算数【基本】合同・相似

三角形の合同条件

2つの図形を、回転したり、移動したり、裏返したりすることで、ぴったりと重ねることができるとき、この2つの図形は「合同」という

【三角形の合同条件】
①～③の条件のうち、どれか1つを満たしているとき、三角形㋐と㋑は合同といえる。
① 3つの辺の長さがそれぞれ等しい。

② 2つの辺の長さと、その間の角の大きさが等しい。

③ 1つの辺の長さと、その両端の角の大きさがそれぞれ等しい。

相似

形は同じで、大きさが異なる図形どうしを、互いに「相似」という。相似な図形では、対応する角および対応する辺の比（相似比）はそれぞれ等しい。

【三角形の相似条件】
①～③の条件のうち、どれか1つを満たしているとき、三角形㋐と㋑は相似といえる。
① 2組の角の大きさがそれぞれ等しい。

② 3組の辺の比がそれぞれ等しい。

③ 2組の辺の比が等しく、その間の角の大きさが等しい。


【平行線と相似】


【面積比と相似】

三角形㋐と㋑が相似で、相似比が a：b のとき、面積比は「三角形㋐：三角形㋑ = a × a：b × b」となる。

問１

直角二等辺三角形ABCと正方形DEFGが重なっています。点Oは、正方形DEFGの対角線の交点で、辺BC上にあります。正方形DEFGの面積が80cm²、辺ABの長さが12cmのとき、　　部分の面積を求めなさい。

答え

16cm²

解き方

色のついた三角形 (　　と　　) は、それぞれ合同な三角形なので、面積は等しい。
(1つの辺の長さと、その両端の角の大きさがそれぞれ等しい)
よって、求める面積は、
( 12 × 12 – 80 ) ÷ 4 = 16(cm²)

問２

（１）△ABCの面積は54cm²です。　　部分の面積を求めなさい。ただし、同じ記号は等しい長さを表します。

答え（１）

18cm²

解き方（１）

△DBEと△ABCは、底辺の比が 2：3、高さの比が 1：2 より、
△DBE
= △ABC × \(\dfrac{2}{3}\) × \(\dfrac{1}{2}\)
= 54 × \(\dfrac{1}{3}\) = 18(cm²)

（２）三角形ABCの面積は210cm²です。また、辺ABを3等分、辺BCを2等分し、図のように点D、Eをとりました。このとき、三角形DBEの面積を求めなさい。

答え（２）

70cm²

解き方（２）

△DBEと△ABCは、底辺の比が 1：2、高さの比が 2：3 より、
△DBE
= △ABC × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 210 × \(\dfrac{1}{3}\) = 70(cm²)

【補助線DCを引いて考えてみると】
△DBC = 210 × \(\dfrac{2}{3}\) = 140
△DBE = 140 × \(\dfrac{1}{2}\) = 70(cm²)

（３）面積が96cm²の平行四辺形ABCDに、図のように点E、Fをとりました。　　部分の面積を求めなさい。

答え（３）

39cm²

解き方（３）

補助線ACを引く

△ABEと△AECは高さが等しく、底辺の比が 1：3 より、
△ABE
= △ABC × \(\dfrac{1}{4}\)
= □ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{4}\)
= 96 × \(\dfrac{1}{8}\) = 12(cm²)
△ADFと△AFCは高さが等しく、底辺の比が 3：1 より、
△ADF
= △ADC × \(\dfrac{3}{4}\)
= □ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{3}{4}\)
= 96 × \(\dfrac{3}{8}\) = 36(cm²)
△CEFと△ABEは、高さの比が 1：4 (CF：CD)、底辺の比が 3：1 (EC：BE) より、
△CEF
= △ABE × \(\dfrac{1}{4}\) × 3
= 12 × \(\dfrac{3}{4}\) = 9(cm²)
求める面積は、
□ABCD – ( △ABE + △ADF + △CEF)
= 96 – ( 12 + 36 + 9 ) = 39(cm²)

問３

（１）辺AFの長さを求めなさい。

答え（１）

5.4cm ( \(5\dfrac{2}{5}\) cm)

解き方（１）

△ADFと△BEFは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AD：BE = 3：2 である。
よって、
AF = 9 × \(\dfrac{3}{5}\) = 5.4(cm)

（２）辺BEと辺ECの長さの比は 4：3 で、三角形DBCの面積は42cm²です。

① 三角形DCEの面積を求めなさい。

答え（２）- ①

18cm²

解き方（２）- ①

△DCEと△DBCは、高さが等しく、底辺の比が 3：7 なので、
△DCE
= △DBC × \(\dfrac{3}{7}\)
= 42 × \(\dfrac{3}{7}\) = 18(cm²)

② 三角形ABCの面積を求めなさい。

答え（２）- ②

98cm²

解き方（２）- ②

△DCEと△ABCは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は CE：CB = 3：7 より、面積比は 9：49 となる。
△ABC
= △DCE × \(\dfrac{49}{9}\)
= 18 × \(\dfrac{49}{9}\) = 98(cm²)

（３）長方形ABCDの辺AD上に点E、辺BE上に点Fがあります。辺ABの長さを求めなさい。

答え（３）

12cm

解き方（３）

△ABEと△FCBは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は BE：BC = 3：2 である。
AB
= CF × \(\dfrac{3}{2}\)
= 8 × \(\dfrac{3}{2}\) = 12(cm)

（４）　　部分の面積を求めなさい。

答え（４）

4.5cm²

解き方（４）

△ABCは直角二等辺三角形であり、直角を頂点として、底辺に垂直に直線を引くと、交わる点は底辺を2等分する。
△ABCと△ADFは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AB：AD = 4：1 なので、面積比は 16：1 となる。
△ABCと△BCEも相似で、△BCEは BE = CE の直角二等辺三角形となる。
△ADF
= △ABC × \(\dfrac{1}{16}\)
= 24 × 12 ÷ 2 × \(\dfrac{1}{16}\)
= 144 × \(\dfrac{1}{16}\) = 9(cm²)

（５）図のような長方形ABCDがあります。三角形ADFの面積を求めなさい。

答え（５）

15.36cm²

解き方（５）

△ABCと△ADFは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AC：AD = 5：4 なので、面積比は 25：16 となる。
△ADF
= △ABC × \(\dfrac{16}{25}\)
= 8 × 6 ÷ 2 × \(\dfrac{16}{25}\)
= 24 × \(\dfrac{16}{25}\) = 15.36(cm²)

（６）三角形ABCを拡大すると三角形DEFになりました。このとき、辺DFの長さを求めなさい。ただし、角A = 角D、角B = 角Eとします。

答え（６）

13.5cm

解き方（６）

△ABCと△DEFは相似で、相似比は AB：DE = 2：3 である。
よって、
DF = AC × \(\dfrac{3}{2}\) = 9 × \(\dfrac{3}{2}\) = 13.5(cm)

（７）図の直角三角形において、ADの長さを求めなさい。

答え（７）

9.6cm

解き方（７）

△ABCと△ADCは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は BC：AC = 5：3 である。
よって、
AD = AB × \(\dfrac{3}{5}\) = 16 × \(\dfrac{3}{5}\) = 9.6(cm)

問４

（１）長方形ABCDで、BE：EC = 3：2 です。三角形FECの面積が4cm²のとき、長方形ABCDの面積を求めなさい。

答え（１）

70cm²

解き方（１）

△FECと△FADは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は CE：AD = 2：5 より、面積比は 4：25 となる。
よって、
△FAD
= △FEC × \(\dfrac{25}{4}\)
= 4 × \(\dfrac{25}{4}\) = 25(cm²)
また、AF：FC = 5：2 より、
△FCD
= △FAD × \(\dfrac{2}{5}\)
= 25 × \(\dfrac{2}{5}\) = 10(cm²)
よって、
□ABCD
= 2 × △ACD
= 2 × ( 25 + 10 ) = 70(cm²)

（２）平行四辺形ABCDと三角形BCEの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。ただし、CF：FD = 2：1 とします。

答え（２）

5：1

解き方（２）

△ABEと△CFEは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AB：CF = 3：2 となる。
よって、AE：EC = 3：2 となる。
△BCEの面積を②とすると、△ABC = ② × \(\dfrac{5}{2}\) = ⑤ と表すことができる。
□ABCD
= △ABC × 2 = ⑤ × 2 = ⑩ より、
□ABCD：△BCE = ⑩：② = 5：1

（３）合同な平行四辺形ABCDとEFBGを重ね合わせました。対角線ACと対角線FGの交点を点P、対角線ACと辺BGの交点を点Qとし、AE = 6cm、FB = 12cm、AC = 35cm です。

① APの長さを求めなさい。

答え（３）- ①

15cm

解き方（３）- ①

△APGと△CPFは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AG：CF = 3：4 となる。
よって、AP：PC = 3：4 より、
AP = 35 × \(\dfrac{3}{7}\) = 15(cm)

② 三角形AQGの面積は三角形PQGの面積の何倍ですか。

答え（３）- ②

3.5倍

解き方（３）- ②

△AQGと△BQCは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AG：BC = 3：2 となる。
よって、AQ：QC = 3：2 より、
AQ = 35 × \(\dfrac{3}{5}\) = 21(cm)
PQ = 21 – 15 = 6(cm)

△AQGと△PQGは高さが等しく、底辺の比が AQ：PQ = 21：6 より、面積比は 21：6 となるので、
21 ÷ 6 = 3.5(倍)

（４）面積が36cm²の平行四辺形ABCDがあります。点Eは辺BCの真ん中の点です。このとき、　　部分の面積を求めなさい。

答え（４）

6cm²

解き方（４）

BDとACの交点をP、BDとAEの交点をQとする。
△APDと△BPCは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AD：BC = 1：1 より、BP：PD = 1：1。
△AQDと△BQEは相似（2組の角の大きさがそれぞれ等しい）で、相似比は AD：BE = 2：1 より、BQ：QD = 1：2。
比の大きさをそろえると、BQ：QP：PD = 2：1：3 となる。
△BPC
= △ABC × \(\dfrac{1}{2}\)
= □ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{2}\)
= 36 × \(\dfrac{1}{4}\) = 9(cm²)
△BPCと△BQEは、底辺の比が 2：1、高さの比が 3：2 より、
△BQE
= △BPC × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 9 × \(\dfrac{1}{3}\) = 3(cm²)
求める面積は、
△BPC – △BQE = 9 – 3 = 6(cm²)