算数【応用】倍数算
問１
（１）A さんと B さんの持っているお金の比は 2：1 で、2 人のお金は合わせて 4140 円です。2 人が同じ値段のアクセサリーを買ったところ、お金の比は 5：2 になりました。アクセサリーの代金は 1 個いくらですか。
- 答え（１）
- 460 円
- 解き方（１）
- 【解き方①】連比で考える
A さんと B さんは同じ値段のアクセサリーを買ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。
買う前の 2 人のお金の和は ⑨、アクセサリーの代金は A さん（または B さん）の買う前後のお金の差なので、⑥ – ⑤ = ① となる。
⑨ = 4140
① = 460 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
アクセサリーを買う前の所持金は、
A さん、4140 × \(\dfrac{2}{3}\) = 2760 [円]
B さん、4140 – 2760 = 1380 [円]
アクセサリーの代金を □ 円とすると、
2760 – □：1380 – □ = 5：2
5 × ( 1380 – □ ) = 2 × ( 2760 – □ )
□ = 460 [円]
（２）A さんと B さんの所持金の比は 2：3 です。2 人とも 780 円使ったところ、A さんと B さんの所持金の比は 3：11 になりました。A さんのはじめの所持金はいくらですか。
- 答え（２）
- 960 円
- 解き方（２）
- 【解き方①】連比で考える
A さんと B さんは同じ金額を使ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。
A さんのはじめの所持金は ⑯、使ったお金は ⑯ – ③ = ⑬より、
⑬ = 780
① = 60 [円]
A さんのはじめの所持金は、⑯ = 16 × 60 = 960 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
A さんのはじめの所持金を ② とすると、B さんのはじめの所持金は ③ と表すことができる。よって、
② – 780：③ – 780 = 3：11
3 × ( ③ – 780 ) = 11 × ( ② – 780 )
① = 480
A さんのはじめの所持金は、② = 2 × 480 = 960 [円]
（３）姉と妹の所持金の比は 9：4 でしたが、姉が妹に 300 円渡したので、姉と妹の所持金の比は 3：2 になりました。姉のはじめの所持金はいくらですか。
- 答え（３）
- 2250 円
- 解き方（３）
- 【解き方①】連比で考える
姉が妹にお金を渡す前後で、姉と妹の所持金の和は変化していない。
\(\boxed{45}\) – \(\boxed{39}\) = 300
\(\boxed{1}\) = 50
姉のはじめの所持金は、
\(\boxed{45}\) = 45 × 50 = 2250 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
姉のはじめに所持金を \(\boxed{9}\) とすると、妹は \(\boxed{4}\) と表すことができる。よって、
\(\boxed{9}\) – 300：\(\boxed{4}\) + 300 = 3：2
3 × ( \(\boxed{4}\) + 300 ) = 2 × ( \(\boxed{9}\) – 300 )
\(\boxed{1}\) = 250
姉のはじめの所持金は、\(\boxed{9}\) = 9 × 250 = 2250 [円]
（４）兄と弟が最初に持っていた金額の比は 13：5 でした。2 人とも 500 円ずつおこずかいをもらったところ、2 人の所持金の比は 7：3 になりました。兄の最初の所持金はいくらですか。
- 答え（４）
- 6500 円
- 解き方（４）
- 【解き方①】連比で考える
おこずかいをもらう前後で、兄と弟の所持金の差は変化していない。
⑭ – ⑬ = ① = 500
兄の最初の所持金は、⑬ = 13 × 500 = 6500 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
兄の最初の所持金を ⑬ とすると、弟は ⑤ と表すことができる。よって、
⑬ + 500：⑤ + 500 = 7：3
7 × ( ⑤ + 500 ) = 3 × ( ⑬ + 500 )
① = 500
兄の最初の所持金は、⑬ = 13 × 500 = 6500 [円]
（５）あめがいくつかあります。A 君と B 君で分けたところ、個数の比は 3：2 になりました。その後、A 君が B 君にあめを 15 個あげたら、個数の比は 3：7 になりました。あめは全部で何個ありますか。
- 答え（５）
- 50 個
- 解き方（５）
- 【解き方①】連比で考える
A 君が B 君にあめをあげる前後で、あめの全個数は変化していない。
⑥ – ③ = 15
① = 5
あめの全個数は、⑩ = 10 × 5 = 50 [個]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
A 君があめをあげる前の個数を ③ とすると、B 君の個数は ② と表すことができる。よって、
③ – 15：② + 15 = 3：7
3 × ( ② + 15 ) = 7 × ( ③ – 15 )
① = 10
あめの全個数は、③ + ② = ⑤ = 5 × 10 = 50 [個]
（６）兄と弟の所持金の比は、はじめ 3：1 でしたが、2 人とも 150 円のお菓子を買ったので、2 人の所持金の比が 5：1 になりました。兄のはじめの所持金はいくらでしたか。
- 答え（６）
- 900 円
- 解き方（６）
- 【解き方①】連比で考える
兄と弟は同じ金額を使ったので、買う前後で所持金の差は変化していない。
兄のはじめの所持金は⑥、使ったお金は ⑥ – ⑤ = ① = 150より、
兄のはじめの所持金は、⑥ = 6 × 150 = 900 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
兄のはじめの所持金を ③ とすると、弟のはじめの所持金は ① と表すことができる。よって、
③ – 150：① – 150 = 5：1
5 × ( ① – 150 ) = ③ – 150
① = 300
兄のはじめの所持金は、③ = 3 × 300 = 900 [円]
（７）A さんと B さんの所持金の比は 7：5 でしたが、2 人とも 1200 円ずつ使ったので、所持金の比は 11：7 になりました。はじめに A さんは何円持っていましたか。
- 答え（７）
- 5600円
- 解き方（７）
- 【解き方①】連比で考える
A さんと B さんは同じ金額を使ったので、使う前後で所持金の差は変化していない。
A さんのはじめの所持金は ⑭、使ったお金は ⑭ – ⑪ = ③ = 1200より、① = 400
A さんのはじめの所持金は、⑭ = 14 × 400 = 5600 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める方法
A さんのはじめの所持金を ⑦ とすると、B さんのはじめの所持金は ⑤ と表すことができる。よって、
⑦ – 1200：⑤ – 1200 = 11：7
11 × ( ⑤ – 1200 ) = 7 × ( ⑦ – 1200 )
① = 800
A さんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 800 = 5600 [円]
（８）A さんと B さんの所持金の比は 7：2 でした。A さんから B さんに 500 円渡したら、2 人の所持金の比は 5：4 になりました。はじめに A さんと B さんはそれぞれ何円持っていましたか。
- 答え（８）
- Aさん：1750 円 Bさん：500 円
- 解き方（８）
- 【解き方①】連比で考える
A さんから B さんにお金を渡す前後で、2人の所持金の和は変化していない。
⑦ – ⑤ = 500
① = 250
A さんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 250 = 1750 [円]
B さんのはじめの所持金は、② = 2 × 250 = 500 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める方法
A さんのはじめに所持金を ⑦ とすると、B さんは ② と表すことができる。よって、
⑦ – 500：② + 500 = 5：4
5 × ( ② + 500 ) = 4 × ( ⑦ – 500 )
① = 250
A さんのはじめの所持金は、⑦ = 7 × 250 = 1750 [円]
B さんのはじめの所持金は、② = 2 × 250 = 500 [円]
（９）兄と弟の年れいの比は現在 7：4 で、10 年後には 4：3 になります。現在、兄は何才ですか。
- 答え（９）
- 14 才
- 解き方（９）
- 【解き方①】連比で考える
兄と弟の年れいの差は、現在も 10 年後もかわらない。
⑫ – ⑦ = ⑤ = 10
① = 2
兄の現在の年れいは、⑦ = 7 × 2 = 14 [才]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める方法
兄の現在の年れいを ⑦ とすると、弟は ④ と表すことができる。よって、
⑦ + 10：④ + 10 = 4：3
4 × ( ④ + 10 ) = 3 × ( ⑦ + 10 )
① = 2
兄の現在の年れいは、⑦ = 7 × 2 = 14 [才]
（１０）2 種類の消しゴム A、B が売られています。はじめ個数の比は 4：3 でしたが、どちらも同じ数が売れたので、個数の比は 5：3 になり、個数の合計は 16 個になりました。A、B は何個ずつ売れましたか。
- 答え（１０）
- 6 個
- 解き方（１０）
- 【解き方①】連比で考える
同じ個数が売れたので、売れる前後の個数の差は変化しない。
⑧ = 16
① = 2
A（ または B ）の売れた個数は、⑧ – ⑤ = ③ = 3 × 2 = 6 [個]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
売れた後の A、B の個数は、
A：16 × \(\dfrac{5}{8}\) = 10 [個]
B：16 × \(\dfrac{3}{8}\)= 6 [個]
よって、売れた個数を □ とすると、
10 + □：6 + □ = 4：3
4 × ( 6 + □ ) = 3 × ( 10 + □ )
□ = 6 [個]
問２
（１）ノート A と B の冊数の比が 3：5 で売られています。ノート B が 6 冊売れたので補充しようとしたら在庫がありませんでした。代わりにノート A を 10 冊補充したところ、ノート A と B の冊数の比が 11：7 になりました。はじめにノート A と B はそれぞれ何冊売られていましたか。
- 答え（１）
- A：12 冊 B：20 冊
- 解き方（１）
- 【解き方①】線分図で考える
ノート A と B の冊数の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、
\(\boxed{55}\) – \(\boxed{21}\) = 70 + 66
\(\boxed{34}\) = 136
\(\boxed{1}\) = 4
はじめに売られていた冊数は、
ノート A：\(\boxed{3}\) = 3 × 4 = 12 [冊]
ノート B：\(\boxed{5}\) = 5 × 4 = 20 [冊]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
はじめに売られていたノート A の冊数を \(\boxed{3}\) とすると、B は \(\boxed{5}\) と表すことができる。よって、
\(\boxed{3}\) + 10：\(\boxed{5}\) – 6 = 11：7
11 × ( \(\boxed{5}\) – 6 ) = 7 × ( \(\boxed{3}\) + 10 )
\(\boxed{1}\) = 4
はじめに売られていた冊数は、
ノート A：\(\boxed{3}\) = 3 × 4 = 12 [冊]
ノート B：\(\boxed{5}\) = 5 × 4 = 20 [冊]
（２）A さんと B さんの所持金の比は 8：5 でしたが、A さんが 320 円を使ったので、その比が 4：3 になりました。A さんのはじめの所持金はいくらですか。
- 答え（２）
- 1920 円
- 解き方（２）
- 【解き方①】線分図で考える
A さんと B さんの所持金の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、
㉔ – ⑳ = 960
① = 240
A さんのはじめの所持金は、⑧ = 8 × 240 = 1920 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
A さんのはじめの所持金を ⑧ とすると、B さんは ⑤ と表すことができる。よって、
⑧ – 320：⑤ = 4：3
4 × ⑤ = 3 × ( ⑧ – 320 )
① = 240
A さんのはじめの所持金は、⑧ = 8 × 240 = 1920 [円]
（３）先月の兄と弟の貯金額の比は 1：2 でしたが、今月は兄は 600 円貯金して、弟は貯金から 200 円使ったところ、貯金額の比が 5：3 になりました。先月までの兄の貯金額はいくらですか。
- 答え（３）
- 400 円
- 解き方（３）
- 【解き方①】線分図で考える
兄と弟の貯金額の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、
⑩ – ③ = 1800 + 1000
① = 400
先月までの兄の貯金額は、① = 1 × 400 = 400 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
先月までの兄の貯金額を ① とすると、弟は ② と表すことができる。よって、
① + 600：② – 200 = 5：3
5 × ( ② – 200 ) = 3 × ( ① + 600 )
① = 400
先月までの兄の貯金額は、① = 1 × 400 = 400 [円]
（４）A さんと B さんの所持金の比は 4：5 です。B さんが 900 円を使ったので、その比が 5：4 になりました。A さんの所持金はいくらですか。
- 答え（４）
- 2000 円
- 解き方（４）
- 【解き方①】線分図で考える
A さんと B さんの所持金の比の変化を線分図で表し、変化後の比の大きさをそろえると、
㉕ – ⑯ = 4500
① = 500
A さんの所持金は、④ = 4 × 500 = 2000 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
A さんの所持金を ④ とすると、B さんのはじめの所持金は ⑤ と表すことができる。よって、
④：⑤ – 900 = 5：4
5 × ( ⑤ – 900 ) = 4 × ④
① = 500
Aさんの所持金は、④ = 4 × 500 = 2000 [円]
問３
（１）兄の所持金は弟の 4 倍でした。兄が弟に 500 円渡したら、兄の所持金が弟の 3 倍になりました。このとき、兄の所持金は何円ですか。
- 答え（１）
- 7500 円
- 解き方（１）
- 【解き方①】連比で考える
兄と弟のやり取りの前後で、2 人の所持金の合計ha変わらない。
はじめ：兄の所持金は弟の 4倍 → 兄と弟の所持金の比は 4：1
やり取りの後：兄の所持金は弟の 3 倍 → 兄と弟の所持金の比は 3：1
兄が弟に 500 円渡したので、
\(\boxed{16}\) – \(\boxed{15}\) = \(\boxed{1}\) = 500 [円]
渡した後の兄の所持金は、
\(\boxed{15}\) = 500 × 15 = 7500 [円]
【解き方②】内項の積 = 外項の積で求める
はじめ：兄の所持金は弟の 4倍 → 兄と弟の所持金の比は 4：1
やり取りの後：兄の所持金は弟の 3 倍 → 兄と弟の所持金の比は 3：1
兄のはじめの所持金を ④ とすると、
④ – 500：① + 500 = 3：1
④ – 500 = 3 × ( ① + 500 )
① = 2000
やり取り後の兄の所持金は、
④ – 500
= 4 × 2000 – 500 = 7500 [円]
（２）A さんと B さんは、はじめ同じ金額のお金を持っていました。その後、A さんは 600 円もらい、Bさんは 300 円を使ったので、A さんの所持金は B さんの 2.5 倍になりました。はじめに 2 人が持っていたお金はそれぞれ何円でしたか。
- 答え（２）
- 900 円
- 解き方（２）
- A さんと B さんの所持金の変化を線分図で表し、変化後の所持金の比をそろえる。
\(\boxed{2.5}\) – \(\boxed{1}\) = 600 + 750
\(\boxed{1.5}\) = 1350
\(\boxed{1}\) = 900
よって、はじめの A さんと B さんの所持金はそれぞれ、900 [円]
別の計算方法【内項の積 = 外項の積】で求める方法
はじめ：A さんと B さんの所持金は同じ金額 → A さんと B さんの所持金の比は 1：1
変化後：A さんの所持金は B さんの2.5倍 → A さんと B さんのの所持金の比は 2.5：1 = 5：2
A さんのはじめの所持金を \(\boxed{1}\) とすると、
\(\boxed{1}\) + 600： \(\boxed{1}\) – 300 = 5：2
2 × ( \(\boxed{1}\) + 600 ) = 5 × ( \(\boxed{1}\) – 300 )
\(\boxed{1}\) = 900 [円]
（３）A 君と B 君の 2 人の所持金の合計は 5000 円です。A 君は 200 円使い、B 君は自分の所持金の \(\dfrac{4}{9}\) を使ったところ、2 人の残りの所持金の比が 3：1 となりました。A 君のはじめの所持金はいくらでしたか。
- 答え（３）
- 3200円
- 解き方（３）
- B君のはじめの所持金を ⑨ とすると、使った金額は ⑨ × \(\dfrac{4}{9}\) = ④となる。A 君と B 君の所持金の変化を線分図で表した。
B 君の残りの所持金を \(\boxed{1}\) とすると、\(\boxed{1}\) = ⑨ – ④ = ⑤ となり、A 君の残りの所持金は \(\boxed{3}\) = 3 × ⑤ = ⑮ となる。よって、
⑮ + ⑨ = 5000 – 200
㉔ = 4800
① = 200
よって A 君のはじめの所持金は、5000 – ⑨ = 5000 – 9 × 200 = 3200 [円]
別の計算方法【内項の積 = 外項の積】で求める方法
B 君のはじめの所持金を ⑨ とすると、使った金額は ④ となり、A 君のはじめの所持金は 5000 – ⑨ となる。よって、
5000 – ⑨ – 200：⑨ – ④ = 3：1
4800 – ⑨：⑤ = 3：1
4800 – ⑨ = 3 × ⑤
㉔ = 4800
① = 200
よって A 君のはじめの所持金は、5000 – ⑨ = 5000 – 9 × 200 = 3200 [円]
