算数【基本】合同・相似

三角形の合同条件
2 つの図形を、回転したり、移動したり、裏返したりすることで、ぴったりと重ねることができるとき、この 2 つの図形は「合同」という

【三角形の合同条件】
① ～ ③ の条件のうち、どれか 1 つを満たしているとき、三角形 ㋐ と ㋑ は合同といえる。
① 3 つの辺の長さがそれぞれ等しい。

② 2 つの辺の長さと、その間の角の大きさが等しい。

③ 1 つの辺の長さと、その両端の角の大きさがそれぞれ等しい。
相似
形は同じで、大きさが異なる図形どうしを、互いに「相似」という。相似な図形では、対応する角および対応する辺の比（相似比）はそれぞれ等しい。

【三角形の相似条件】
① ～ ③ の条件のうち、どれか 1 つを満たしているとき、三角形 ㋐ と ㋑ は相似といえる。
① 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい。

② 3 組の辺の比がそれぞれ等しい。

③ 2 組の辺の比が等しく、その間の角の大きさが等しい。


【平行線と相似】




【面積比と相似】

三角形 ㋐ と ㋑ が相似で、相似比が a：b のとき、面積比は「三角形 ㋐：三角形 ㋑ = a × a：b × b」となる。

問１

直角二等辺三角形 ABC と正方形 DEFG が重なっています。点 O は、正方形 DEFG の対角線の交点で、辺 BC 上にあります。正方形 DEFG の面積が 80 cm2、辺 AB の長さが 12 cm のとき、　　 部分の面積を求めなさい。

答え
16 cm2
解き方

色のついた三角形 ( 　　 と 　　 ) は、それぞれ合同な三角形なので、面積は等しい。
( 1 つの辺の長さと、その両端の角の大きさがそれぞれ等しい )
よって、求める面積は、
( 12 × 12 – 80 ) ÷ 4 = 16 [cm2]

問２

（１）△ ABC の面積は 54 cm2 です。　　 部分の面積を求めなさい。ただし、同じ記号は等しい長さを表します。

答え（１）
18 cm2
解き方（１）

△ DBE と △ ABC は、底辺の比が 2：3、高さの比が 1：2 より、
△ DBE
= △ ABC × \(\dfrac{2}{3}\) × \(\dfrac{1}{2}\)
= 54 × \(\dfrac{1}{3}\) = 18 [cm2]

（２）三角形 ABC の面積は 210 cm2 です。また、辺 AB を 3 等分、辺 BC を 2 等分し、図のように点 D、E をとりました。このとき、三角形 DBE の面積を求めなさい。

答え（２）
70 cm2
解き方（２）

△ DBE と △ ABC は、底辺の比が 1：2、高さの比が 2：3 より、
△ DBE
= △ ABC × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 210 × \(\dfrac{1}{3}\) = 70 [cm2]

【補助線 DC を引いて考えてみると】
△ DBC = 210 × \(\dfrac{2}{3}\) = 140
△ DBE = 140 × \(\dfrac{1}{2}\) = 70 [cm2]

（３）面積が 96 cm2 の平行四辺形 ABCD に、図のように点 E、F をとりました。　　 部分の面積を求めなさい。

答え（３）
39 cm2
解き方（３）
補助線 AC を引く

△ ABE と △ AEC は高さが等しく、底辺の比が 1：3 より、
△ ABE
= △ ABC × \(\dfrac{1}{4}\)
= □ ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{4}\)
= 96 × \(\dfrac{1}{8}\) = 12 [cm2]
△ ADF と △ AFC は高さが等しく、底辺の比が 3：1 より、
△ ADF
= △ ADC × \(\dfrac{3}{4}\)
= □ ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{3}{4}\)
= 96 × \(\dfrac{3}{8}\) = 36 [cm2]
△ CEF と△ ABE は、高さの比が 1：4 ( CF：CD )、底辺の比が 3：1 ( EC：BE ) より、
△ CEF
= △ ABE × \(\dfrac{1}{4}\) × 3
= 12 × \(\dfrac{3}{4}\) = 9 [cm2]
求める面積は、
□ ABCD – ( △ ABE + △ ADF + △ CEF)
= 96 – ( 12 + 36 + 9 ) = 39 [cm2]

問３

（１）辺 AF の長さを求めなさい。

答え（１）
5.4 cm ( \(5\dfrac{2}{5}\) cm)
解き方（１）

△ ADF と △ BEF は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AD：BE = 3：2 である。
よって、
AF = 9 × \(\dfrac{3}{5}\) = 5.4 [cm]

（２）辺 BE と辺 EC の長さの比は 4：3 で、三角形 DBC の面積は 42 cm2 です。

① 三角形 DCE の面積を求めなさい。

答え（２）- ①
18 cm2
解き方（２）- ①

△ DCE と △ DBC は、高さが等しく、底辺の比が 3：7 なので、
△ DCE
= △ DBC × \(\dfrac{3}{7}\)
= 42 × \(\dfrac{3}{7}\) = 18 [cm2]

② 三角形 ABC の面積を求めなさい。

答え（２）- ②
98 cm2
解き方（２）- ②

△ DCE と △ ABC は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は CE：CB = 3：7 より、面積比は 9：49 となる。
△ ABC
= △ DCE × \(\dfrac{49}{9}\)
= 18 × \(\dfrac{49}{9}\) = 98 [cm2]

（３）長方形 ABCD の辺 AD 上に点E、辺 BE 上に点 F があります。辺 AB の長さを求めなさい。

答え（３）
12 cm
解き方（３）

△ ABE と △ FCB は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は BE：BC = 3：2 である。
AB
= CF × \(\dfrac{3}{2}\)
= 8 × \(\dfrac{3}{2}\) = 12 [cm]

（４）　　 部分の面積を求めなさい。

答え（４）
4.5 cm2
解き方（４）

△ ABC は直角二等辺三角形であり、直角を頂点として、底辺に垂直に直線を引くと、交わる点は底辺を 2 等分する。
△ ABC と △ AD Fは相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AB：AD = 4：1 なので、面積比は 16：1 となる。
△ ABC と △ BCE も相似で、△ BCEは BE = CE の直角二等辺三角形となる。
△ ADF
= △ ABC × \(\dfrac{1}{16}\)
= 24 × 12 ÷ 2 × \(\dfrac{1}{16}\)
= 144 × \(\dfrac{1}{16}\) = 9 [cm2]

（５）図のような長方形 ABCD があります。三角形 ADF の面積を求めなさい。

答え（５）
15.36 cm2
解き方（５）

△ ABC と △ ADF は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AC：AD = 5：4 なので、面積比は 25：16 となる。
△ ADF
= △ ABC × \(\dfrac{16}{25}\)
= 8 × 6 ÷ 2 × \(\dfrac{16}{25}\)
= 24 × \(\dfrac{16}{25}\) = 15.36 [cm2]

（６）三角形 ABC を拡大すると三角形 DEF になりました。このとき、辺 DF の長さを求めなさい。ただし、角 A = 角 D、角 B = 角 E とします。

答え（６）
13.5 cm
解き方（６）
△ ABC と △ DEF は相似で、相似比は AB：DE = 2：3 である。
よって、
DF = AC × \(\dfrac{3}{2}\) = 9 × \(\dfrac{3}{2}\) = 13.5 [cm]

（７）図の直角三角形において、AD の長さを求めなさい。

答え（７）
9.6 cm
解き方（７）

△ ABC と △ ADC は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は BC：AC = 5：3 である。
よって、
AD = AB × \(\dfrac{3}{5}\) = 16 × \(\dfrac{3}{5}\) = 9.6 [cm]

問４

（１）長方形 ABCD で、BE：EC = 3：2 です。三角形 FEC の面積が 4 cm2 のとき、長方形 ABCD の面積を求めなさい。

答え（１）
70 cm2
解き方（１）

△ FEC と △ FAD は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は CE：AD = 2：5 より、面積比は 4：25 となる。
よって、
△ FAD
= △ FEC × \(\dfrac{25}{4}\)
= 4 × \(\dfrac{25}{4}\) = 25 [cm2]
また、AF：FC = 5：2 より、
△ FCD
= △ FAD × \(\dfrac{2}{5}\)
= 25 × \(\dfrac{2}{5}\) = 10 [cm2]
よって、
□ ABCD
= 2 × △ ACD
= 2 × ( 25 + 10 ) = 70 [cm2]

（２）平行四辺形 ABCD と三角形 BCE の面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。ただし、CF：FD = 2：1 とします。

答え（２）
5：1
解き方（２）

△ ABE と △ CFE は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AB：CF = 3：2 となる。
よって、AE：EC = 3：2 となる。
△ BCE の面積を ② とすると、△ ABC = ② × \(\dfrac{5}{2}\) = ⑤ と表すことができる。
□ ABCD
= △ ABC × 2 = ⑤ × 2 = ⑩ より、
□ ABCD：△ BCE = ⑩：② = 5：1

（３）合同な平行四辺形 ABCD と EFBG を重ね合わせました。対角線 AC と対角線 FG の交点を点 P、対角線 AC と辺 BG の交点を点 Q とし、AE = 6 cm、FB = 12 cm、AC = 35 cm です。

① AP の長さを求めなさい。

答え（３）- ①
15 cm
解き方（３）- ①

△ APG と △ CPF は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AG：CF = 3：4 となる。
よって、AP：PC = 3：4 より、
AP = 35 × \(\dfrac{3}{7}\) = 15 [cm]

② 三角形 AQG の面積は三角形 PQG の面積の何倍ですか。

答え（３）- ②
3.5 倍
解き方（３）- ②

△ AQG と△ BQC は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AG：BC = 3：2 となる。
よって、AQ：QC = 3：2 より、
AQ = 35 × \(\dfrac{3}{5}\) = 21(cm)
PQ = 21 – 15 = 6 [cm]

△ AQG と △ PQG は高さが等しく、底辺の比が AQ：PQ = 21：6 より、面積比は 21：6 となるので、
21 ÷ 6 = 3.5 [倍]

（４）面積が 36 cm2 の平行四辺形 ABCD があります。点 E は辺 BC の真ん中の点です。このとき、　　 部分の面積を求めなさい。

答え（４）
6 cm2
解き方（４）

BD と AC の交点を P、BD と AE の交点を Q とする。
△ APD と △ BPC は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AD：BC = 1：1 より、BP：PD = 1：1。
△ AQD と △ BQE は相似（ 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい ）で、相似比は AD：BE = 2：1 より、BQ：QD = 1：2。
比の大きさをそろえると、BQ：QP：PD = 2：1：3 となる。
△ BPC
= △A BC × \(\dfrac{1}{2}\)
= □ ABCD × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{2}\)
= 36 × \(\dfrac{1}{4}\) = 9 [cm2]
△ BPC と △ BQE は、底辺の比が 2：1、高さの比が 3：2 より、
△ BQE
= △ BPC × \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 9 × \(\dfrac{1}{3}\) = 3 [cm2]
求める面積は、
△ BPC – △ BQE = 9 – 3 = 6 [cm2]