算数【難問】余りのある計算

問１

500 を A で割ると、商が 16、余りが B になります。A、B にあてはまる整数の組をすべて答えなさい。

答え: ( A, B ) = ( 31, 4 ), ( 30, 20 )

解き方: 割られる数は「割る数 × 商 + 余り」で表すことができる。（除法の原理）
問題の数をあてはめると、
500 = A × 16 + B
また、B は余りなので 0 以上で A より小さい。
500 ÷ 16 を実際に計算すると、
500 ÷ 16 = 31 あまり 4
この計算から、A が 32 以上になると、A × 16 が 500 をこえてしまうことがわかる。したがって、A が 31 以下の数である。
・A = 31 のとき
B = 500 – 31 × 16 = 4
・A = 30 のとき
B = 500 – 30 × 16 = 20
・A = 29 のとき
B = 500 – 29 × 16 = 36（＞ A ）
よって、( A, B ) = ( 31, 4 ), ( 30, 20 )

問２

1 から 7 までの数字が 1 つずつ書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつ、合わせて 7 枚あります。このカードのうち 6 枚をすべて使い、2 けたの数を 3 つ作り、それぞれを A、B、C とします。残った 1 枚のカードの数字を D とします。A を B で割ったときの商は 2 で、あまりは C になりました。また、D は C の一の位の数字より 2 大きい数でした。このとき、A、B、C、D を求めなさい。

答え: A：63　B：24　C：15　D：7

解き方: 問題の条件を確認する。
割られる数は「割る数 × 商 + 余り」で表すことができる。（除法の原理）
A、B、C をあてはめると、
A = B × 2 + C = 2 × B + C
余りは割る数より小さいので C ＜ B
また、A は最も大きい数になる ⇒ A ＞ B ＞ C
1 ～ 7 のカードで作る 2 けたの数で最も大きい数は 76、最も小さい数は 12
2 × B + C が 76 に近い組み合わせを考える。
・B = 32 とする
A = 32 × 2 + C = 64 + C ≦ 76
C = 12, A = 76 ⇒ 「 2 」は B で使用済みより不適
C ＜ 12 で適する数はない。
・B = 31 とする
A = 31 × 2 + C = 62 + C ≦ 76
C = 14, A = 76 ⇒ 「 1 」は B で使用済みより不適
C ＜ 14 で適する数はない。
・B = 27 とする
A = 27 × 2 + C = 54 + C ≦ 76
C = 16, A = 70 ⇒ D = C + 2 = 8（＞ 7 ）より不適
C = 15, A = 69 ⇒ 「 9 」が不適
C = 14, A = 68 ⇒ 「 8 」が不適
C = 13, A = 67 ⇒ 「 7 」が重複するので不適
C = 12, A = 66 ⇒ 「 6 」が重複するので不適
・B = 26 とする
A = 26 × 2 + C = 52 + C ≦ 76
C = 15 ～ 12, A = 67 ～ 64 ⇒ 「 6 」が重複するので不適
・B = 25 とする
A = 25 × 2 + C = 50 + C ≦ 76
C とA の一の位の数が重複するので不適
・B = 24 とする
A = 24 × 2 + C = 48 + C ≦ 76
C = 15, A = 63 ⇒ D = 5 + 2 = 7
すべての条件を満たしている。

問３

（１）2 桁の整数 10、11、12、・・・、98、99 について、8 で割ったときの余りが 1 になる素数をすべて求めなさい。

答え: 17, 41, 73, 89

解き方: 8 で割ったときの余りが 1 になる数は、8 の倍数に 1 を足した数である。その中から 2 桁の数を書き出すと、
17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97
これらの中で素数は、17, 41, 73, 89

（２）8 で割ると 2 余る 2 桁の整数と 8 で割ると 3 余る 2 桁の整数があります。この 2 つの数の合計が 5 の倍数になるとき、2 つの数の合計の中で 2 番目に小さい値を答えなさい。

答え: 85

解き方: あまりの性質として、「あまりどうしを足した数」を 8 で割ったあまりが、合計を 8 で割ったあまりになる。それぞれの数の余りの合計は、2 + 3 = 5 より、これらの数の合計は、必ず 8 で割ると 5 余る。一番小さい「 2 つの 2 桁の数の合計」を考える。
8 × 1 + 2 = 10
8 × 1 + 3 = 11
この 2 つの数を足すと 22 より、求める合計の候補は 22 以上の 5 の倍数で 8 で割ると 5 余る数。余りは 5 で割り切れるので、5 と 8 の最小公倍数である 40 の倍数に 5 を足した数で、22 以上で 2 番目に大きい数が求める数である。
40 × 1 + 5 = 45（ 1 番小さい数）
40 × 2 + 5 = 85（ 2 番目に小さい数）

（３）A を 8 で割った余りが C で、B を 8 で割った余りが D のとき、 A × B を 8 で割った余りは C × D を 8 で割った余りに等しいことがわかっています。10 × 10、11 × 11、12 × 12、・・・、98 × 98、99 × 99 の整数について、8 で割ったときの余りが 4 になる数の個数を求めなさい。

答え: 23 個

解き方: 問題文にあるヒントより、
「 A × B を 8 で割った余り＝ A の余り × B の余り（ C × D ）を 8 で割った余り」
割る数が 8 なので、考えられる余りは「 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 」の 8 個。
これらの積を 8 で割った余りを考える。
0 × 0 = 0 ⇒ A も B も 8 の倍数なので A × B は 8 で割り切れる = あまり 0
1 × 1 = 1 ⇒ 1 ÷ 8 = 0 あまり 1
2 × 2 = 4 ⇒ 4 ÷ 8 = 0 あまり 4
3 × 3 = 9 ⇒ 9 ÷ 8 = 1 あまり 1
4 × 4 = 16 ⇒ 16 ÷ 8 = 2 あまり 0
5 × 5 = 25 ⇒ 25 ÷ 8 = 3 あまり 1
6 × 6 = 36 ⇒ 36 ÷ 8 = 4 あまり 4
7 × 7 = 49 ⇒ 49 ÷ 8 = 6 あまり 1
以上より、かけた後のあまりが 4 になるのは、元の数を 8 で割ったあまりが「 2 」「 6 」のときだと分かる。
10 ～ 99 までの数の個数は 90 個
元の数を 8 で割ったときの余りは、「 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1 」の 8 この数のくり返し
90 ÷ 8 = 11 あまり 2
よって、「 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1 」のグループは 11 グループあり、1 グループに条件に合う余りが 2 個ずつあるので、
11 × 2 = 22 [個]
「あまり 2 」に当たる数の積の余り「 2, 3 」のうち、「 2 」は条件に合っているので、
22 + 1 = 23 [個]

問４

ある数を 21 で割ると余りが 17 になりました。同じ数を 23 で割ると、商は 21 で割ったときと同じになり、余りは 3 でした。ある数を求めなさい。

答え: 164

解き方: 「除法の原理」より、商を □ とすると、ある数は以下のように表すことができる。
□ × 21 + 17 または □ × 23 + 3
よって、次の式が成り立つ。
□ × 21 + 17 = □ × 23 + 3
□ × 23 – □ × 21 = 17 – 3
□ × 2 = 14
□ = 7
したがって、ある数は 7 × 21 + 17 = 164

問５

30 で割ると割り切れて、54 で割ると商と余りが等しくなる数があります。このような数のうち最大の数はいくつですか。

答え: 2640

解き方: 「除法の原理」より、商を □ （余りも □ ）とすると、ある数は次のように表すことができる。
54 × □ + □ = 55 × □
また、余りは割る数より小さいので □ の最大値は 53
55 × □ は 30 で割り切れるので 30 の倍数
55 × □ = 11 × 5 × □ より、□ は 6 の倍数であることがわかる。
53 以下で最も大きい 6 の倍数は 48
したがって、ある数は、
55 × 48
= ( 50 + 5 ) × 48
= 50 × 48 + 5 × 48
= 2400 + 240 = 2640

問６

2 つの同じ数をかけて 7 で割ったあまりが 1 になる数を 100 以下の数で調べます。

1 のとき、1 × 1 ÷ 7 = 0 あまり 1

2 のとき、2 × 2 ÷ 7 = 0 あまり 4

3 のとき、3 × 3 ÷ 7 = 1 あまり 2

4 のとき、4 × 4 ÷ 7 = 2 あまり 2

　　　　　：

このとき、あまりが 4 になる数をすべて足すといくつになりますか。

答え: 1510

解き方: 1 ～ 10 までの数を確認すると、
1 × 1 ÷ 7 = 0 あまり 1
2 × 2 ÷ 7 = 0 あまり 4
3 × 3 ÷ 7 = 1 あまり 2
4 × 4 ÷ 7 = 2 あまり 2
5 × 5 ÷ 7 = 3 あまり 4
6 × 6 ÷ 7 = 5 あまり 1
7 × 7 ÷ 7 = 7 あまり 0
8 × 8 ÷ 7 = 9 あまり 1
9 × 9 ÷ 7 = 11 あまり 4
10 × 10 ÷ 7 = 14 あまり 2
1 から 100 までの数を 10 個ごとのグループに分けると、それぞれのグループの中に「あまりが 4 になる数」が 3 つずつ入っている。
＜ 1 ～ 10 ＞ 2, 5, 9
2 + 5 + 9 = 16
＜ 11 ～ 20 ＞ 12, 15, 19
12 + 15 + 19
= ( 2 + 5 + 9 ) + 10 × 3
16 + 30 = 46
＜ 21 ～ 30 ＞ 22, 25, 29
22 + 25 + 29
= ( 2 + 5 + 9 ) + 20 × 3
16 + 60 = 76
　　・
　　・
　　・
＜ 91 ～ 100 ＞ 92, 95, 99
22 + 25 + 29
= ( 2 + 5 + 9 ) + 90 × 3
16 + 270 = 286
各グループの和は 16 から始まって、30 ずつ増える 10 個の数の等差数列（ 16, 46, 76, ・・・ , 286 ）になっている。
各グループの和をすべて足すと、
( 16 + 286 ) × 10 ÷ 2
= 302 × 10 ÷ 2 = 1510

問７

次の計算の結果を 9 で割ったときの余りを求めなさい。

13579 + 35791 + 57913 + 79135 + 91357

答え: 2

解き方: ※ある数を 3 で割ったあまりは、その数の「すべての桁の数字を足した合計」を 3 で割ったあまりと同じになる！

4 つの数をよく見ると、どの数も使われている数字はすべて「 1, 3, 5, 7, 9 」の 5 つである。
これらの数字を足すと、
1 + 3 + 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25
25 ÷ 3 = 8 あまり 1
よって、これらの 5 つの数字を 3 で割ったときの余りはすべて 1 になる。
また、複数の数の和をある数で割ったときの余りは、それぞれの数をある数で割った余りの和を、ある数で割った余りと同じになることから、
( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ÷ 3
= 5 ÷ 3 = 1 あまり 2
よって、求める余りは 2

※こちらも覚えておこう！！
ある数を 9 で割ったあまりは、その数の「すべての桁の数字を足した合計」を 9 で割ったあまりと同じになる！

問８

次の計算の結果を 9 で割ったときの余りを求めなさい。

13579 + 35791 + 57913 + 79135 + 91357

答え: 2

解き方: ※ある数を 3 で割ったあまりは、その数の「すべての桁の数字を足した合計」を 3 で割ったあまりと同じになる！

4 つの数をよく見ると、どの数も使われている数字はすべて「 1, 3, 5, 7, 9 」の 5 つである。
これらの数字を足すと、
1 + 3 + 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25
25 ÷ 3 = 8 あまり 1
よって、これらの 5 つの数字を 3 で割ったときの余りはすべて 1 になる。
また、複数の数の和をある数で割ったときの余りは、それぞれの数をある数で割った余りの和を、ある数で割った余りと同じになることから、
( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ÷ 3
= 5 ÷ 3 = 1 あまり 2
よって、求める余りは 2

※こちらも覚えておこう！！
ある数を 9 で割ったあまりは、その数の「すべての桁の数字を足した合計」を 9 で割ったあまりと同じになる！

問９

3 を 10 個かけてできる数を 13 で割った余りは \(\boxed{ア}\) です。また、3 を 2027 個かけてできる数を 13 で割った余りは \(\boxed{イ}\) です。

□ にあてはまる数を答えなさい。

答え: ア：3　イ：9

解き方: 3 を 10 個かけると、
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 59049
これを 13 で割ると、
59049 ÷ 13 = 4542 あまり 3
よって、ア = 3

3 をかける個数と、13 で割ったあまりの変化に着目する。
1 個のとき：3 ÷ 13 = 0 あまり 3
2 個のとき：9 ÷ 13 = 0 あまり 9
3 個のとき：27 ÷ 13 = 2 あまり 1
4 個のとき：81 ÷ 13 = 6 あまり 3
5 個のとき：243 ÷ 13 = 18 あまり 9
6 個のとき：729 ÷ 13 = 56 あまり 1
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余りは「 3, 9, 1 」の 3 個の周期で繰り返すので、この 3 個を 1グループとして考える。
2027 ÷ 3 = 675 あまり 2
すなわち、3 個の周期が 675 回繰り返されたあと、次の 2 番目の数が 3 を 2027 個かけたときの余りである。
したがって、イ = 9

問１０

36 で割っても 23 で割っても 7 余る 4 けたの整数のうち、小さいほうから 2 番目の整数を求めなさい。

答え: 2491

解き方: 「 36 で割っても 23 で割っても 7 余る」ということは、その数からあらかじめ 7 を引いておくと、36 でも 23 でもピッタリ割り切れる（あまりが出ない）数になる。
すなわち、求める数の候補は 36 と 23 の最小公倍数 828 の倍数に 7 を足した数である。
828 × 1 + 7 = 835（ 3 けた）
828 × 2 + 7 = 1663
828 × 3 + 7 = 2491