算数【基本】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１

（１）3cm、4cm、5cm、6cm、8cmのまっすぐな棒から3本取り出して、三角形を作るとき、何通りの三角形ができますか。

答え（１）

8通り

解き方（１）

3本の棒で三角形をつくる場合、最も長い辺は、残りの2辺の和より小さくなければならない。
最も長い辺が8cmのとき、残り2辺の長さ組み合わせは、(3, 6)、(4, 5)、(4, 6)、(5, 6) の4通り
最も長い辺が6cmのとき、残り2辺の長さ組み合わせは、(3, 4)、(3, 5) 、(4, 5)の3通り
最も長い辺が5cmのとき、残り2辺の長さ組み合わせは、(3, 4) の1通り
よって全部で 4 + 3 + 1 = 8

（２）3⃣、4⃣、5⃣、6⃣の4枚のカードから2枚を取り出して2けたの整数をつくります。その中に46より大きい偶数は何個ありますか。

答え（２）

3個

解き方（２）

十の位が4で46より大きい偶数はない。
十の位が5で46より大きい偶数は54、56の2個
十の位が6で46より大きい偶数は64の1個
よって、2 + 1 = 3(個)

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問２　順列、組み合わせ（計算で求める）

順列と組み合わせとは

●順列：異なるいくつかのものから条件に合うものを選んで順に並べること
異なるN個のものから異なるn個を選んで並べる順列の総数は、


●組み合わせ：異なるいくつかのものから何個かを選ぶこと
異なるN個の中から異なるn個を取り出す組み合わせの総数は、

（１）\(\boxed{あ}\)、\(\boxed{い}\)、\(\boxed{う}\)、\(\boxed{え}\)、\(\boxed{お}\) の5枚のカードを1列に並べる方法は何通りありますか。

答え（１）

120通り

解き方（１）

一枚目のカードを選ぶとき、5枚から1枚選ぶので5通り
二枚目のカードを選ぶとき、残り4枚から1枚選ぶので4通り
同様に三枚目、四枚目、最後五枚目は残り1枚なので1通りとなり、
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120(通り)となる

（２）A、B、C、D、Eの5人が縦一列に並びます。先頭にAが並ばないとき、並び方は全部で何通りありますか。

答え（２）

96通り

解き方（２）

先頭を選ぶ方法はA以外のB、C、D、Eの4人から選択するので4通り
二番目を選ぶ方法は残り4人の中から選ぶので4通り
同様に三番目は3通り、四番目は2通り、最後の1人は1通りとなり
4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96(通り)

（３）男子3人と女子3人が一列に並んで写真を撮ります。このとき、男女交互に並ぶ並び方は、全部で何通りありますか。ただし、男女6人は区別して考えること。

答え（３）

72通り

解き方（３）

最初が男子の場合、3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 36(通り)
最初が女子の場合、3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 36(通り)
よって、36 + 36 = 72(通り)

（４）2⃣、3⃣、4⃣、6⃣の4枚のカードを並べて4けたの整数をつくります。偶数は何個できますか。

答え（４）

18個

解き方（４）

4けたの整数は全部で 4 × 3 × 2 × 1 = 24(個)できる。
そのうち、奇数になるのは一の位が3⃣のときだけなので、3 × 2 × 1 × 1 = 6(個)
よって偶数は、24 – 6 = 18(個)

（５）0、1、3、5を使って、3けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいことにすると、整数は全部で何通りできますか。

答え（５）

48通り

解き方（５）

3 × 4 × 4 = 48(通り)

（６）A、B、C、D、Eの5人の中から、委員を3人選びます。選び方は何通りありますか。

答え（６）

10通り

解き方（６）

\(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 10(通り)

（７）A～Eの5組のチームで試合を行いました。必ず全チームと1度は試合を行い、同じチームと2度は試合をしません。試合は全部で何試合ありますか。

答え（７）

10試合

解き方（７）

試合の数 = 5組から2組を選ぶ組み合わせの数
\(\dfrac{5\ ×\ 4}{2\ ×\ 1}\) = 10(試合)

（８）0⃣、4⃣、5⃣、5⃣の4枚のカードを並べてできる4桁の数は何個ありますか。

答え（８）

9通り

解き方（８）

まず、2枚ある5⃣を区別して考えると（5⃣₁, 5⃣₂）、
3 × 3 × 2 × 1 = 18(通り)
5⃣₁と5⃣₂の並び方は 2 × 1 = 2(通り) あるが、実際はこれらのカードは区別できない。
よって、18 ÷ 2 = 9(通り)

実際に書き出すと以下の通り。
4⃣0⃣5⃣₁5⃣₂ = 4⃣0⃣5⃣₂5⃣₁
4⃣5⃣₁0⃣5⃣₂ = 4⃣5⃣₂0⃣5⃣₁
4⃣5⃣₁5⃣₂0⃣ = 4⃣5⃣₂5⃣₁0⃣
5⃣₁0⃣4⃣5⃣₂ = 5⃣₂0⃣4⃣5⃣₁
5⃣₁0⃣5⃣₂4⃣ = 5⃣₂0⃣5⃣₁4⃣
5⃣₁4⃣0⃣5⃣₂ = 5⃣₂4⃣0⃣5⃣₁
5⃣₁4⃣5⃣₂0⃣ = 5⃣₂4⃣5⃣₁0⃣
5⃣₁5⃣₂0⃣4⃣ = 5⃣₂5⃣₁0⃣4⃣
5⃣₁5⃣₂4⃣0⃣ = 5⃣₂5⃣₁4⃣0⃣
※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

（９）5⃣、6⃣、7⃣、8⃣、9⃣の5枚のカードから3枚を取り出して並べ、3けたの整数を作ります。5の倍数は何個作れますか。

答え（９）

12個

解き方（９）

これらのカードで5の倍数を作る場合、一の位が必ず5⃣である。
百の位は5⃣以外の4通り、十の位は3通りなので、
4 × 3 × 1 = 12(個)

（１０）0、1、2、5、8、9のうち異なる3個を並べて、3けたの整数を作ります。5の倍数は全部で何個できますか。

答え（１０）

36個

解き方（１０）

これらの数字で5の倍数を作る場合、一の位は0か5である。
一の位が0のときは、5 × 4 × 1 = 20個
一の位が5のときは、4 × 4 × 1 = 16個
全部で 20 + 16 = 36(個)

（１１）0⃣、1⃣、2⃣、4⃣の4枚のカードから3枚を選び、3けたの整数を作ります。3の倍数は何通りできますか。

答え（１１）

8通り

解き方（１１）

3の倍数は各位の数字の和が3の倍数となる。
3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせは、(0, 1, 2)、(0, 2, 4) の2通り。
0を含む3つの数字でできる3けたの整数は、2 × 2 × 1 = 4(通り)
よって、4 × 2 = 8(通り)

（１２）2⃣、2⃣、3⃣、⊡の4枚のカードから3枚を取り出して並べ、数を作ります。⊡は小数点です。全部で何個作れますか。

答え（１２）

6個

解き方（１２）

小数点を含まない取り出し方の組み合わせは、2⃣、2⃣、3⃣の1通り
このときのできる数の個数は、3 × 2 × 1 ÷ 2 = 3(個)　※2⃣が2つあり、その並び方が2通りあるから
小数点を含む取り出し方の組み合わせは、⊡、2⃣、2⃣と⊡、2⃣、3⃣の2通り
⊡、2⃣、2⃣のときできる数は、2.2の1個
⊡、2⃣、3⃣のときできる数は、2.3と3.2の2個
（小数点が最初と最後にくることはない）
よって、全部で 3 + 1 + 2 = 6(個)

（１３）A、B、Cの3グループで動物園、水族館、遊園地に行くことになりました。1か所に2グループまで行くことができるとき、行先の組み合わせは全部で何通りありますか。どのグループも行かない場所があってもよいとします。

答え（１３）

24通り

解き方（１３）

① 3グループとも行先が異なる場合
3 × 2 × 1 = 6(通り)

② 2つグループの行先が同じ場合
行先が同じとなる2グループの組み合わせは、\(\dfrac{3\ ×\ 2}{2\ ×\ 1}\) = 3(通り)
このとき、もう一つのグループは2通りの行先があるので、3 × 2 = 6
実際に記述してみると下表のようになる。

A	B	C
動	動	水 遊	2通り
動	水 遊	動	2通り
水 遊	動	動	2通り

行先が同じとなる2グループは動物園、水族館、遊園地の3通りあるので、6 × 3 = 18(通り)

①②を合わせて、6 + 18 = 24通り

（１４）階段を上るとき、「1歩で1段」、または「1歩で2段」の2通りの方法を組み合わせて上ることにします。

① 6段の階段を上る方法は全部で何通りありますか。

答え（１４）- ①

13通り

解き方（１４）- ①

6段の階段を登るときの1歩の段数の組み合わせは、(1, 1, 1, 1, 1, 1)、(2, 1, 1, 1, 1)、(2, 2, 1, 1)、(2, 2, 2)
順番について考えると、
(1, 1, 1, 1, 1, 1) ⇒ 1通り
(2, 1, 1, 1, 1) ⇒ \(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 5(通り)
(2, 2, 1, 1) ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6(通り)
(2, 2, 2) ⇒ 1通り
よって全部で 1 + 5 + 6 + 1 = 13(通り)

※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

② 12段の階段があります。この階段の5段目をふまずに9歩で上る方法は、全部で何通りありますか。

答え（１４）- ②

22通り

解き方（１４）- ②

12段の階段を9歩で登るときの段数の組み合わせは、(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1)のみである。
また、5段目はふめないので、4段目の次の1歩は必ず2段となる。

1～4段目（4段）までの1歩の段数の組み合わせ（左）と、6～12段目（6段）までの1歩の段数の組み合わせ（右）を考えると、
(1, 1, 1, 1)と(2, 2, 1, 1) ⇒ 1 × \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6(通り)
(2, 1, 1)と(2, 1, 1, 1, 1) ⇒ \(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 3 × 5 = 15(通り)
(2, 2)と(1, 1, 1, 1, 1, 1) ⇒ 1 × 1 = 1(通り)
よって全部で 6 + 15 + 1 = 22(通り)

※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

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問３　図形

（１）図のように長方形を3つの部分にぬり分けます。このとき、となり合う場所は異なる色になるようにします。

① 赤、白の2色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

答え（１）- ①

2通り

解き方（１）- ①

2 × 1 × 1 = 2(通り)

② 赤、白、青の3色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

答え（１）- ②

6通り

解き方（１）- ②

3 × 2 × 1 = 6(通り)

③ 赤、白、青の3色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。ただし、使わない色があってもよいものとします。

答え（１）- ③

12通り

解き方（１）- ③

3 × 2 × 2 = 12(通り)

④ 赤、白、青、黄の4色から3色を選んでぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

答え（１）- ④

24通り

解き方（１）- ④

Aはすべての色の4通り、BはA以外の色の3通り、CはAとB以外の色の2通りなので、
4 × 3 × 2 = 24(通り)

（２）A地点から遠まわりをしないでB地点まで行く方法を考えます。

ヒント（２）

和の法則より、ある点（●）までの行き方は1つ手前の点（●, ●）までの行き方の和となります。
交差点ごとに行き方の数を書き込んでいきましょう！

① 全部で何通りの方法がありますか。

答え（２）- ①

10通り

解き方（２）- ①

図より、10通り

② A地点からC地点を通って、B地点まで行く方法は何通りありますか。

答え（２）- ②

6通り

解き方（２）- ②

図より、A地点からC地点に行く方法は2通り、C地点からB地点に行く方法は3通りなので、
2 × 3 = 6(通り)

③ C地点とD地点を結ぶ道を通らずに、B地点まで行く方法は何通りありますか。

答え（２）- ③

6通り

解き方（２）- ③

図より、6通り

（３）頂点Aから辺を通って頂点Bに最短で行く方法は何通りありますか。

答え（３）

6通り

解き方（３）

※2辺が合流する点は2つの数の和、3辺が合流する点は3つの数の和

図より、6通り

（４）図のように1辺の長さが1cmの正方形15個からできた長方形があります。

① この図の中に、1辺が2cmの正方形は全部で何個ありますか。

答え（４）- ①

8個

解き方（４）- ①

図より、縦に2個、横に4個できるので、2 × 4 = 8(個)

② この図の中に、正方形は全部で何個ありますか。

答え（４）- ②

26個

解き方（４）- ②

最も小さい1辺1cmの正方形は15個
1辺2cmの正方形は①より8個
最も大きい1辺3cmの正方形は 1 × 3 = 3(個)

全部で、15 + 8 + 3 = 26(個)