形の面積から半径が 2 cm で中心角が 60° のおうぎ形 3 個分の面積を除いたものより、
6.93 – 2 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{60\ ×\ 3}{360}\)
= 6.93 – 4 × 3.14 × \(\dfrac{1}{2}\)
= 6.93 – 2 × 3.14
= 6.93 – 6.28 = 0.65 [cm2]

（２）図形 P がはじめてもとの位置にもどるまで転がったとき、点 A が動いたあとの線の長さは何 cm ですか。

答え（２）
25.12 cm
解き方（２）


点 A が動いたあとの線を太い青線で示した。図形 P が 1 回転がるごとに 180° 回転する。よって、
2 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{180\ ×\ 4}{360}\)
= 2 × 2 × 3.14 × 2 = 25.12 [cm]

（３）図形 P がはじめてもとの位置にもどるまで転がったとき、点 A が動いた部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（３）
38.98 cm2
解き方（３）

図より、求める面積 ( 　 ) は、半円 4 つと 1 辺の長さが 4 cm の正三角形 2 つの和となる。
よって、
2 × 2 × 3.14 × 2 + 6.93 × 2
= 25.12 + 13.86 = 38.98 [cm2]