算数【応用】倍数算

問１

（１）AさんとBさんの持っているお金の比は 2：1 で、2人のお金は合わせて4140円です。2人が同じ値段のアクセサリーを買ったところ、お金の比は 5：2 になりました。アクセサリーの代金は1個いくらですか。

答え（１）

460円

解き方（１）

AさんとBさんは同じ値段のアクセサリーを買ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。

買う前の2人のお金の和は⑨、アクセサリーの代金はAさん（またはBさん）の買う前後のお金の差なので、⑥ – ⑤ = ① となる。
⑨ = 4140
① = 460(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
アクセサリーを買う前の所持金は、
Aさん、4140 × \(\dfrac{2}{3}\) = 2760(円)
Bさん、4140 – 2760 = 1380(円)
アクセサリーの代金を \(\boxed{　}\) 円とすると、
2760 – \(\boxed{　}\)：1380 – \(\boxed{　}\) = 5：2
5 × (1380 – \(\boxed{　}\) ) = 2 × (2760 – \(\boxed{　}\) )
\(\boxed{　}\) = 460(円)

（２）AさんとBさんの所持金の比は 2：3 です。2人とも780円使ったところ、AさんとBさんの所持金の比は 3：11 になりました。Aさんのはじめの所持金はいくらですか。

答え（２）

960円

解き方（２）

AさんとBさんは同じ金額を使ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。

Aさんのはじめの所持金は⑯、使ったお金は ⑯ – ③ = ⑬より、
⑬ = 780
① = 60(円)
Aさんのはじめの所持金は、⑯ = 16 × 60 = 960(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
Aさんのはじめの所持金を②とすると、Bさんのはじめの所持金は③と表すことができる。よって、
② – 780：③ – 780 = 3：11
3 × (③ – 780) = 11 × (② – 780)
① = 480
Aさんのはじめの所持金は、② = 2 × 480 = 960(円)

（３）姉と妹の所持金の比は 9：4 でしたが、姉が妹に300円渡したので、姉と妹の所持金の比は 3：2 になりました。姉のはじめの所持金はいくらですか。

答え（３）

2250円

解き方（３）

姉が妹にお金を渡す前後で、姉と妹の所持金の和は変化していない。

\(\boxed{45}\) – \(\boxed{39}\) = 300
\(\boxed{1}\) = 50
姉のはじめの所持金は、
\(\boxed{45}\) = 45 × 50 = 2250(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
姉のはじめに所持金を \(\boxed{9}\) とすると、妹は \(\boxed{4}\) と表すことができる。よって、
\(\boxed{9}\) – 300：\(\boxed{4}\) + 300 = 3：2
3 × ( \(\boxed{4}\) + 300) = 2 × ( \(\boxed{9}\) – 300)
\(\boxed{1}\) = 250
姉のはじめの所持金は、\(\boxed{9}\) = 9 × 250 = 2250(円)

（４）兄と弟が最初に持っていた金額の比は 13：5 でした。2人とも500円ずつおこずかいをもらったところ、2人の所持金の比は 7：3 になりました。兄の最初の所持金はいくらですか。

答え（４）

6500円

解き方（４）

おこずかいをもらう前後で、兄と弟の所持金の差は変化していない。

⑭ – ⑬ = ① = 500
兄の最初の所持金は、⑬ = 13 × 500 = 6500(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
兄の最初の所持金を⑬とすると、弟は⑤と表すことができる。よって、
⑬ + 500：⑤ + 500 = 7：3
7 × (⑤ + 500) = 3 × (⑬ + 500)
① = 500
兄の最初の所持金は、⑬ = 13 × 500 = 6500(円)

（５）あめがいくつかあります。A君とB君で分けたところ、個数の比は 3：2 になりました。その後、A君がB君にあめを15個あげたら、個数の比は 3：7 になりました。あめは全部で何個ありますか。

答え（５）

50個

解き方（５）

A君がB君にあめをあげる前後で、あめの全個数は変化していない。

⑥ – ③ = 15
① = 5
あめの全個数は、⑩ = 10 × 5 = 50(個)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
A君があめをあげる前の個数を③とすると、B君の個数は②と表すことができる。よって、
③ – 15：② + 15 = 3：7
3 × (② + 15) = 7 × (③ – 15)
① = 10
あめの全個数は、③ + ② = ⑤ = 5 × 10 = 50(個)

（６）兄と弟の所持金の比は、はじめ 3：1 でしたが、2人とも150円のお菓子を買ったので、2人の所持金の比が 5：1 になりました。兄のはじめの所持金はいくらでしたか。

答え（６）

900円

解き方（６）

兄と弟は同じ金額を使ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。

兄のはじめの所持金は⑥、使ったお金は ⑥ – ⑤ = ① = 150より、
兄のはじめの所持金は、⑥ = 6 × 150 = 900(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
兄のはじめの所持金を③とすると、弟のはじめの所持金は①と表すことができる。よって、
③ – 150：① – 150 = 5：1
5 × (① – 150) = ③ – 150
① = 300
兄のはじめの所持金は、③ = 3 × 300 = 900(円)

（７）AさんとBさんの所持金の比は 7：5 でしたが、2人とも1200円ずつ使ったので、所持金の比は 11：7 になりました。はじめにAさんは何円持っていましたか。

答え（７）

5600円

解き方（７）

AさんとBさんは同じ金額を使ったので、使う前後で所持金の差は変化していない。

Aさんのはじめの所持金は⑭、使ったお金は ⑭ – ⑪ = ③ = 1200より、① = 400
Aさんのはじめの所持金は、⑭ = 14 × 400 = 5600(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
Aさんのはじめの所持金を⑦とすると、Bさんのはじめの所持金は⑤と表すことができる。よって、
⑦ – 1200：⑤ – 1200 = 11：7
11 × (⑤ – 1200) = 7 × (⑦ – 1200)
① = 800
Aさんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 800 = 5600(円)

（８）AさんとBさんの所持金の比は 7：2 でした。AさんからBさんに500円渡したら、2人の所持金の比は 5：4 になりました。はじめにAさんとBさんはそれぞれ何円持っていましたか。

答え（８）

Aさん：1750円　Bさん：500円

解き方（８）

AさんからBさんにお金を渡す前後で、2人の所持金の和は変化していない。

⑦ – ⑤ = 500
① = 250
Aさんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 250 = 1750(円)
Bさんのはじめの所持金は、② = 2 × 250 = 500(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
Aさんのはじめに所持金を⑦とすると、Bさんは②と表すことができる。よって、
⑦ – 500：② + 500 = 5：4
5 × (② + 500) = 4 × (⑦ – 500)
① = 250
Aさんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 250 = 1750(円)
Bさんのはじめの所持金は、② = 2 × 250 = 500(円)

（９）兄と弟の年れいの比は現在 7：4 で、10年後には 4：3 になります。現在、兄は何才ですか。

答え（９）

14才

解き方（９）

兄と弟の年れいの差は、現在も10年後もかわらない。

⑫ – ⑦ = ⑤ = 10
① = 2
兄の現在の年れいは、⑦ = 7 × 2 = 14(才)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
兄の現在の年れいを⑦とすると、弟は④と表すことができる。よって、
⑦ + 10：④ + 10 = 4：3
4 × (④ + 10) = 3 × (⑦ + 10)
① = 2
兄の現在の年れいは、⑦ = 7 × 2 = 14(才)

（１０）２種類の消しゴムA、Bが売られています。はじめ個数の比は 4：3 でしたが、どちらも同じ数が売れたので、個数の比は 5：3 になり、個数の合計は16個になりました。A、Bは何個ずつ売れましたか。

答え（１０）

6個

解き方（１０）

同じ個数が売れたので、売れる前後の個数の差は変化しない。

⑧ = 16
① = 2
A（またはB）の売れた個数は、⑧ – ⑤ = ③ = 3 × 2 = 6(個)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
売れた後のA、Bの個数は、
A、16 × \(\dfrac{5}{8}\) = 10(個)
B、16 × \(\dfrac{3}{8}\)= 6(個)
よって、売れた個数を \(\boxed{　}\) とすると、
10 + \(\boxed{　}\)：6 + \(\boxed{　}\) = 4：3
4 × (6 + \(\boxed{　}\) ) = 3 × (10 + \(\boxed{　}\) )
\(\boxed{　}\) = 6(個)

問２

（１）ノートAとBの冊数の比が 3：5 で売られています。ノートBが6冊売れたので補充しようとしたら在庫がありませんでした。代わりにノートAを10冊補充したところ、ノートAとBの冊数の比が 11：7 になりました。はじめにノートAとBはそれぞれ何冊売られていましたか。

答え（１）

A：12冊　B：20冊

解き方（１）

ノートAとBの冊数の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、

\(\boxed{55}\) – \(\boxed{21}\) = 70 + 66
\(\boxed{34}\) = 136
\(\boxed{1}\) = 4
はじめに売られていた冊数は、
ノートA、\(\boxed{3}\) = 3 × 4 = 12(冊)
ノートB、\(\boxed{5}\) = 5 × 4 = 20(冊)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
はじめに売られていたノートAの冊数を \(\boxed{3}\) とすると、Bは \(\boxed{5}\) と表すことができる。よって、
\(\boxed{3}\) + 10：\(\boxed{5}\) – 6 = 11：7
11 × ( \(\boxed{5}\) – 6) = 7 × ( \(\boxed{3}\) + 10)
\(\boxed{1}\) = 4
はじめに売られていた冊数は、
ノートA、\(\boxed{3}\) = 3 × 4 = 12(冊)
ノートB、\(\boxed{5}\) = 5 × 4 = 20(冊)

（２）AさんとBさんの所持金の比は 8：5 でしたが、Aさんが320円を使ったので、その比が 4：3 になりました。Aさんのはじめの所持金はいくらですか。

答え（２）

1920円

解き方（２）

AさんとBさんの所持金の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、

㉔ – ⑳ = 960
① = 240
Aさんのはじめの所持金は、⑧ = 8 × 240 = 1920(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
Aさんのはじめの所持金を⑧とすると、Bさんは⑤と表すことができる。よって、
⑧ – 320：⑤ = 4：3
4 × ⑤ = 3 × (⑧ – 320)
① = 240
Aさんのはじめの所持金は、⑧ = 8 × 240 = 1920(円)

（３）先月の兄と弟の貯金額の比は 1：2 でしたが、今月は兄は600円貯金して、弟は貯金から200円使ったところ、貯金額の比が 5：3 になりました。先月までの兄の貯金額はいくらですか。

答え（３）

400円

解き方（３）

兄と弟の貯金額の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、

⑩ – ③ = 1800 + 1000
① = 400
先月までの兄の貯金額は、① = 1 × 400 = 400(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
先月までの兄の貯金額を①とすると、弟は②と表すことができる。よって、
① + 600：② – 200 = 5：3
5 × (② – 200) = 3 × (① + 600)
① = 400
先月までの兄の貯金額は、① = 1 × 400 = 400(円)

（４）AさんとBさんの所持金の比は 4：5 です。Bさんが900円を使ったので、その比が 5：4 になりました。Aさんの所持金はいくらですか。

答え（４）

2000円

解き方（４）

AさんとBさんの所持金の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、

㉕ – ⑯ = 4500
① = 500
Aさんの所持金は、④ = 4 × 500 = 2000(円)

別の計算方法【内項の積 = 外項の積で求める方法】
Aさんの所持金を④とすると、Bさんのはじめの所持金は⑤と表すことができる。よって、
④：⑤ – 900 = 5：4
5 × (⑤ – 900) = 4 × ④
① = 500
Aさんの所持金は、④ = 4 × 500 = 2000(円)