算数【応用】合同・相似

問１

図 1 のような正方形と直角二等辺三角形があります。

（１）図 1 の正方形を 2 つ用いて、図 2 のように重ねました。　 部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（１）
64 cm2
解き方（１）

図 a の青線で示した 2 つの三角形は合同である。
( 1 つの辺の長さと、その両端の角の大きさがそれぞれ等しい。)
よってその面積は等しいことから、求める面積は図 b の 　 部分の面積、すなわち元の正方形を対角線で 4 等分した直角二等辺三角形 1 つ分と常に同じ面積になる。
したがって、
16 × 16 × \(\dfrac{1}{4}\) = 64 [cm2]

（２）図 1 の正方形と直角二等辺三角形を用いて、図 3 のように重ねました。　 部分の面積は何 cm2 ですか。

答え（２）
58 cm2
解き方（２）

求める面積は、青線で示した三角形から 　 部分を除いた面積と、ピンク色の線で示した三角形から 　 部分を除いた面積の和である。
2 つのピンク色の線で示した三角形は合同 ( 1 辺の長さとその両端の角度が等しい ) であることから、青線で示した三角形とピンク色の線で示した三角形の面積の和は重ねた直角二等辺三角形の面積と等しい。
よって求める面積は、
64 – 3 × 4 × \(\dfrac{1}{2}\) = 58 [cm2]

問２

図の正方形 ABCD において、点 O は各対角線の交点です。また、点 P、Q、R、S はそれぞれ線分 OA、OB、OC、OD の真ん中の点です。　 部分の面積は何 cm2 ですか。

答え
12 cm2
解き方

AQ と BP の交点を O’ とすると、求める面積は △OO’P の面積 ( 　 ) の 8 倍となる。
OQ = QB より、
△OAQ = \(\dfrac{1}{2}\) × △OAB
△O’AB と △O’QP は相似で、相似比は 2：1 より、O’A：O’Q = 2：1 となり、
△OAO’ = \(\dfrac{2}{3}\) × △OAQ
= \(\dfrac{2}{3}\) × \(\dfrac{1}{2}\) × △OAB = \(\dfrac{1}{3}\) × △OAB
OP = PA より、
△OO’P = \(\dfrac{1}{2}\) × △OAO’
= \(\dfrac{1}{2}\) × \(\dfrac{1}{3}\) × △OAB = \(\dfrac{1}{6}\) × △OAB
△OAB = \(\dfrac{1}{4}\) × □ABCD
= \(\dfrac{1}{4}\) × 6 × 6 = 9 [cm2]
△OO’P = \(\dfrac{1}{6}\) × △OAB = \(\dfrac{1}{6}\) × 9 = \(\dfrac{3}{2}\) [cm2]
よって、求める面積は、
△OO’P × 8 = \(\dfrac{3}{2}\) × 8 = 12 [cm2]

問３

図のような三角形 ABC を 3 本の平行な線 DE、AH、FG で 4 つの部分に分けました。BE の長さは 20 cm、EG の長さは 26 cm、GC の長さは 8 cm です。また、三角形 BDE の面積は 320 cm2、三角形 CFG の面積は 64 cm2 です。

（１）FI の長さは何 cm ですか。

答え（１）
16 cm
解き方（１）
△CFG において、底辺を GC とすると、FI は高さになる。よって、次の式が成り立つ。
8 × FI ÷ 2 = 64
FI = 64 × 2 ÷ 8 = 16 [cm]

（２）DE と FG の長さの比を求めなさい。ただし、できるだけ簡単な整数の比で答えること。

答え（２）
2：1
解き方（２）

点 D から BC に対して垂直な線分を DJ とする。
△DEJ と △FGI は 2 つの角が等しい相似な三角形より、DE：FG = DJ：FI となる。
△BDE において、底辺を BE とすると、DJ は高さになる。よって、次の式が成り立つ。
20 × DJ ÷ 2 = 320
DJ = 320 × 2 ÷ 20 = 32 [cm]
よって、
DE：FG
= DJ：FI = 32：16 = 2：1

（３）BH と HC の長さの比を求めなさい。ただし、できるだけ簡単な整数の比で答えること。

答え（３）
5：4
解き方（３）

DE：AH：FG = 2：□：1 とする。
△BDE と △BAH は相似で、相似比は DE：AH = 2：□ である。
よってその面積比は △BDE：△BAH = 4：□ × □ より、
△BAH = \(\dfrac{320}{4}\) × □ × □ = 80 × □ × □ [cm2]
△CFG と △CAH は相似で、相似比は FG：AH = 1：□ である。
よってその面積比は △CFG：△CAH = 1：□ × □ より、
△CAH = 64 × □ × □ [cm2]
また、△BAH と △CAH はそれぞれ底辺を BH、CH とする高さの等しい三角形のため、底辺の長さの比は面積の比と同じになる。
したがって、
BH：HC
= △BAH：△CAH
= 80 × □ × □：64 × □ × □ = 5：4

（４）三角形 ABC の面積は何 cm2 ですか。

答え（４）
1296 cm2
解き方（４）

点 A から BC に対して垂直な線分を AK とする。
BH：HC = 5：4 より、
HC = ( 20 + 26 + 8 ) × \(\dfrac{4}{9}\)
= 54 × \(\dfrac{4}{9}\) = 24 [cm]
△CFG と △CAH は相似で、相似比は FG：AH = CG：CH = 8：24 = 1：3 である。
また、△CFI と △CAK は相似で、相似比は FG：AH = FI：AK = 1：3 より、
AK = 16 × 3 = 48 [cm]
△ABC = 54 × 48 ÷ 2 = 1296 [cm2]

問４

図のような直角三角形 ABC があります。AB とDE、AC と FG はそれぞれ垂直で、CD とDE の長さは同じです。

（１）CD の長さは何 cm ですか。

答え（１）
8.4 cm
解き方（１）

△ABC と △DBE は 2 つの角の大きさが等しいので互いに相似の関係にある。相似比は BC：BE = 20：8 = 5：2 となる。よって、
CD = DE
= AC × \(\dfrac{2}{5}\) = 21 × \(\dfrac{2}{5}\) = 8.4 [cm]

（２）AB の長さは何 cm ですか。

答え（２）
29 cm
解き方（２）
△ABC と △DBE は相似で、相似比は 5：2 となる。
DB = 20 – 8.4 = 11.6 [cm] より、
AB
= DB × \(\dfrac{5}{2}\)
= 11.6 × \(\dfrac{5}{2}\) = 29 [cm]

（３）五角形 FCDEG の面積は何 cm2 ですか。

答え（３）
168 cm2
解き方（３）

△ABC と △DBE と △AGF は相似で、相似比は BC：BE：GF = 5：2：1 となり、面積比は △ABC：△DBE：△AGF = 25：4：1 となる。
五角形 FCDEG の面積は、△ABC の面積から △DBE と △AGF の面積を除いた面積より、五角形 FCDEG：△ABC = 20：25 = 4：5 となる。
△ABC = 20 × 21 × \(\dfrac{1}{2}\) = 210 [cm2]
五角形 FCDEG の面積は、
210 × \(\dfrac{4}{5}\) = 168 [cm2]

問５

図の四角形 ABCD は正方形です。このとき、角アの大きさを求めなさい。

答え
68 度
解き方

△CBF と △ABF は 2 つの辺の長さとその間の角の大きさが等しい合同な三角形である。よって、角アと角 AFB の大きさは等しい。
角 BAF = 90 – 23 = 67 [°]
角 AFB = 180 – ( 45 + 67 ) = 68 [°]