算数【応用】場合の数（順列・組み合わせ・図形）
問１
7 種類の花があります。この中から違う種類の花を 3 本選んでセットを作るとき、その選び方は何通りありますか。
- 答え
- 35 通り
- 解き方
- \(\dfrac{7\ ×\ 6\ ×\ 5}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 35 [通り]
問２
3 つの正方形を組み合わせた下のような図があります。赤。青、黄色の 3 色すべて、またはそのうちの 2 色を使ってア～エの部分をぬり分けます。ただし、となり合う部分は同じ色にならないようにします。
（１）アの部分に赤色をぬるとき、色のぬり方は全部で何通りありますか。
- 答え（１）
- 6 通り
- 解き方（１）
- 3 色すべてを使う場合は、
イ：アの色（赤）以外の 2 通り
ウ：イの色以外の 2 通り
エ：アとウの色以外の 1 通り
より、2 × 2 × 1 = 4 [通り]
2 色を使う場合は、
イ：アの色（赤）以外の 1 通り
ウ：赤色の 1 通り
エ：イと同じ色の 1 通り
赤以外の色は 2 通りあるので、1 × 1 × 1 × 2 = 2 [通り]
合わせて 4 + 2 = 6 [通り]
（２）色のぬり方は全部で何通りありますか。
- 答え（２）
- 18 通り
- 解き方（２）
- アの部分にぬる色は 3 通りあるので、3 × 6 = 18 [通り]
問３
3 桁の整数について、□にあてはまる数を答えなさい。
（１）234 や 987 など「 1 が使われていない整数」は、
100 の位の数は 2 ～ 9 の 8 通り、
10 の位の数は 0, 2 ～ 9 の 9 通り、
1 の位の数は 0, 2 ～ 9 の 9 通り
が考えられます。1 が使われていない整数は \(\boxed{ア}\) 個ありますか。
- 答え（１）
- ア：648
- 解き方（１）
- 8 × 9 × 9 = 648 [個]
（２）3 桁の整数は全部で \(\boxed{イ}\) 個あるので、123 や 911 などの「 1 が使われている整数」は \(\boxed{ウ}\) 個あります。
- 答え（２）
- イ：900 ウ：252
- 解き方（２）
- イ：100 の位は 1 ～ 9 の 9 通り、10 の位は 0 ～ 9 の 10 通り、1 の位は 0 ～ 9 の 10 通りより、9 × 10 × 10 = 900 [個]
ウ：900 – 648 = 252 [個]
（３）234 や 987 など「 1 と 5 が使われていない整数」は、
100 の位の数は 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 7 通り、
10 の位の数は 0, 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 8 通り、
1 の位の数は 0, 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 8 通り
が考えられます。1 と 5 が使われていない整数は \(\boxed{エ}\) 個あります。
- 答え（３）
- エ：448
- 解き方（３）
- 7 × 8 × 8 = 448 [個]
（４）1 と 5 が使われていない整数は \(\boxed{エ}\) 個、1 が使われている整数は \(\boxed{ウ}\) 個、5 が使われている整数は \(\boxed{オ}\) 個あるので、1 と 5 が使われている整数は \(\boxed{カ}\) 個あります。
- 答え（４）
- オ：252 カ：52
- 解き方（４）
- 1 と 5 が使われていない整数は 448 個
1 が使われている整数は 252 個
オ：5 が使われている整数の個数 ( 1 が使われている整数の個数と同じ )は 252 個
カ：252 × 2 – ( 900 – 448)
= 504 – 452 = 52 [個]
問４
大中小の 3 個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が 10 になる場合は何通りですか。
- 答え
- 27 通り
- 解き方
- 目の和が 10 になる 3 つの数の組み合わせは、
( 6, 3, 1 )( 6, 2, 2 )( 5, 4, 1 )( 5, 3, 2 )( 4, 4, 2 )( 4, 3, 3 )
このうち、3 つとも違う数なのは 3 通り、3 つのうち 2 つが同じ数なのは 3 通りある。よって、
3 × 2 × 1 × 3 + \(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × 3
= 18 + 9 = 27 [通り]
問５
図のような道があります。A から B を通って、遠回りをせずに C へ行く道順は何通りですか。
- 答え
- 210 通り
- 解き方
A ～ B までの道順は 6 通り、B ～ C までの道順は 35 通りより、
6 × 35 = 210 [通り]
問６
6 種類のカード \(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{8}\) があります。これらを 2 枚ずつ 3 つに分けて、それぞれの数の積を小さい順に A、B、C とします。
例えば、\(\boxed{1}\) と \(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\) と \(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\) と \(\boxed{8}\) の 3 つに分けたとき、A、B、C の値の組は ( A, B, C ) = ( 2, 12, 40 ) となります。
（１）( A, B, C ) の値の組は全部で何組ですか。
- 答え（１）
- 15 組
- 解き方（１）
- \(\dfrac{6\ ×\ 5}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{4\ ×\ 3}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{1}{3\ × 2\ ×\ 1}\)
= 15 × 6 × 1 × \(\dfrac{1}{6}\) = 15 [組]
【別解】
重複なく全て書き出すと
(1,2), (3,4), (5,8)
(1,2), (3,5), (4,8)
(1,2), (3,8), (4,5)
(1,3), (2,4), (5,8)
(1,3), (2,5), (4,8)
(1,3), (2,8), (4,5)
(1,4), (2,3), (5,8)
(1,4), (2,5), (3,8)
(1,4), (2,8), (3,5)
(1,5), (2,3), (4,8)
(1,5), (2,4), (3,8)
(1,5), (2,8), (3,4)
(1,8), (2,3), (4,5)
(1,8), (2,4), (3,5)
(1,8), (2,5), (3,4)
となり、15組ある。
（２）A、B、C がすべて偶数になるような値の組は、全部で何組ですか。
- 答え（２）
- 6 組
- 解き方（２）
- 偶数と奇数を 1 組として 3 つに分ける。
\(\dfrac{6\ ×\ 3}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{4\ ×\ 2}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{2\ ×\ 1}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{1}{3\ × 2\ ×\ 1}\)
= 6 [組]
【別解】
重複なく全て書き出すと
(1,2), (3,4), (5,8) → (2,12,40) → すべて偶数
(1,2), (3,5), (4,8) → (2,15,32)
(1,2), (3,8), (4,5) → (2,20,24) → すべて偶数
(1,3), (2,4), (5,8) → (3,8,40)
(1,3), (2,5), (4,8) → (3,10,32)
(1,3), (2,8), (4,5) → (3,16,20)
(1,4), (2,3), (5,8) → (4,6,40) → すべて偶数
(1,4), (2,5), (3,8) → (4,10,24) → すべて偶数
(1,4), (2,8), (3,5) → (4,15,16)
(1,5), (2,3), (4,8) → (5,6,32)
(1,5), (2,4), (3,8) → (5,8,24)
(1,5), (2,8), (3,4) → (5,12,16)
(1,8), (2,3), (4,5) → (6,8,20) → すべて偶数
(1,8), (2,4), (3,5) → (8,8,15)
(1,8), (2,5), (3,4) → (8,10,12) → すべて偶数
となり、6組ある。
（３）C から A を引いた値が最も小さくなるような、( A, B, C ) の値の組を求めなさい。
- 答え（３）
- ( 8, 10, 12 )
- 解き方（３）
- 重複なく全て書き出すと
(1,2), (3,4), (5,8) → (2,12,40) → C – A = 38
(1,2), (3,5), (4,8) → (2,15,32) → C – A = 30
(1,2), (3,8), (4,5) → (2,20,24) → C – A = 22
(1,3), (2,4), (5,8) → (3,8,40) → C – A = 37
(1,3), (2,5), (4,8) → (3,10,32) → C – A = 29
(1,3), (2,8), (4,5) → (3,16,20) → C – A = 17
(1,4), (2,3), (5,8) → (4,6,40) → C – A = 36
(1,4), (2,5), (3,8) → (4,10,24) → C – A = 20
(1,4), (2,8), (3,5) → (4,15,16) → C – A = 12
(1,5), (2,3), (4,8) → (5,6,32) → C – A = 27
(1,5), (2,4), (3,8) → (5,8,24) → C – A = 19
(1,5), (2,8), (3,4) → (5,12,16) → C – A = 11
(1,8), (2,3), (4,5) → (6,8,20) → C – A = 14
(1,8), (2,4), (3,5) → (8,8,15) → C – A = 7
(1,8), (2,5), (3,4) → (8,10,12) → C – A = 4
となり、C – A が最小となるのは、(8,10,12)
問７
大きさの異なる 4 つのサイコロを同時に投げて出た目の積を考えます。
（１）積が 720 になる目の出方は何通りありますか。
- 答え（１）
- 12 通り
- 解き方（１）
- 720 を素因数分解すると、
よって、積が 720 となるサイコロの目の 4 つの数は ( 4, 5, 6, 6 )
この 4 つの数の出方は、
\(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) = 12 [通り]
（２）積が 360 になる目の出方は何通りありますか。
- 答え（２）
- 36 通り
- 解き方（２）
- 360 を素因数分解すると、
よって、積が 360 となるサイコロの目の 4 つの数は ( 2, 5, 6, 6 ) と ( 3, 4, 5. 6 )
( 2, 5, 6, 6 ) の出方は、12 通り
( 3, 4, 5. 6 ) の出方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24 [通り]
よって、12 + 24 = 36 [通り]
（３）積が 360 より大きく、720 より小さくなる目の出方は何通りありますか。
- 答え（３）
- 93 通り
- 解き方（３）
- ① 360 = 2 × 5 × 6 × 6 = 3 × 4 × 5 × 6 = 60 × 6、720 = 4 × 5 × 6 × 6 = 120 × 6 より、3 つの目の数の積が 60 より大きく 120 より小さい組み合わせを考える。
2 × 6 × 6 × 6 ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 4 [通り]
3 × 4 × 6 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 5 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 5 × 6 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 6 × 6 × 6 ⇒ 4 [通り]
4 × 4 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
4 × 4 × 6 × 6 ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6 [通り]
4 × 5 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
5 × 5 × 5 × 6 ⇒ 4 [通り]
12 × 5 + 4 × 3 + 6 = 78 [通り]
② 360 = 2 × 6 × 6 × 5 = 3 × 4 × 6 × 5 = 72 × 5、720 = 4 × 6 × 6 × 5 = 144 × 5 より、3 つの目の数の積が 72 より大きく 144 より小さい組み合わせを考える。
3 × 5 × 5 × 5 ⇒ 4 [通り]
4 × 4 × 5 × 5 ⇒ 6 [通り]
4 × 5 × 5 × 5 ⇒ 4 [通り]
5 × 5 × 5 × 5 ⇒ 1 [通り]
4 × 2 + 6 + 1 = 15 [通り]
①と②を合わせて、78 + 15 = 93 [通り]
