算数【基本】円を含む図形

問１

正方形と半円とおうぎ形を組み合わせてできた図形の 　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
57 cm2
解き方

　 部分は、半径 20 cm のおうぎ形から、半径 10 cm のおうぎ形 2 つと 1 辺 10 cm の正方形を除いた図形である。よって、その面積は、
20 × 20 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) – ( 10 × 10 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) × 2 + 10 × 10 )
= 400 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) – { 100 × ( 6.28 × \(\dfrac{1}{4}\) + 1 ) }
= 314 – 257 = 57 [cm2]

問２

長方形 ABCD の辺 AD 上に点 O をとり、点 O を中心にしてコンパスで曲線をかきました。このとき、角アの大きさは何度ですか。

答え
56 °
解き方

角ア = 180 – 124 = 56 [°]

問３

1 辺が 1 cmの正方形 ABCD の周上に糸がたるむことなくまいてあります。図は、糸がたるまないように A → B → C → D の方向に 1 周分ほどいたときの糸の先端が動いた様子を太線で表しています。以下の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

（１）図の太線の長さは何 cm ですか。

答え（１）
15.7 cm
解き方（１）

図より、
( 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 ) × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= ( 2 + 4 + 6 + 8 ) × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= 20 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) = 15.7 [cm]

（２）㋐ の面積は ㋑ の面積の何倍ですか。

答え（２）
16 倍
解き方（２）

おうぎ形の面積は 半径 × 半径 × 円周率 × \(\dfrac{中心角}{360}\) で求めることができる。
㋐ と ㋑ は中心角が等しいので、半径の倍数 × 半径の倍数が面積の倍数となる。㋑ の半径は ㋐ の半径の 4 倍である。
よって面積は、4 × 4 = 16 [倍] となる。

（３）2 周分の糸をほどいたとき、2 周目で糸が通った部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（３）
136.59 cm2
解き方（３）

( 5 × 5 + 6 × 6 + 7 × 7 + 8 × 8 ) × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= ( 25 + 36 + 49 + 64 ) × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= 174 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\)
= \(\dfrac{87}{2}\) × 3.14
= 87 × 1.57 = 136.59 [cm2]

問４

図は、円と正方形を組み合わせたものです。円の直径が 10 cm のとき、　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
28.5 cm2
解き方
【解き方 ①】正方形はひし形の一種と考えて面積を求める

ひし形の面積は 対角線 × 対角線 ÷ 2 で求められるので、正方形の面積は、
10 × 10 ÷ 2 = 50 [cm2]
よって求める面積は、
5 × 5 × 3.14 – 50 = 28.5 [cm2]

【解き方 ②】正方形を三角形の組み合わせとして面積を求める

正方形の面積は、
10 × 5 × \(\dfrac{1}{2}\) × 2 = 50 [cm2]
5 × 5 × 3.14 – 50 = 28.5 [cm2]

問５

図は、円を 4 等分してできるおうぎ形で、点 C、D はその円周をさらに 3 等分する点です。以下の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

（１）角アの大きさは何度ですか。

答え（１）
135 °
解き方（１）

円周角は弧の長さに比例するので、角 AOD = 60 °、角 BOD = 30 ° である。
△ OAD は正三角形なので、角 ADO = 60 °
△ OBD は OB = OD の二等辺三角形なので、
角 BDO = ( 180 – 30 ) ÷ 2 = 75 [°]
角ア
= 角 ADO + 角 BDO
= 60 + 75 = 135 [°]

（２）AC の長さが ６ cmのとき、三角形 ACD の面積は何 cm2 ですか。

答え（２）
9 cm2
解き方（２）

AD と OC の交点を E とし、点 A から CD に平行な直線を伸ばしたときの OC との交点を F とする。△ DCE と△ AFE は合同な三角形となるため面積は等しくなる。したがって、求める△ ACD の面積は△ ACF の面積に等しい。

△ ACF は頂角 A が30 ° の二等辺三角形である。点 F から AC に垂直な直線をおろしたときの交点を G とすると、△ AFG は底角が 30 ° と 60 ° の直角三角形となる。よって、
FG = AF ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 [cm]
△ ACD
= △ ACF
= 6 × 3 ÷ 2 = 9 [cm2]

問６

図の 　　 部分の面積を求めなさい。ただし、点 O は円の中心とし、円周率は 3.14 とします。

答え
64 cm2
解き方

求める面積は太線で囲まれた正方形の面積に等しいので、
8 × 8 = 64 [cm2]

問７

図の 　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
20.52 cm2
解き方

　 部分と 　 部分の面積は等しいので、
( 6 × 6 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) – 6 × 6 × \(\dfrac{1}{2}\) ) × 2
= ( 28.26 – 18 ) × 2
= 10.26 × 2 = 20.52 [cm2]

問８

図は1辺が 20 cm の正五角形です。各辺の真ん中の点を A、B、C、D、E とするとき、　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
471 cm2
解き方
五角形の内角の和は ( 5 – 2 ) × 180 = 540 [°] より、各おうぎ形の中心角の和は 540 °、また各おうぎ形の半径は 10 cm である。
よって、求める面積は、
10 × 10 × 3.14 × \(\dfrac{540}{360}\)
= 314 × \(\dfrac{3}{2}\) = 471 [cm2]

問９

図は、1 辺の長さが 12 cmの正方形と半径 6 cm の半円を組み合わせたものです。　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
46.26 cm2
解き方

△と△は互いに相似な三角形で、相似比は 2：1、面積比は 4：1 である。
△ = 12 × 4 ÷ 2 = 24 [cm2]
△ = \(\dfrac{1}{4}\) × △
= \(\dfrac{1}{4}\) × 24 = 6 [cm2]
求める面積は、
6 × 6 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) – 6 + 24
= 28.26 – 6 + 24 = 46.26 [cm2]

問１０

図は、1 辺の長さが 6 cmの正方形と 4 分の 1 の円です。このとき、　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
20.52 cm2
解き方

正方形の面積は 6 × 6 = 36 [cm2]
正方形の対角線（ 4 分の 1 の円の半径 ）を □ cm とすると、
正方形の面積
= □ × □ ÷ 2 = 36
□ × □ = 72
求める面積は、
□ × □ × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) – 36
= 72 × 3.14 × \(\dfrac{1}{4}\) – 36
= 18 × 3.14 – 36 = 20.52 [cm2]

問１１

図は、長方形と半円を組み合わせ、長方形の対角線を 1 本引いた図です。このとき、　　 部分と 　　 部分の面積の差を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
57 cm2
解き方

　 部分と 　 の面積は、それぞれ△ ABC と半円から 　 部分の面積を引いた部分である。
よって、求める面積の差は△ ABC と半円の面積の差に等しい。
△ ABC = 10 × 20 ÷ 2 = 100(cm2)
半円 = 10 × 10 × 3.14 ÷ 2 = 157 [cm2]
面積の差は、157 – 100 = 57 [cm2]

問１２

図のように、円を 4 等分したおうぎ形を並べて正方形をつくりました。正方形の対角線の長さが 4 cm のとき、　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
1.72 cm2
解き方

図 1 と図 2 の 　 部分の面積は等しい。
また、□ EFGH の面積は□ ABCD の \(\dfrac{1}{2}\) である。
□ ABCD = 4 × 4 ÷ 2 = 8 [cm2]
□ EFGH = 8 ÷ 2 = 4 [cm2]
図2の円の半径を ○ cm とすると、
□ EFGH
= 2 × ○ × 2 × ○ ÷ 2 = 4
2 × ○ × ○ = 4
○ × ○ = 2
求める面積は、
8 – ○ × ○ × 3.14
= 8 – 2 × 3.14 = 1.72 [cm2]

問１３

図は 1 辺の長さが 6 cmの正方形の中に、AB を半径とする円の一部をかき、点 B と点 P を直線で結んだものです。以下の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

（１）　　 部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（１）
9.42 cm2
解き方（１）

△ APB は正三角形であり、 　 の面積は互いに等しい。
よって求める面積は、青線で囲まれたおうぎ形の面積となる。
6 × 6 × 3.14 × \(\dfrac{30}{360}\)
= 36 × 3.14 × \(\dfrac{1}{12}\)= 3 × 3.14 = 9.42 [cm2]

（２）　　 部分のまわりの長さは何 cm ですか。

答え（２）
27.7 cm
解き方（２）

6 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{90}{360}\) + 6 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{60}{360}\) + 6 × 2
= 3 × 3.14 + 2 × 3.14 + 12 = 27.7 [cm]

問１４

図のように、直角三角形の中に円が入っています。　　 部分の面積が 91.74 cm2 のとき、円の半径は何 cm ですか。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
3 cm
解き方
円の面積は、
10 × 24 ÷ 2 – 91.74
= 120 – 91.74 = 28.26 [cm2]
円の半径を □ cm とすると、
□ × □ × 3.14 = 28.26
□ × □ = 28.26 ÷ 3.14 = 9
□ = 3 [cm]

問１５

図は、1 辺が 20 cm の正方形の内側に 4 つの円がくっついています。　　 部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

答え
21.5 cm2
解き方

　 部分の面積は、　 部分の面積に等しい。
よって求める面積は、
10 × 10 – 5 × 5 × 3.14 × \(\dfrac{90\ ×\ 4}{360}\)
= 100 – 78.5 = 21.5 [cm2]