算数【応用】場合の数（順列・組み合わせ・図形）

問１

□ に当てはまる数を答えなさい。

（１）大小 2 個のサイコロを同時に投げたとき、一方の目が他方の目の倍数になる場合は全部で □ 通りあります。

答え（１）: 22

解き方（１）: ＜同じ目が出る場合＞
( 1, 1 )、( 2, 2 )、( 3, 3 )、( 4, 4 )、( 5, 5 )、( 6, 6 ) の 6 通り

＜異なる目が出る場合＞
一方が「 1 」のとき：( 1, 2 )、( 1, 3 )、( 1, 4 )、( 1, 5 )、( 1, 6 ) の 5 通り
一方が「 2 」のとき：( 2, 4 )、( 2, 6 ) の 2 通り
一方が「 3 」のとき：( 3, 6 ) の 1 通り
合わせて 5 + 2 + 1 = 8 [通り]
ただし、大小のサイコロは区別できるので、それぞれ 2 通りずつある。
例）（ 1, 2 ）⇒（大 1, 小 2 ）、（大 2, 小 1 ）
したがって、8 × 2 = 16 [通り]

＜同じ目が出る場合＞と＜異なる目が出る場合＞を合わせて、6 + 16 = 22 [通り]

（２）6 人の生徒 A、B、C、D、E、F が一列に並ぶとき、C と D が両端になる並び方は全部で □ 通りあります。

答え（２）: 48

解き方（２）: C と D が両端になる並び方は、
左が C、右が D と左が D、右が C の 2 通り
次に、真ん中に A、B、E、F を並べる並び方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24 [通り]
したがって、2 × 24 = 48 [通り]

（３）りんご、みかん、バナナ、ぶどう、ももの 5 種類の果物がそれぞれ 1 個ずつあります。これを大きなかごに 3 個、小さなかごに 2 個入れるとき、入れ方は全部で □ 通りあります。

答え（３）: 10

解き方（３）: 大きなかごに入れる 3 個を選べば、小さなかごに入る 2 個は自動的に決まる。
つまり、5 個の中から 3 個を選ぶ方法を考えればよい。
\(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 10 [通り]

（４）クッキー、チョコレート、キャラメルの 3 種類から、合わせて 7 つを選んで買います。クッキーもチョコレートもキャラメルも最低 1 つは買うとすると、買い方は全部で □ 通りあります。

答え（４）: 15

解き方（４）: 3 種類とも最低 1 つは買うので、まず、
クッキー 1、チョコレート 1、キャラメル 1
を買う。これで 3 つ買ったので、残りは 4 つ。
この 4 つに 3 種類をどのように振り分けるかを考える。振り分け方の組み合わせは、
( 4, 0, 0 ) ( 3, 1, 0 ) ( 2, 2, 0 ) ( 2, 1, 1 )
それぞれについて、どの種類に振り分けるか（各数字の並び方）を考える。
( 4, 0, 0 ) ( 2, 2, 0 ) ( 2, 1, 1 )：同じ数字が 2 つ
⇒ \(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × 3 = 9 [通り]
( 3, 1, 0 )：3 つとも違う数字
⇒ 3 × 2 × 1 = 6 [通り]
合わせて、9 + 6 = 15 [通り]

問２

3 桁けたの整数について、□にあてはまる数を答えなさい。

（１）234 や 987 など「 1 が使われていない整数」は、

100 の位の数は 2 ～ 9 の 8 通り、

10 の位の数は 0, 2 ～ 9 の 9 通り、

1 の位の数は 0, 2 ～ 9 の 9 通り

が考えられます。1 が使われていない整数は \(\boxed{ア}\) 個ありますか。

答え（１）: ア：648

解き方（１）: 8 × 9 × 9 = 648 [個]

（２）3 桁の整数は全部で \(\boxed{イ}\) 個あるので、123 や 911 などの「 1 が使われている整数」は \(\boxed{ウ}\) 個あります。

答え（２）: イ：900　ウ：252

解き方（２）: イ：100 の位は 1 ～ 9 の 9 通り、10 の位は 0 ～ 9 の 10 通り、1 の位は 0 ～ 9 の 10 通りより、9 × 10 × 10 = 900 [個]
ウ：900 – 648 = 252 [個]

（３）234 や 987 など「 1 と 5 が使われていない整数」は、

100 の位の数は 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 7 通り、

10 の位の数は 0, 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 8 通り、

1 の位の数は 0, 2 ～ 4, 6 ～ 9 の 8 通り

が考えられます。1 と 5 が使われていない整数は \(\boxed{エ}\) 個あります。

答え（３）: エ：448

解き方（３）: 7 × 8 × 8 = 448 [個]

（４）1 と 5 が使われていない整数は \(\boxed{エ}\) 個、1 が使われている整数は \(\boxed{ウ}\) 個、5 が使われている整数は \(\boxed{オ}\) 個あるので、1 と 5 が使われている整数は \(\boxed{カ}\) 個あります。

答え（４）: オ：252　カ：52

解き方（４）: 1 と 5 が使われていない整数は 448 個
1 が使われている整数は 252 個
オ：5 が使われている整数の個数 ( 1 が使われている整数の個数と同じ )は 252 個

カ：252 × 2 – ( 900 – 448)
= 504 – 452 = 52 [個]

問３

大中小の 3 個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が 10 になる場合は何通りですか。

答え: 27 通り

解き方: 目の和が 10 になる 3 つの数の組み合わせは、
( 6, 3, 1 )( 6, 2, 2 )( 5, 4, 1 )( 5, 3, 2 )( 4, 4, 2 )( 4, 3, 3 )
このうち、3 つとも違う数なのは 3 通り、3 つのうち 2 つが同じ数なのは 3 通りある。よって、
3 × 2 × 1 × 3 + \(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × 3
= 18 + 9 = 27 [通り]

問４

図のような道があります。A から B を通って、遠回りをせずに C へ行く道順は何通りですか。

答え: 210 通り

解き方: A ～ B までの道順は 6 通り、B ～ C までの道順は 35 通りより、
6 × 35 = 210 [通り]

問５

6 種類のカード \(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\)、\(\boxed{8}\) があります。これらを 2 枚ずつ 3 つに分けて、それぞれの数の積を小さい順に A、B、C とします。

例えば、\(\boxed{1}\) と \(\boxed{2}\)、\(\boxed{3}\) と \(\boxed{4}\)、\(\boxed{5}\) と \(\boxed{8}\) の 3 つに分けたとき、A、B、C の値の組は ( A, B, C ) = ( 2, 12, 40 ) となります。

（１）( A, B, C ) の値の組は全部で何通りですか。

答え（１）: 15 通り

解き方（１）: 重複なく全て書き出すと
( 1, 2 ), ( 3, 4 ), ( 5, 8 ) → ( 2, 12, 40 )
( 1, 2 ), ( 3, 5 ), ( 4, 8 ) → ( 2, 15, 32 )
( 1, 2 ), ( 3, 8 ), ( 4, 5 ) → ( 2, 20, 24 )
( 1, 3 ), ( 2, 4 ), ( 5, 8 ) → ( 3, 8, 40 )
( 1, 3 ), ( 2, 5 ), ( 4, 8 ) → ( 3, 10, 32 )
( 1, 3 ), ( 2, 8 ), ( 4, 5 ) → ( 3, 16, 20 )
( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 5, 8 ) → ( 4, 6, 40 )
( 1, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 8 ) → ( 4, 10, 24 )
( 1, 4 ), ( 2, 8 ), ( 3, 5 ) → ( 4, 15, 16 )
( 1, 5 ), ( 2, 3 ), ( 4, 8 ) → ( 5, 6, 32 )
( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 3, 8 ) → ( 5, 8, 24 )
( 1, 5 ), ( 2, 8 ), ( 3, 4 ) → ( 5, 12, 16 )
( 1, 8 ), ( 2, 3 ), ( 4, 5 ) → ( 6, 8, 20 )
( 1, 8 ), ( 2, 4 ), ( 3, 5 ) → ( 8, 8, 15 )
( 1, 8 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ) → ( 8, 10, 12 )
となり、15 通りある。

【別解】式で求める
\(\dfrac{6\ ×\ 5}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{4\ ×\ 3}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{1}{3\ × 2\ ×\ 1}\)
= 15 × 6 × 1 × \(\dfrac{1}{6}\) = 15 [通り]

※式の成り立ち
6 枚のカードから 2 枚ずつカードを取り出して並べる
⇒ \(\dfrac{6\ ×\ 5}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{4\ ×\ 3}{2\ ×\ 1}\) × \(\dfrac{2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) = 90 [通り]
A, B, C の順番を考えない並べ方 ⇒ 3 × 2 × 1 = 6 [通り]
実際は小さい順と決まっているので、90 ÷ 6 = 15 [通り]

（２）A、B、C がすべて偶数になるような値の組は、全部で何通りですか。

答え（２）: 6 通り

解き方（２）: （１）で書き出した中からすべて偶数のものを選ぶと、
( 2, 12, 40 ) → すべて偶数
( 2, 15, 32 )
( 2, 20, 24 ) → すべて偶数
( 3, 8, 40 )
( 3, 10, 32 )
( 3, 16, 20 )
( 4, 6, 40 ) → すべて偶数
( 4, 10, 24 ) → すべて偶数
( 4, 15, 16 )
( 5, 6, 32 )
( 5, 8, 24 )
( 5, 12, 16 )
( 6, 8, 20 ) → すべて偶数
( 8, 8, 15 )
( 8, 10, 12 ) → すべて偶数
となり、6 組ある。

【別解】式で求める
偶数と奇数を 1 組として 3 つに分ける。
\(\dfrac{6\ ×\ 3}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{4\ ×\ 2}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{2\ ×\ 1}{2\ × 1}\) × \(\dfrac{1}{3\ × 2\ ×\ 1}\)
= 6 [通り]

（３）C から A を引いた値が最も小さくなるような、( A, B, C ) の値の組を求めなさい。

答え（３）: ( 8, 10, 12 )

解き方（３）: （１）で書き出したもので計算すると、
( 2, 12, 40 ) → C – A = 38
( 2, 15, 32 ) → C – A = 30
( 2, 20, 24 ) → C – A = 22
( 3, 8, 40 ) → C – A = 37
( 3, 10, 32 ) → C – A = 29
( 3, 16, 20 ) → C – A = 17
( 4, 6, 40 ) → C – A = 36
( 4, 10, 24 ) → C – A = 20
( 4, 15, 16 ) → C – A = 12
( 5, 6, 32 ) → C – A = 27
( 5, 8, 24 ) → C – A = 19
( 5, 12, 16 ) → C – A = 11
( 6, 8, 20 ) → C – A = 14
( 8, 8, 15 ) → C – A = 7
( 8, 10, 12 ) → C – A = 4
となり、C – A が最小となるのは、( 8, 10, 12 )

問６

大きさの異なる 4 つのサイコロを同時に投げて出た目の積を考えます。

（１）積が 720 になる目の出方は何通りありますか。

答え（１）: 12 通り

解き方（１）: 720 を素因数分解すると、

よって、積が 720 となるサイコロの目の 4 つの数は ( 4, 5, 6, 6 )
この 4 つの数の出方は、
\(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) = 12 [通り]

（２）積が 360 になる目の出方は何通りありますか。

答え（２）: 36 通り

解き方（２）: 360 を素因数分解すると、

よって、積が 360 となるサイコロの目の 4 つの数は ( 2, 5, 6, 6 ) と ( 3, 4, 5, 6 )
( 2, 5, 6, 6 ) の出方は、12 通り
( 3, 4, 5. 6 ) の出方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 24 [通り]
よって、12 + 24 = 36 [通り]

（３）積が 360 より大きく、720 より小さくなる目の出方は何通りありますか。

答え（３）: 93 通り

解き方（３）: ① 360 = 2 × 5 × 6 × 6 = 3 × 4 × 5 × 6 = 60 × 6、720 = 4 × 5 × 6 × 6 = 120 × 6 より、3 つの目の数の積が 60 より大きく 120 より小さい組み合わせを考える。
2 × 6 × 6 × 6 ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 4 [通り]
3 × 4 × 6 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 5 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 5 × 6 × 6 ⇒ 12 [通り]
3 × 6 × 6 × 6 ⇒ 4 [通り]
4 × 4 × 4 × 6 ⇒ 4 [通り]
4 × 4 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
4 × 4 × 6 × 6 ⇒ \(\dfrac{4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 6 [通り]
4 × 5 × 5 × 6 ⇒ 12 [通り]
12 × 5 + 4 × 3 + 6 = 78 [通り]
② 360 = 2 × 6 × 6 × 5 = 3 × 4 × 6 × 5 = 72 × 5、720 = 4 × 6 × 6 × 5 = 144 × 5 より、3 つの目の数の積が 72 より大きく 144 より小さい組み合わせを考える。
3 × 5 × 5 × 5 ⇒ 4 [通り]
4 × 4 × 5 × 5 ⇒ 6 [通り]
4 × 5 × 5 × 5 ⇒ 4 [通り]
5 × 5 × 5 × 5 ⇒ 1 [通り]
4 × 2 + 6 + 1 = 15 [通り]
①と②を合わせて、78 + 15 = 93 [通り]

問７

クラスの代表者を 2 人決めるための選挙を行い、A、B、C、D、E の 5 人が立候補しました。選挙では、1 人が 1 票ずつ投票します。票数が同じ者が複数いて代表者が選べない場合は、票数が同じものどうしでくじを引き、代表者を 2 人選ぶこととします。50 人が投票して、44 票を開票した時点で、それぞれの立候補者の票数は下の表のようになりました。

立候補者	A	B	C	D	E
票数	14	4	11	7	8

（１）代表者に選ばれる可能性のある 2 人の組み合わせは、何通りありますか。

答え（１）: 3 通り

解き方（１）: まだ開票していない票は 50 – 44 = 6 [票] ある。
まず、最も票数の少ない B について考える。
B は残りの 6 票をすべてもらっても、4 + 6 = 10 [票] で、上位から 2 番目の C の 11 票にも届かないので、代表者にはなれない。このとき、A と C が代表者になる。
D は残りの 6 票をすべてもらうと、7 + 6 = 13 [票] となり、代表者になる可能性がある。
E は残りの 6 票をすべてもらうと、8 + 6 = 14 [票] となり、代表者になる可能性がある。
A はすでに 14 票あり、残りの 6 票がどんな入り方をしても、必ず代表者になる。よって、考えられる組み合わせは、( A, C )( A, D )( A, E ) の 3 通り。

（２）C が必ず代表者となるには、少なくともあと何票必要ですか。

答え（２）: 2 票

解き方（２）: 現時点で 2 位の C があと 1 票もらうと 11 + 1 = 12 [票] になる。
ただし、残り 5 票を現時点で 3 位の E がすべてもらうと 8 + 5 = 13 [票] となり、E が C の上位になる。
このとき、A が 14 票、E が 13 票なので、C は代表者になれない。
C があと 2 票もらうと、11 + 2 = 13 [票] になる。
残りは 4 票なので、E がすべてもらっても、8 + 4 = 12 [票] で順位は入れ替わらない。
D や B はこれより少なくなる。したがって、このとき C は必ず上位 2 人に入る。
よって、C が必ず代表者となるには、少なくともあと 2 票必要。

問８

赤色、青色、黄色の 3 色のカードがあります。カードを 1 枚引いて、色を記録したあと、もとに戻します。また、色が赤色なら 9 点を、色が青色なら 5 点を、色が黄色なら 2 点として得点をつけていきます。

（１）この操作を 3 回行ったとき、得点の合計が 16 点となるようなカードの色の出方は何通りありますか。ただし、色の出る順番が違うときは別の場合として考えます。

答え（１）: 6 通り

解き方（１）: 3 回とも黄色のカードを引いた場合の得点は、
2 × 3 = 6 [点]
16 点にするには 16 – 6 = 10 [点] 増やす必要がある。
黄色を赤色に変えると 9 – 2 = 7 [点] 増え、黄色を青色に変えると 5 – 2 = 3 [点]、合わせて 10 点増える。
したがって、3 回で 16 点となる組み合わせは、赤 1、青 1、黄 1
その並び方は、3 × 2 × 1 = 6 [通り]

（２）この操作を 5 回行ったとき、得点の合計が 20 点となるようなカードの色の出方は何通りありますか。ただし、色の出る順番が違うときは別の場合として考えます。

答え（２）: 20 通り

解き方（２）: 5 回とも黄色のカードを引いた場合の得点は、
2 × 5 = 10 [点]
20 点にするには 20 – 10 = 10 [点] 増やす必要がある。
（１）より、黄色 2 回分を赤色 1 回と青色 1 回に変えると 10 点増える。
したがって、5 回で 20 点となる組み合わせは、赤 1、青 1、黄 3
その並び方は、\(\dfrac{5\ ×\ 4\ ×\ 3\ ×\ 2\ ×\ 1}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 20 [通り]

問９

ひらがなが書かれた 5 枚のカード \(\boxed{か}\)、\(\boxed{き}\)、\(\boxed{ら}\)、\(\boxed{ら}\)、\(\boxed{か}\) を並べかえて、下の 3 つのルールにしたがって文字の列を作ります。全部で何通りの文字の列が作れますか。

【ルール】

① カードは 5 枚すべて使う

② \(\boxed{ら}\) のカードは先頭には使わない

③ \(\boxed{ら}\) のカードは 2 枚つづけては使わない

答え: 9 通り

解き方: 5 つの場所を次のように設定する。
①　②　③　④　⑤
まず、\(\boxed{ら}\) を置く場所について考える。
先頭の ① には置けない、また 2 枚続けて置くことができないことから、2 枚の \(\boxed{ら}\) を置ける場所は、
② と ④、② と ⑤、③ と ⑤ の 3 通り
残った 3 ヶ所には、\(\boxed{か}\)、\(\boxed{か}\)、\(\boxed{き}\) が入る。
この 3 文字のカードの並べ方は、
\(\dfrac{3\ ×\ 2\ ×\ 1}{2\ ×\ 1}\) = 3 [通り]
よって、3 × 3 = 9 [通り]

※「 \(\boxed{ら}\) の場所を決める → 残りに \(\boxed{か}\)、\(\boxed{か}\)、\(\boxed{き}\) を並べる」と 2 段階に分けて考えるとわかりやすい！

問１０

体重が全員異ことなる 5 人を以下の規則にしたがって一列に並ばせます。このとき、並び方は全部で何通りありますか。

【規則】左から 2 番目と 4 番目の人は、どちらも両隣りの人より体重が重い。

答え: 16 通り

解き方: 5 つの場所を次のように設定する。
①　②　③　④　⑤
規則にしたがって体重の大小を表示すると、
① ＜ ② ＞ ③ ＜ ④ ＞ ⑤
1 番体重の重い人は、② か ④ のどちらかにしか入れない。
まず、1 番体重の重い人が ② に入る場合の残った 4 人の並び方を考える。
①：4 通り
残った 3 人のうち、最も体重の重い人は ④ に入る。
③：2 通り
④：最も体重の重い人 1 通り
⑤：残り 1 通り
よって、4 × 2 × 1 × 1 = 8 [通り]
1 番体重の重い人が ④ に入る場合も同じように考えられるので、8 通り
したがって、全部で 8 + 8 = 16 [通り]

問１１

たて 3 cm、横 5 cm の長方形 30 個をすきまなく並べて、1 つの大きな長方形を作ります。並べ方がちがっていても大きさが同じである大きな長方形は 1 通りと数えることにすると、大きな長方形は全部で何通り作ることができますか。

答え: 7 通り

解き方: まず、1 個の長方形の面積を求めると、
3 × 5 = 15 [cm²]
これが 30 個あるので、大きな長方形の面積は、
15 × 30 = 450 [cm²]
となる。
たて × 横が 450 になる組を考える。
（ただし、1 辺の最小値は 3 ）
3 × 150
5 × 90
6 × 75
9 × 50
10 × 45
15 × 30
18 × 25
よって、 7 通り

※全体の面積を求めてから、条件に合う「たて × 横」を探す！

問１２

円形のメダルに色をぬります。メダルは図のように 5 つの同じ形のおうぎ形に分けられています。5 つのおうぎ形それぞれに赤か黒の色を必ずぬるとき、円の模様は何通りできますか。ただし、メダルを回転させて同じになる模様は、同じ 1 通りと数えることにします。また、 5 つとも同じ色をぬる場合は除きます。

答え: 6 通り

解き方: ＜1 つのおうぎ形に 1 色をぬり、残りの 4 つのおうぎ形に別の 1 色をぬる場合＞

模様は 1 通り
1 つのおうぎ形にぬる色が赤と黒の 2 通り
＜2 つのおうぎ形に 1 色をぬり、残りの 3 つのおうぎ形に別の 1 色をぬる場合＞

模様は 2 通り
2 つのおうぎ形にぬる色が赤と黒の 2 通り
よって、2 × 2 = 4 [通り]
全部で、2 + 4 = 6 [通り]

問１３

あるイベントでは、コースにゲームコーナーがいくつか並んでいます。A さんは、それぞれのゲームコーナーで「ゲームをする」か「ゲームをしない」かを選びます。ただし、2 か所続けて「ゲームをしない」ことがないようにします。以下のコースでゲームコーナーを回るとき、A さんには何通りの回り方がありますか。ただし、コースを途中で戻ることはありません。

（１）2 か所のゲームコーナーがあるコース

答え（１）: 3 通り

解き方（１）: 「する」→「する」
「する」→「しない」
「しない」→「する」
3 通り

（２）3 か所のゲームコーナーがあるコース

答え（２）: 5 通り

解き方（２）: ① 3 か所目でゲームをする場合は、2 か所目まではどの回り方でもいいので、3 通り。
② 3 か所目でゲームをしない場合は、2 か所目では必ずゲームをする必要がある。したがって、1 か所目の選択の仕方「する」「しない」の 2 通り。
合わせて、3 + 2 = 5 [通り]

（３）7 か所のゲームコーナーがあるコース

答え（３）: 34 通り

解き方（３）

n か所のゲームコーナーの回り方について考える。
「ゲームをする」を ○、「ゲームをしない」を × とする。
・n か所目でゲームをする場合

n – 1 か所目はゲームをしていてもしていなくても良い。すなわち、n – 1 か所のゲームコーナーがあるときと回り方は同じ通りある。
・n か所目でゲームをしない場合

n – 1 か所目は必ずゲームをする必要がある。すなわち、n – 2 か所のゲームコーナーがあるときと回り方は同じ通りある。
したがって、n か所のゲームコーナーの回り方は、「 n – 1 か所のゲームコーナーがあるときの回り方 + n – 2 か所のゲームコーナーがあるときの回り方」になる。
1 ～ 7 か所のゲームコーナーのある回り方をまとめると、

ゲームコーナーの数	回り方
1	2
2	3
3	2 + 3 = 5
4	3 + 5 = 8
5	5 + 8 = 13
6	8 + 13 = 21
7	13 + 21 = 34

問１４

\(\boxed{1}\)、\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) のカードが 1 枚ずつあります。このカードを並べて整数を作るとき、奇数は全部で何通りできますか。ただし、使わないカードがあっても構いません。

答え: 16 通り

解き方: 奇数は一の位が奇数になっている数
4 枚のカードの中で奇数は \(\boxed{1}\) だけなので、奇数を作るためには一の位を必ず \(\boxed{1}\) にする必要がある。
・1 けたのとき：1 通り
・2 けたのとき：十の位に入るのは \(\boxed{1}\) 以外の 3 通り
・3 けたのとき：\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) から百の位と十の位に入るカードを選んで並べる
3 × 2 = 6 [通り]
・4 けたのとき：\(\boxed{2}\)、\(\boxed{4}\)、\(\boxed{6}\) から千の位と百の位と十の位に入るカードを選んで並べる
3 × 2 × 1 = 6 [通り]
全部で、1 + 3 + 6 + 6 = 16 [通り]

問１５

遠足で、A、B、C、D、E さんの 5 人が、3 人と 2 人のグループに分かれて行動することになりました。グループの分け方は全部で何通りありますか。

答え: 10 通り

解き方: 2人のグループを決めれば、残りの3人のグループは自動的に決まる。
5 人から 2 人を選ぶ方法は、
\(\dfrac{5\ ×\ 4}{2\ ×\ 1}\) = 10 [通り]

問１６

0、2、5、7 の数字 4 文字と、H、Y、K のアルファベット 3 文字を組み合わせて、7 けたの暗証番号を作ります。

（１）数字とアルファベットが交互に並ぶような暗証番号は、全部で何通りありますか。

答え（１）: 144 通り

解き方（１）: 4 つの数字（数）と 3 つのアルファベット（ア）を交互に並べる方法は、
数ア数ア数ア数
の 1 通り。
数字の並び方は 4 × 3 × 2 × 1 = 24 [通り]
アルファベットの並び方は 3 × 2 × 1 = 6 [通り]
数字の並べ方 1 つについて、アルファベットの並べ方が 6 通りあるので、
24 × 6 = 144 [通り]

（２）0H25YK7 や H025Y7K のように、数字だけ見ると 0257 の順に並び、アルファベットだけを見ると HYK の順に並ぶような暗証番号は、全部で何通りありますか。

答え（２）: 35 通り

解き方（２）: 数字だけ、アルファベットだけの並び方は決まっている。
7 か所のうち、アルファベットにする 3 か所を選べば、自動的に数字の場所も決まる。
\(\dfrac{7\ ×\ 6\ ×\ 5}{3\ ×\ 2\ ×\ 1}\) = 35 [通り]

問１７

最初、A さんと B さんはともに公園の入り口から 80 m 離れた地点にいるものとします。A さんと B さんがじゃんけんを行い、勝った人は 2 m 入口から遠ざかり、負けた人は 1 m 入口に近づきます。あいこの場合は 2 人ともその場にとどまります。

合計 10 回じゃんけんを行い、5 回のじゃんけんを終えた時点で、A さんは入口から 84 m 離れた地点に、10 回のじゃんけんを終えた時点で、A さんは入口から 86 m 離れた地点にいました。

（１）5 回のじゃんけんを終えた時点で、B さんは入口から何 m 離れた地点にいますか。考えられる入口からの距離をすべて答えなさい。

答え（１）: 78 m, 81 m

解き方（１）: もし A さんが 5 回とも勝ったなら、
80 + 2 × 5 = 90 [m] の地点にいるはずである。
しかし、実際は 84 m なので、90 – 84 = 6 [m] 手前にいる。
勝ちを 1 回「負け」に変えると、3 m 手前になる。

勝ちを 1 回「あいこ」に変えると、2 m 手前になる。

6 m 手前にするには、
① 3 + 3 = 6 ⇒ 3 勝 2 敗
② 2 + 2 + 2 = 6 ⇒ 2 勝 3 あいこ
① の場合、B さんは 2 勝 3 敗より、入口からの距離は、
80 + 2 × 2 – 1 × 3 = 81 [m]
② の場合、B さんは 2 敗 3 あいこより、入口からの距離は、
80 – 1 × 2 = 78 [m]

（２）10 回のじゃんけんを終えた時点で、B さんは入口から何 m 離れた地点にいますか。考えられる入口からの距離をすべて答えなさい。

答え（２）: 77 m, 80 m, 83 m

解き方（２）: 後半の 5 回について考える。
A さんが後半の 5 回をすべて勝ったとすると、84 + 2 × 5 = 94 [m] の地点にいるはずである。
しかし、実際は 86 m なので、94 – 86 = 8 [m] 手前にいる。
勝ちを 1 回「負け」に変えると、3 m 手前になり、勝ちを 1 回「あいこ」に変えると、2 m 手前になることから、
8 m 手前にするには、
① 3 + 3 + 2 = 8 ⇒ 2 勝 2 敗 1 あいこ
② 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ⇒ 1 勝 4 あいこ
① の場合、B さんは 2 勝 2 敗 1 あいこより、2 × 2 – 1 × 2 = 2 [m] 遠ざかる。
② の場合、B さんは 1 敗 4 あいこより、入口からの距離は、1 m 近づく。
5 回後の B さんの入口からの距離は、78 m または 81 m より、
78 m ⇒ 78 + 2 = 80 [m] または 78 – 1 = 77 [m]
81 m ⇒ 81 + 2 = 83 [m] または 81 – 1 = 80 [m]
よって、77 m または 80 m または 83 m