算数【難問】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１

1 から 9 までの整数から異なる 4 つの整数を選びます。和がちょうど 18 になるような選び方は何通りありますか。

答え
11 通り
解き方
※一番小さい数を決めて、順に調べる！
① 1 を選ぶ場合
残り 3 つの和は 18 – 1 = 17
17 になる 3 つの整数の組は、
2 + 6 + 9
2 + 7 + 8
3 + 5 + 9
3 + 6 + 8
4 + 5 + 8
4 + 6 + 7
の 6 通り。
② 2 を選ぶ場合
残り 3 つの和は 18 – 2 = 16
16 になる 3 つの整数の組は、
3 + 4 + 9
3 + 5 + 8
3 + 6 + 7
4 + 5 + 7
の 4 通り。
③ 3 を選ぶ場合
残り 3 つの和は 18 – 3 = 15
15 になる 3 つの整数の組は、
4 + 5 + 6
の 1 通り。
4 を選ぶと、一番小さい和 4 + 5 + 6 + 7 = 22 となり 18 より大きくなるので、これ以上の数を考える必要はない。
したがって、6 + 4 + 1 = 11 [通り]

問２

1 から 8 までの数字が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがあります。カードを 1 枚引いて数字を記録したあと、もとに戻します。これを 3 回行い、 1 回目の数を A、2 回目の数を B、3 回目の数を C とします。B が A の倍数となり、C が B の倍数となる数の出方は何通りありますか。

ヒント
真ん中の数 B を先に決めると、A は B の約数、C は B の倍数になる！
答え
38 通り
解き方
BAC通り数
111 ～ 81 × 8 = 8
21, 22, 4, 6, 82 × 4 = 8
31, 33, 62 × 2 = 4
41, 2, 44, 83 × 2 = 6
51, 552 × 1 = 2
61, 2, 3, 664 × 1 = 4
71, 772 × 1 = 2
81, 2, 4, 884 × 1 = 4

したがって、8 + 8 + 4 + 6 + 2 + 4 + 2 + 4 = 38 [通り]

問３

立方体の形をした箱の 6 つの面に、星・月・花・鳥・魚の 5 種類のシールをはります。5 種類のシールはすべて使い、同じ種類のシールをはる 2 つの面がある場合、その 2 つの面はとなり合わないようにします。箱を回転させて同じになるものは同じ 1 通りとすると、シールのはり方は全部で何通りありますか。

答え
15 通り
解き方
立方体には 6 つの面がありますが、シールは 5 種類ある。5 種類をすべて使うので、1 種類だけを 2 枚使い、残りの 4 種類は 1 枚ずつ使うことになる。
まず、2 枚使うシールの種類を決める。
5 種類のどれでもよい ⇒ 5 通り
次に、同じシールをはる 2 つの面について考える。
同じ種類のシールがとなり合ってはいけないので、その 2 枚は向かい合う 2 つの面にはることになる。
たとえば、星を 2 枚使うことにして、上と下の面に星をはったとすると、残った 4 つの面には、月、花、鳥、魚を 1 枚ずつはることになる。
4 つの面にシールを並べてはるはり方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24
ただし、回して同じになるものは 1 通りなので、
24 ÷ 4 = 6 [通り]
さらに、この 6 通りの中には、箱の上下をひっくり返すと同じになるものが 2 つずつあるので、
6 ÷ 2 = 3 [通り]
したがって、2 枚使うシールの種類が 5 通りあり、それぞれについて 3 通りのはり方があるので、
5 × 3 = 15 [通り]

問４

0 ～ 9 までの数が、どれかひとつ書いてあるボールがそれぞれ 1 個ずつあります。

（１）これらのボールを使って 2 けたの整数をつくるとき、 5 の倍数は全部で何通りありますか。

答え（１）
17 通り
解き方（１）
5 の倍数は一の位が 0 または 5
・一の位が 0 のとき
十の位：0 以外の数 ⇒ 9 通り
一の位：0 ⇒ 1 通り
よって、9 × 1 = 9 [通り]
・一の位が 5 のとき
十の位：0 と 5 以外の数 ⇒ 8 通り
一の位：5 ⇒ 1 通り
よって、8 × 1 = 8 [通り]

合わせて、9 + 8 = 17 [通り]

（２）ボールを箱の中でよく混ぜてから 1 個取り出し、数を確かめたらもとに戻します。これを 3 回くり返し、この 3 つの数を取り出した順に、百の位の数、十の位の数、一の位の数として 3 けたの整数をつくります。このとき、その整数が 2 の倍数になるのは全部で何通りありますか。

答え（２）
450 通り
解き方（２）
ボールを取り出した後、もとに戻すので、同じ数字を何回使っても良い。
2 の倍数は、一の位が 0, 2, 4, 6, 8
百の位：0 以外の数 ⇒ 9 通り
十の位：すべての数 ⇒ 10 通り
一の位：0, 2, 4, 6, 8 ⇒ 5 通り
よって、9 × 10 × 5 = 450 [通り]

問５

たて 4 cm、横 5 cm の長方形を図のように 1 辺の長さが 1 cm の正方形 20 個に区切ります。そして、点 A から点 B に至る最短経路で長方形の面積を 2 等分することを考えます。図の青線はその一例です。

（１）点 P を通るものは何通りありますか。

答え（１）
6 通り
解き方（１）
A から B までの最短ルートでは、右へ 5 回、上へ 4 回進む。
また、長方形の面積は 4 × 5 = 20 [cm2] より、2 等分するには、ルート下の面積が 20 ÷ 2 = 10 [cm2] になればよい。
1 マス右へ進めば幅 1 cm より、進んだ高さの合計が 10 cm であれば、ルート下の面積は 10 [cm2] になる。

点 P を通るためには、4 回目の横の進み方が、高さ 3 のところを通る。
右へ進む 5 回の高さを左から順に並べ、その合計が 10 になるものを調べる。ただし、高さは最大 4、右へ進む場合は低くなることはない。
→ 0 → 0 → 3 → 3 → 4
→ 0 → 1 → 2 → 3 → 4
→ 1 → 1 → 1 → 3 → 4
→ 0 → 1 → 3 → 3 → 3
→ 0 → 2 → 2 → 3 → 3
→ 1 → 1 → 2 → 3 → 3
よって、 6 通り

（２）全部で何通りありますか。

答え（２）
12 通り
解き方（２）
右へ進む 5 回の高さを左から順に並べ、その合計が 10 になるものをすべて調べると、
→ 0 → 0 → 2 → 4 → 4
→ 0 → 1 → 1 → 4 → 4
→ 0 → 0 → 3 → 3 → 4
→ 0 → 1 → 2 → 3 → 4
→ 1 → 1 → 1 → 3 → 4
→ 0 → 2 → 2 → 2 → 4
→ 1 → 1 → 2 → 2 → 4
→ 0 → 1 → 3 → 3 → 3
→ 0 → 2 → 2 → 3 → 3
→ 1 → 1 → 2 → 3 → 3
→ 1 → 2 → 2 → 2 → 3
→ 2 → 2 → 2 → 2 → 2
よって、 12 通り

問６

（１）7770 のように、4 けたの整数で、千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の数のうちちょうど 3 つが 7 である整数は全部で何通りありますか。

答え（１）
35 通り
解き方（１）
＜残りの 1 つが 0 のとき＞
4 けたの整数では、千の位には 0 は来ないので、
0 の位置は、百の位、十の位、一の位の 3 通り。
＜残りの 1 つが 0 でないとき＞
ただし、7 の場合は 7 が 4 つになるので、残りの数は 1 ～ 6、8、9 の 8 通り。
残りの 1 つの位置は、千の位、百の位、十の位、一の位の 4 通り。
よって、 8 × 4 = 32 [通り]

合わせて、3 + 32 = 35 [通り]

（２）（１）で求めた整数のうち、3 の倍数は何通りありますか。

答え（２）
15 通り
解き方（２）
ある整数の各けたの数の和が 3 の倍数になるとき、その整数は 3 の倍数である。
4 けたの数のうち 3 つは 7 より、残りの 1 つの数が 0 または 3 の倍数のとき、その 4 けたの整数は 3 の倍数。
＜残りの 1 つの数が 0 のとき＞
（１）より 3 通り
＜残りの 1 つの数が 0 でないとき＞
1 ～ 6、8、9 の中で 3 の倍数は、3、6、9 の 3 通り。また、これらの数が来る位置はそれぞれ 4 通り。
3 × 4 = 12 [通り]

合わせて、3 + 12 = 15 [通り]

問７

1 ～ 2026 までの整数のうち、数字の 3 と 5 を使わない整数は何個ありますか。

答え
1044 個
解き方
使える数字は「 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 」の 8 個である。
・1 けたの整数：0 以外 ⇒ 7 個
・2 けたの整数
十の位：0 以外 ⇒ 7 個
一の位：すべての数 ⇒ 8 個
よって、7 × 8 = 56 [個]
・3 けたの整数
百の位：0 以外 ⇒ 7 個
十の位：すべての数 ⇒ 8 個
一の位：すべての数 ⇒ 8 個
よって、7 × 8 × 8 = 448 [個]
・4 けたの整数
＜ 1000 ～ 1999 の場合 ＞千の位：1 ⇒ 1 個
百の位：すべての数 ⇒ 8 個
十の位：すべての数 ⇒ 8 個
一の位：すべての数 ⇒ 8 個
よって、1 × 8 × 8 × 8 = 512 [個]
＜ 2000 ～ 2026 の場合 ＞千の位は 2、百の位は 0 に決まる。
2000 ～ 2026 のうち、3 と 5 を使っているのは、「 2003, 2005, 2013, 2015, 2023, 2025 」の 6 個
2000 ～ 2026 の数の個数は 27 個より、3 と 5 を使っていないのは、
27 – 6 = 21 [個]

よって、7 + 56 + 448 + 512 + 21 = 1044 [個]

※ 1 けた・2 けた・3 けた・4 けたに分けて、各位に使える数字の数をかけて求めると、すべて書き出さずに数えることができます！

問８

1、2、4、5、5、7 の 6 つの数字を並び換えて、 6 けたの数を作ります。こうしてできる数のうちで、715245 より大きいものは何個ありますか。

答え
53 個
解き方
715245 より大きい 6 けたの数を作るには、まず十万の位を考える。
十万の位が「 1, 2, 4, 5 」では 715245 より小さくなるので、十万の位は 7 に決まる。
次に、残りの「 1, 2, 4, 5, 5 」を並べてできる 5 けたの数が 15245 より大きくなればよい。
① 万の位が 2、4、5 のとき
15245 の最初の数字は 1 なので、万の位が「 2, 4, 5 」なら、その時点で 15245 より大きくなる。
・万の位が 2 のとき、残りは「 1,4,5,5 」
4 つを並べる方法は、
4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 = 12 [個]
（ 5 が 2 つあるから）
・万の位が 4 のとき、残りは「 1,2,5,5 」
4 つを並べる方法は、
4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 = 12 [個]
・万の位が 5 のとき、残りは「 1,2,4,5 」
4 つを並べる方法は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24 [個]
合わせて、12 + 12 + 24 = 48 [個]
② 万の位が 1 のとき
71 以降の 4 けたの数 5245 と比べる。
残りの数は「 2, 4, 5, 5 」より、千の位は 5 に決まる。
残りの数「 2, 4, 5 」で 245 より大きい数を考える。
・百の位が 2 のとき：254 ⇒ 1 個
・百の位が 2 以外のとき：必ず 245 より大きい ⇒ 2 × 2 × 1 = 4 個
合わせて、1 + 4 = 5 [個]

したがって、48 + 5 = 53 [個]

問９

A、B、C の 3 つの箱に、整数の書かれたボールが以下のように入っています。

箱 A：1 から 5 が書かれたボールが 1 個ずつ、計 5 個

箱 B：1、3、5 が書かれたボールが 1 個ずつ、計 3 個

箱 C：0 ～ 9 が書かれたボールが 1 個ずつ、計 10 個

3 つの箱からボールを 1 個ずつ取り出して、A から取り出したボールの数を百の位、B から取り出したボールの数を十の位、C から取り出したボールの数を一の位とした 3 けたの整数 X をつくります。

（１）X が 4 の倍数となる取り出し方は何通りありますか。

答え（１）
30 通り
解き方（１）
※ 4 の倍数は下 2 けたが 4 の倍数になる！
・下 2 桁に当たる、十の位と一の位の数を考える
十の位には、1, 3, 5 のどれかが入る。
それぞれについて、2 けたの数が 4 の倍数となる一の位の数を考えると、
十の位が 1 のとき：12, 16 ⇒ 2 通り
十の位が 3 のとき：32, 36 ⇒ 2 通り
十の位が 5 のとき：52, 56 ⇒ 2 通り
合わせて、2 + 2 + 2 = 6 通り
・百の位の数は 1 ～ 5 のどれでも良い ⇒ 5 通り
したがって、6 × 5 = 30 [通り]

（２）X が 3 の倍数となる取り出し方は何通りありますか。

答え（２）
50 通り
解き方（２）
※ 3 の倍数は、各位の数字の和が 3 の倍数になる！
箱 B の数「 1, 3, 5 」に注目する。
これらを 3 で割ると、
1 → 余り 1
3 → 余り 0
5 → 余り 2
3 で割った余りが 0、1、2 になる数が 1 つずつそろっている
⇒ A と C から数を 1 つずつ選んだとき、2 つの数の和が何であっても、B の「 1, 3, 5 」のうち、どれか 1 つを選べば、3 つの数の和を 3 の倍数にできる。
したがって、
A：すべての数 ⇒ 5 通り
C：すべての数 ⇒ 10 通り
B：1 通り
よって、5 × 10 × 1 = 50 [通り]

（３）X が 12 の倍数となる取り出し方は何通りありますか。

答え（３）
10 通り
解き方（３）
※ 12 の倍数は、4 の倍数でもあり、3 の倍数でもある数！
すなわち、下 2 けたの数が 4 の倍数になる、かつ、各位の数の和が 3 の倍数になるもの
一の位：（１）より、2 または 6 ⇒ 2 通り
百の位：すべての数 ⇒ 5 通り
十の位：1 通り
よって、2 × 5 × 1 = 10 [通り]

問１０

\(\boxed{2}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{5}\) のような数字が書かれたカードが 7 枚あります。これらのカードの中から、4 枚を選んで並べるとき、6 で割り切れる 4 けたの整数は何通りできますか。

答え
18 通り
解き方
※ 6 で割り切れる数（ 6 の倍数 ）の条件は、
・2 で割り切れる → 一の位が偶数
・3 で割り切れる → 各けたの数字の和が 3 の倍数
の両方を満たす。
まず、4 枚を選んだときの数字の和が 3 の倍数になる組を探す。
条件に合うのは、
① 2 + 2 + 3 + 5 = 12
② 2 + 3 + 3 + 4 = 12
③ 2 + 3 + 5 + 5 = 15
④ 3 + 3 + 4 + 5 = 15
の 4 種類
それぞれについて、偶数になる並べ方を考える。
① 偶数になる：一の位は 2
残りの 3 つの数の並び方を考える。
3 × 2 × 1 = 6 [通り]
② 偶数になる：一の位は 2 または 4 ⇒ 2 通り
残りの 3 つの数の並び方を考える。
3 × 2 × 1 ÷ 2 × 2 = 6 [通り]
③ 偶数になる：一の位は 2
残りの 3 つの数の並び方を考える。
3 × 2 × 1 ÷ 2 = 3 [通り]
④ 偶数になる：一の位は 4
残りの 3 つの数の並び方を考える。
3 × 2 × 1 ÷ 2 = 3 [通り]

① ～ ④ を合わせて、6 + 6 + 3 + 3 = 18 [通り]