算数【基本】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１　書き出す

（１）3 cm、4 cm、5 cm、6 cm、8 cm のまっすぐな棒から 3 本取り出して、三角形を作るとき、何通りの三角形ができますか。

答え（１）: 8 通り

解き方（１）: 3 本の棒で三角形をつくる場合、最も長い辺は、残りの 2 辺の和より小さくなければならない。
最も長い辺が 8 cm のとき、残り 2 辺の長さ組み合わせは、( 3, 6 )、( 4, 5 )、( 4, 6 )、( 5, 6 ) の 4 通り
最も長い辺が 6 cm のとき、残り2辺の長さ組み合わせは、( 3, 4 )、( 3, 5 ) 、( 4, 5 ) の 3 通り
最も長い辺が 5 cm のとき、残り 2 辺の長さ組み合わせは、( 3, 4 ) の 1 通り
よって全部で 4 + 3 + 1 = 8 [通り]

（２）\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードから 2 枚を取り出して 2 けたの整数をつくります。その中に 46 より大きい偶数は何個ありますか。

答え（２）: 3 個

解き方（２）: 十の位が 4 で 46 より大きい偶数はない。
十の位が 5 で 46 より大きい偶数は 54、56 の 2 個
十の位が 6 で 46 より大きい偶数は 64 の 1 個
よって、2 + 1 = 3 [個]

（３）大、中、小の 3 つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が 6 以下になるのは何通りですか。

答え（３）: 20 通り

解き方（３）: 出る目の和が 6 以下なので、和が 3、4、5、6 になる数の組み合わせを考える。
・和が 3
( 1, 1, 1 ) の 1 通り
・和が 4
( 1, 1, 2 ) の 1 通り
ただし、2 が出るサイコロが大・中・小が考えられるので、1 × 3 = 3 [通り]
・和が 5
( 1, 1, 3 )、( 1, 2, 2 )
( 1, 1, 3 ) は 3 が出るサイコロが大・中・小が考えられるので、3 通り
( 1, 2, 2 ) は 1 が出るサイコロは大・中・小が考えられるので、3 通り
よって、3 + 3 = 6 [通り]
・和が 6
( 1, 1, 4 )、( 1, 2, 3 )、( 2, 2, 2 )
( 1, 1, 4 ) は 4 が出るサイコロが大・中・小が考えられるので、3 [通り]
( 2, 2, 2 ) は 1 通り
( 1, 2, 3 ) のとき
大が 1 の場合、( 大 1, 中 2, 小 3 ) と ( 大 1, 中 3, 小 2 ) の 2 通りが考えられる。大が 2 の場合も 2 通り、大が 3 の場合も 2 通り考えられるので、2 + 2 + 2 = 6 [通り]
よって、3 + 1 + 6 = 10 [通り]
すべての場合を合わせると、1 + 3 + 6 + 10 = 20 [通り]

【別解】
和が 6 以下になる組み合わせは ( 1, 1, 1 )、( 1, 1, 2 )、( 1, 1, 3 )、( 1, 2, 2 )、( 1, 1, 4 )、( 1, 2, 3 )、( 2, 2, 2 )
・3 つとも同じ数なのは ( 1, 1, 1 ) と ( 2, 2, 2 ) の 2 通り
・3 つのうち 2 つが同じ数なのは ( 1, 1, 2 )、( 1, 1, 3 )、( 1, 2, 2 )、( 1, 1, 4 ) の 4 通り
異なる 1 つの数が出るサイコロは大・中・小が考えられるので、3 通り
よって、4 × 3 = 12 [通り]
・3 つの数がすべて異なるのは ( 1, 2, 3 ) の 1 通り
このとき、大が 1 の場合、( 大 1, 中 2, 小 3 ) と ( 大 1, 中 3, 小 2 ) の 2 通りが考えられる。大が 2 の場合も 2 通り、大が 3 の場合も 2 通り考えられるので、2 + 2 + 2 = 6 [通り]
すべての場合を合わせると、2 + 12 + 6 = 20 [通り]

※大・中・小の 3 つのサイコロは区別できる！
たとえば ( 大1, 中 2, 小 1 ) と ( 大2, 中 1, 小 1 ) は別の出方として数える。

問２　順列、組み合わせ（計算で求める）

順列と組み合わせとは: ●順列：異なるいくつかのものから条件に合うものを選んで順ぶ、順番を考えて並べること
※( A, B ) と ( B, A ) は別の並び方 ⇒ 2 通り
異なる N 個のものから異なる n 個を選んで並べる順列の総数は、

●組み合わせ：異なるいくつかのものから何個かを選ぶとき、順番を考えない選び方
※( A, B ) と ( B, A ) は同じ組み合わせ ⇒ 1 通り
異なる N 個の中から異なる n 個を取り出す組み合わせの総数は、

（１）順列

① \(\boxed{あ}\)、\(\boxed{い}\)、\(\boxed{う}\)、\(\boxed{え}\)、\(\boxed{お}\) の 5 枚のカードを 1 列に並べる方法は何通りありますか。

答え（１）- ①: 120 通り

解き方（１）- ①: 一枚目のカードを選ぶとき、5 枚から 1 枚選ぶので 5 通り
二枚目のカードを選ぶとき、残り 4 枚から 1 枚選ぶので 4 通り
同様に三枚目、四枚目、最後五枚目は残り 1 枚なので 1 通りとなり、
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 [通り] となる

② A、B、C、D、E の 5 人が縦一列に並びます。先頭に A が並ばないとき、並び方は全部で何通りありますか。

答え（１）- ②: 96 通り

解き方（１）- ②: 先頭を選ぶ方法は A 以外の B、C、D、E の 4 人から選択するので 4 通り
二番目を選ぶ方法は残り 4 人の中から選ぶので 4 通り
同様に三番目は 3 通り、四番目は 2 通り、最後の 1 人は 1 通りとなり
4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96 [通り]

③ 男子 3 人と女子 3 人が一列に並んで写真を撮ります。このとき、男女交互に並ぶ並び方は、全部で何通りありますか。ただし、男女 6 人は区別して考えること。

答え（１）- ③: 72 通り

解き方（１）- ③: 最初が男子の場合、3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 36 [通り]
最初が女子の場合、3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 36 [通り]
よって、36 + 36 = 72 [通り]

④ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードを並べて 4 けたの整数をつくります。偶数は何個できますか。

答え（１）- ④: 18 個

解き方（１）- ④: 4 けたの整数
千の位：すべての数 ⇒ 4 通り
百の位：千の位で使った数以外の数 ⇒ 3 通り
十の位：千の位と百の位で使った数以外の数 ⇒ 2 通り
一の位：残った数 ⇒ 1 通り
よって、全部で 4 × 3 × 2 × 1 = 24 [通り] できる。
そのうち、奇数になるのは一の位が \(\boxed{3}\) のときだけなので、
千の位：3 以外の数 ⇒ 3 通り
百の位：3 と千の位で使った数以外の数 ⇒ 2 通り
十の位：3 と千の位と百の位で使った数以外の数 ⇒ 1 通り
一の位：3 ⇒ 1 通り
よって、3 × 2 × 1 × 1 = 6 [通り]
よって偶数になるのは、24 – 6 = 18 [通り(個)]

⑤ 0、1、3、5 を使って、3 けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいことにすると、整数は全部で何通りできますか。

答え（１）- ⑤: 48 通り

解き方（１）- ⑤: 百の位：0 を除くすべての数 ⇒ 3 通り
十の位：すべての数 ⇒ 4 通り
一の位：すべての数 ⇒ 4 通り
3 × 4 × 4 = 48 [通り]

⑥ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{5}\) の 4 枚のカードを並べてできる 4 桁の数は何個ありますか。

答え（１）- ⑥: 9 個

解き方（１）- ⑥: まず、2 枚ある \(\boxed{5}\) を区別して考えると（ \(\boxed{5}\)₁, \(\boxed{5}\)₂ ）、
3 × 3 × 2 × 1 = 18 [通り]
\(\boxed{5}\)₁ と \(\boxed{5}\)₂ の並び方は 2 × 1 = 2 [通り] あるが、実際はこれらのカードは区別できない。
よって、18 ÷ 2 = 9 [通り (個)]

実際に書き出すと以下の通り。
\(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{5}\)₂ = \(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{5}\)₁
\(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₂ = \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₁
\(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) = \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\)
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\) \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₂ = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₁
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₂\(\boxed{4}\) = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{4}\)
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₂ = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\) \(\boxed{5}\)₁
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{4}\) \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\)
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{0}\) \(\boxed{4}\) = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{0}\) \(\boxed{4}\)
\(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\) = \(\boxed{5}\)₂ \(\boxed{5}\)₁ \(\boxed{4}\) \(\boxed{0}\)

※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

⑦ \(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\)、\(\boxed{7}\)、\(\boxed{8}\)、\(\boxed{9}\) の 5 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は何個作れますか。

答え（１）- ⑦: 12 個

解き方（１）- ⑦: これらのカードで 5 の倍数を作る場合、一の位は必ず \(\boxed{5}\) である。
百の位：\(\boxed{5}\) 以外の 4 通り
十の位：\(\boxed{5}\) と百の位のカード以外の 3 通り
一の位：\(\boxed{5}\) の 1 通り
4 × 3 × 1 = 12 [個]

⑧ 0、1、2、5、8、9 のうち異なる 3 個を並べて、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は全部で何個できますか。

答え（１）- ⑧: 36 個

解き方（１）- ⑧: これらの数字で 5 の倍数を作る場合、一の位は 0 か 5 である。
一の位が 0 のとき
百の位：0 以外の 5 通り
十の位：0 と百の位の数以外の 4 通り
一の位：0 の 1 通り
5 × 4 × 1 = 20 [個]
一の位が 5 のとき
百の位：0 と 5 以外の 4 通り
十の位：5 と百の位の数以外の 4 通り
一の位：5 の 1 通り
4 × 4 × 1 = 16 [個]
全部で 20 + 16 = 36 [個]

⑨ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\) の 4 枚のカードから 3 枚を選び、3 けたの整数を作ります。3 の倍数は何通りできますか。

答え（１）- ⑨: 8 通り

解き方（１）- ⑨: 3 の倍数は各位の数字の和が 3 の倍数となる。
3 つの数字の和が 3 の倍数になる組み合わせは、( 0, 1, 2 )、( 0, 2, 4 ) の 2 通り。
0 を含む 3 つの数字でできる 3 けたの整数は、
百の位：0 以外の 2 通り
十の位：百の位の数以外の 2 通り
一の位：残った数の 1 通り
より 2 × 2 × 1 = 4 [通り]
よって、4 × 2 = 8 [通り]

⑩ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{・}\) の 4 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、数を作ります。\(\boxed{・}\) は小数点です。全部で何個作れますか。

答え（１）- ⑩: 6 個

解き方（１）- ⑩: 小数点を含まない取り出し方の組み合わせは、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\) の 1 通り
このときのできる数の個数は、3 × 2 × 1 ÷ 2 = 3 [個]
※ \(\boxed{2}\) が 2 つあり、その並び方が 2 通りあるから
小数点を含む取り出し方の組み合わせは、\(\boxed{・}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\) と \(\boxed{・}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\) の 2 通り
\(\boxed{・}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\) のときできる数は、2.2 の 1 個
\(\boxed{・}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\) のときできる数は、2.3 と 3.2 の 2 個
（小数点が最初と最後にくることはない）
よって、全部で 3 + 1 + 2 = 6 [個]

（２）組み合わせ

① A、B、C、D、E の 5 人の中から、委員を 3 人選びます。選び方は何通りありますか。

答え（２）- ①: 10 通り

解き方（２）- ①: \(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 10 [通り]

② A ～ E の 5 チームで試合を行いました。必ず全チームと 1 度は試合を行い、同じチームと 2 度は試合をしません。試合は全部で何試合ありますか。

答え（２）- ②: 10 試合

解き方（２）- ②: 試合の数 = 5 チームから 2 チームを選ぶ組み合わせの数
\(\dfrac{5\ ×\ 4}{2\ ×\ 1}\) = 10 [試合]

③ 円周上に 5 つの点 A、B、C、D、E があります。3 点を結んでできる三角形は何個ありますか。

答え（２）- ③: 10 個

解き方（２）- ③: 5 つの点から三角形の頂点となる 3 つの点の組み合わせを選ぶ。
\(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 10 [個]

④ 7 種類の花があります。この中から違う種類の花を 3 本選んでセットを作るとき、その選び方は何通りありますか。

答え（２）- ④: 35 通り

解き方（２）- ④: \(\dfrac{7\ ×\ 6\ ×\ 5}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 35 [通り]

（３）A、B、C の 3 グループで動物園、水族館、遊園地に行くことになりました。1 か所に 2 グループまで行くことができるとき、行先の組み合わせは全部で何通りありますか。どのグループも行かない場所があってもよいとします。

答え（３）: 24 通り

解き方（３）

① 3 グループとも行先が異なる場合
3 × 2 × 1 = 6 [通り]

② 2 つグループの行先が同じ場合
行先が同じとなる 2 グループの組み合わせは、\(\dfrac{3\ ×\ 2}{2\ ×\ 1}\) = 3 [通り]
このとき、もう一つのグループは 2 通りの行先があるので、3 × 2 = 6
実際に記述してみると下表のようになる。

A	B	C
動	動	水遊	2通り
動	水遊	動	2 通り
水遊	動	動	2 通り

行先が同じとなる 2 グループは動物園、水族館、遊園地の 3 通りあるので、6 × 3 = 18 [通り]

①② を合わせて、6 + 18 = 24 [通り]

（４）階段を上るとき、「 1 歩で 1 段」、または「 1 歩で 2 段」の 2 通りの方法を組み合わせて上ることにします。

① 6 段の階段を上る方法は全部で何通りありますか。

答え（４）- ①: 13 通り

解き方（４）- ①: 6 段の階段を登るときの 1 歩の段数の組み合わせは、( 1, 1, 1, 1, 1, 1 )、( 2, 1, 1, 1, 1 )、( 2, 2, 1, 1 )、( 2, 2, 2 )
順番について考えると、
( 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) ⇒ 1 通り
( 2, 1, 1, 1, 1 ) ⇒ \(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 5 [通り]
( 2, 2, 1, 1 ) ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6 [通り]
( 2, 2, 2 ) ⇒ 1 通り
よって全部で 1 + 5 + 6 + 1 = 13 [通り]

※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

② 12 段の階段があります。この階段の 5 段目をふまずに 9 歩で上る方法は、全部で何通りありますか。

答え（４）- ②: 22 通り

解き方（４）- ②: 12 段の階段を 9 歩で登るときの段数の組み合わせは、( 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) のみである。
また、5 段目はふめないので、4 段目の次の 1 歩は必ず 2 段となる。

1～4段目（ 4 段）までの 1 歩の段数の組み合わせ（左）と、6 ～ 12 段目（ 6 段）までの 1 歩の段数の組み合わせ（右）を考えると、
( 1, 1, 1, 1 )と( 2, 2, 1, 1 ) ⇒ 1 × \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6 [通り]
( 2, 1, 1 )と( 2, 1, 1, 1, 1 ) ⇒ \(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 3 × 5 = 15 [通り]
( 2, 2 ) と ( 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) ⇒ 1 × 1 = 1 [通り]
よって全部で 6 + 15 + 1 = 22 [通り]

※同じ数字を複数含む場合の並べ方の個数は、すべての数字の並び方の個数を、複数ある数字の並び方の個数で割った個数になる。

問３　図形

（１）図のように長方形を 3 つの部分にぬり分けます。このとき、となり合う場所は異なる色になるようにします。

① 赤、白の 2 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

答え（１）- ①: 2 通り

解き方（１）- ①: 2 × 1 × 1 = 2 [通り]

② 赤、白、青の 3 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

答え（１）- ②: 6 通り

算数【基本】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１　書き出す

（１）3 cm、4 cm、5 cm、6 cm、8 cm のまっすぐな棒から 3 本取り出して、三角形を作るとき、何通りの三角形ができますか。

（２）\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードから 2 枚を取り出して 2 けたの整数をつくります。その中に 46 より大きい偶数は何個ありますか。

（３）大、中、小の 3 つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が 6 以下になるのは何通りですか。

問２　順列、組み合わせ（計算で求める）

（１）順列

① \(\boxed{あ}\)、\(\boxed{い}\)、\(\boxed{う}\)、\(\boxed{え}\)、\(\boxed{お}\) の 5 枚のカードを 1 列に並べる方法は何通りありますか。

② A、B、C、D、E の 5 人が縦一列に並びます。先頭に A が並ばないとき、並び方は全部で何通りありますか。

③ 男子 3 人と女子 3 人が一列に並んで写真を撮ります。このとき、男女交互に並ぶ並び方は、全部で何通りありますか。ただし、男女 6 人は区別して考えること。

④ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードを並べて 4 けたの整数をつくります。偶数は何個できますか。

⑤ 0、1、3、5 を使って、3 けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいことにすると、整数は全部で何通りできますか。

⑥ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{5}\) の 4 枚のカードを並べてできる 4 桁の数は何個ありますか。

⑦ \(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\)、\(\boxed{7}\)、\(\boxed{8}\)、\(\boxed{9}\) の 5 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は何個作れますか。

⑧ 0、1、2、5、8、9 のうち異なる 3 個を並べて、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は全部で何個できますか。

⑨ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\) の 4 枚のカードから 3 枚を選び、3 けたの整数を作ります。3 の倍数は何通りできますか。

⑩ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{・}\) の 4 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、数を作ります。\(\boxed{・}\) は小数点です。全部で何個作れますか。

（２）組み合わせ

① A、B、C、D、E の 5 人の中から、委員を 3 人選びます。選び方は何通りありますか。

② A ～ E の 5 チームで試合を行いました。必ず全チームと 1 度は試合を行い、同じチームと 2 度は試合をしません。試合は全部で何試合ありますか。

③ 円周上に 5 つの点 A、B、C、D、E があります。3 点を結んでできる三角形は何個ありますか。

④ 7 種類の花があります。この中から違う種類の花を 3 本選んでセットを作るとき、その選び方は何通りありますか。

（４）階段を上るとき、「 1 歩で 1 段」、または「 1 歩で 2 段」の 2 通りの方法を組み合わせて上ることにします。

① 6 段の階段を上る方法は全部で何通りありますか。

② 12 段の階段があります。この階段の 5 段目をふまずに 9 歩で上る方法は、全部で何通りありますか。

問３　図形

（１）図のように長方形を 3 つの部分にぬり分けます。このとき、となり合う場所は異なる色になるようにします。

① 赤、白の 2 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

② 赤、白、青の 3 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

③ 赤、白、青の 3 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。ただし、使わない色があってもよいものとします。

④ 赤、白、青、黄の 4 色から 3 色を選んでぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

（２）A 地点から遠まわりをしないで B 地点まで行く方法を考えます。

① 全部で何通りの方法がありますか。

② A 地点から C 地点を通って、B 地点まで行く方法は何通りありますか。

③ C 地点と D 地点を結ぶ道を通らずに、B 地点まで行く方法は何通りありますか。

（３）頂点 A から辺を通って頂点 B に最短で行く方法は何通りありますか。

（４）図のように 1 辺の長さが 1 cm の正方形 15 個からできた長方形があります。

① この図の中に、1 辺が 2 cm の正方形は全部で何個ありますか。

② この図の中に、正方形は全部で何個ありますか。

算数【基本】場合の数（ 順列・組み合わせ・図形 ）

問１ 書き出す

（１）3 cm、4 cm、5 cm、6 cm、8 cm のまっすぐな棒から 3 本取り出して、三角形を作るとき、何通りの三角形ができますか。

（２）\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードから 2 枚を取り出して 2 けたの整数をつくります。その中に 46 より大きい偶数は何個ありますか。

（３）大、中、小の 3 つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が 6 以下になるのは何通りですか。

問２ 順列、組み合わせ（ 計算で求める ）

（１）順列

① \(\boxed{あ}\)、\(\boxed{い}\)、\(\boxed{う}\)、\(\boxed{え}\)、\(\boxed{お}\) の 5 枚のカードを 1 列に並べる方法は何通りありますか。

② A、B、C、D、E の 5 人が縦一列に並びます。先頭に A が並ばないとき、並び方は全部で何通りありますか。

③ 男子 3 人と女子 3 人が一列に並んで写真を撮ります。このとき、男女交互に並ぶ並び方は、全部で何通りありますか。ただし、男女 6 人は区別して考えること。

④ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) の 4 枚のカードを並べて 4 けたの整数をつくります。偶数は何個できますか。

⑤ 0、1、3、5 を使って、3 けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいことにすると、整数は全部で何通りできますか。

⑥ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{5}\) の 4 枚のカードを並べてできる 4 桁の数は何個ありますか。

⑦ \(\boxed{5}\)、\(\boxed{6}\)、\(\boxed{7}\)、\(\boxed{8}\)、\(\boxed{9}\) の 5 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は何個作れますか。

⑧ 0、1、2、5、8、9 のうち異なる 3 個を並べて、3 けたの整数を作ります。5 の倍数は全部で何個できますか。

⑨ \(\boxed{0}\)、\(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\) の 4 枚のカードから 3 枚を選び、3 けたの整数を作ります。3 の倍数は何通りできますか。

⑩ \(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{・}\) の 4 枚のカードから 3 枚を取り出して並べ、数を作ります。\(\boxed{・}\) は小数点です。全部で何個作れますか。

（２）組み合わせ

① A、B、C、D、E の 5 人の中から、委員を 3 人選びます。選び方は何通りありますか。

② A ～ E の 5 チームで試合を行いました。必ず全チームと 1 度は試合を行い、同じチームと 2 度は試合をしません。試合は全部で何試合ありますか。

③ 円周上に 5 つの点 A、B、C、D、E があります。3 点を結んでできる三角形は何個ありますか。

④ 7 種類の花があります。この中から違う種類の花を 3 本選んでセットを作るとき、その選び方は何通りありますか。

（４）階段を上るとき、「 1 歩で 1 段 」、または「 1 歩で 2 段 」の 2 通りの方法を組み合わせて上ることにします。

① 6 段の階段を上る方法は全部で何通りありますか。

② 12 段の階段があります。この階段の 5 段目をふまずに 9 歩で上る方法は、全部で何通りありますか。

問３ 図形

（１）図のように長方形を 3 つの部分にぬり分けます。このとき、となり合う場所は異なる色になるようにします。

① 赤、白の 2 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

② 赤、白、青の 3 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

③ 赤、白、青の 3 色でぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。ただし、使わない色があってもよいものとします。

④ 赤、白、青、黄の 4 色から 3 色を選んでぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

（２）A 地点から遠まわりをしないで B 地点まで行く方法を考えます。

① 全部で何通りの方法がありますか。

② A 地点から C 地点を通って、B 地点まで行く方法は何通りありますか。

③ C 地点と D 地点を結ぶ道を通らずに、B 地点まで行く方法は何通りありますか。

（３）頂点 A から辺を通って頂点 B に最短で行く方法は何通りありますか。

（４）図のように 1 辺の長さが 1 cm の正方形 15 個からできた長方形があります。

① この図の中に、1 辺が 2 cm の正方形は全部で何個ありますか。

② この図の中に、正方形は全部で何個ありますか。

算数【基本】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１　書き出す

問２　順列、組み合わせ（計算で求める）

（４）階段を上るとき、「 1 歩で 1 段」、または「 1 歩で 2 段」の 2 通りの方法を組み合わせて上ることにします。

問３　図形