算数【応用】数の範囲と概数

問１

A 市と B 市の人口を百の位で四捨五入すると、A 市は 130000 人、B 市は 178000 人になります。このとき、A 市と B 市の人口差が一番大きい場合は何人ですか。

答え

48999 人

解き方

178499 – 129500 = 48999 [人]

問２

十の位を四捨五入すると 300 になる偶数は何個ありますか。

答え

50 個

解き方

十の位を四捨五入すると 300 になる整数の範囲は、250 以上 349 以下
349 以下の偶数の個数は、348 ÷ 2 = 174 [個]
250 未満の偶数の個数は 248 ÷ 2 = 124 [個]
よって、174 – 124 = 50 [個]

問３

小数第 2 位を四捨五入すると 3.6 になる小数に 0.03 を加えた数字を小数第 2 位を四捨五入したら 3.7 になりました。0.03 を加える前の数として考えられる小数のうち、最も小さい小数は何ですか。

答え

3.62

解き方

小数第 2 位を四捨五入したら 3.7 になる数の範囲は、3.65 以上 3.75 未満
よって、最も小さい小数は 3.65
したがって、0.03 を加える前は 3.65 – 0.03 = 3.62

問４

ある整数を 9 で割り、商の小数第 1 位を四捨五入すると 20 になりました。この整数はいくつ以上、いくつ以下ですか。

答え

176 以上、184 以下

解き方

小数第 1 位を四捨五入すると 20 になる数は、19.5 以上 20.5 未満より、ある整数は 19.5 × 9 ( = 175.5 ) 以上 20.5 × 9 ( = 184.5 ) 未満の整数
よって、176 以上、184 以下

問５

あめ 3 個の値段は 1 の位を切り捨てると 20 円で、1 の位を四捨五入すると 30 円になります。あめ 1 個の値段は何円ですか。

答え

9 円

解き方

1 の位を切り捨てると 20 円 になるのは 20 円以上 29 円以下より、あめ 1 個の値段は 7 円以上 9 円以下
1 の位を四捨五入すると 30 円 になるのは 25 円以上 34 円以下より、あめ 1 個の値段は 9 円以上 11 円以下

あめ 1 個の値段は 9 円

問６

3 つの整数 A、B、C があり、B は A より大きく C より小さい数です。

（１）A、B、C にあてはめる整数によって、成り立つときと成り立たないときがあるものをア～エから 1 つ選びなさい。

ア.　B – A は C – A より小さい

イ.　A + B は B + C より小さい

ウ.　A × B は B × C より小さい

エ.　A ÷ B は B ÷ C より小さい

答え（１）

エ

解き方（１）

B は A より大きく C より小さい整数 ⇒ A ＜ B ＜ C
ア：同じ整数を引いた値の大小は、元の値の大小と等しい
⇒ B ＜ C のとき、B – A ＜ C – A
イ：同じ整数を足した値の大小は、元の値の大小と等しい
⇒ A ＜ C のとき、A + B ＜ C + B
ウ：同じ整数をかけた値の大小は、元の値の大小と等しい
⇒ A ＜ C のとき、A × B ＜ C × B
エ：（２）参照

（２）A = 1、B = 3 とします。（１）で選んだものについて、成り立つときの C と成り立たないときの C に、あてはめられる整数の具体例を 1 つずつ答えなさい。

答え（２）

成り立つとき：4, 5, 6, 7, 8 のいずれかの整数
成り立たないとき：9 以上の整数
を解答すれば正解

解き方（２）

A ÷ B = 1 ÷ 3 = \(\dfrac{1}{3}\) = \(\dfrac{3}{9}\)
B ÷ C = 3 ÷ C = \(\dfrac{3}{C}\)
【成り立つとき】
\(\dfrac{3}{9}\) ＜ \(\dfrac{3}{C}\)
より、C は 9 より小さい整数
【成り立たないとき】
\(\dfrac{3}{9}\) ≧ \(\dfrac{3}{C}\)
より、C は 9 以上の整数

問７

ある整数を、8 で割った商を小数第 1 位で四捨五入すると 4 になり、3 で割った商を同じように小数第 1 位で四捨五入すると 9 になりました。このような整数を求めなさい。

答え

28

解き方

8 で割った商を四捨五入して 4 になるので、商は 3.5 以上 4.5 未満
したがってもとの整数は、
3.5 × 8 = 28 以上、4.5 × 8 = 36 未満なので、28、29、30、31、32、33、34、35 のどれかと考えられる。
また、3 で割った商を四捨五入して 9 になるので、商は 8.5 以上 9.5 未満
したがってもとの整数は、
8.5 × 3 = 25.5 以上、9.5 × 3 = 28.5 未満
なので、26、27、28 のどれかと考えられる。
両方にあてはまる整数は 28

問８

5 つの異なる数字が書かれた 5 枚のカード A、B、C、D、E があります。以下はカードに書かれた数字について説明しています。

A は D より大きい。

E は D より小さい。

\(\boxed{ア}\) は \(\boxed{イ}\) より小さい。

C は D より小さい。

E は B より大きい。

5 つの数字の順番が決まるように、\(\boxed{ア}\)\、(\boxed{イ}\) にはいる記号を 2 通り答えなさい。また、そのときのカードを数字を大きいほうから順に並べなさい。

答え

1 通り目：\(\boxed{ア}\) = E、\(\boxed{イ}\) = C
大きい順：A ＞ D ＞ C ＞ E ＞ B
2 通り目：\(\boxed{ア}\) = C、\(\boxed{イ}\) = B
大きい順：A ＞ D ＞ E ＞ B ＞ C

解き方

まず、D を基準に考える、
A は D より大きい ⇒ A ＞ D
E は D より小さい ⇒ E ＜ D
C は D より小さい ⇒ C ＜ D
以上より、A ＞ D ＞ C, E
E は B より大きい ⇒ E ＞ B

① \(\boxed{ア}\) = E、\(\boxed{イ}\) = C のとき
すなわち「 E は C より小さい 」が条件に加わると、A ～ E を大きい順にならべると、
A ＞ D ＞ C ＞ E ＞ B

② \(\boxed{ア}\) = C、\(\boxed{イ}\) = B のとき
すなわち「 C は B より小さい 」が条件に加わると、A ～ E を大きい順にならべると、
A ＞ D ＞ E ＞ B ＞ C

問９

ある年の 4 月の最高気温は、20 度以上の日が 20 度未満の日の 2 倍より 3 日多く、25 度以上の日は 20 度未満の日より 4 日少なかったそうです。このとき、20 度以上 25 度未満の日は何日ありましたか。

答え

16 日

解き方

20 度未満の日を □ 日とすると、20 度以上の日は □ × 2 + 3 [日] と表すことができる。
4 月は 30 日あるので、次の式が成り立つ、
□ + □ × 2 + 3 = 30
□ × 3 = 30 – 3 = 27
□ = 9 [日]
よって、20 度未満の日は 9 日、20 度以上の日は 9 × 2 + 3 = 21 [日]、25 度以上の日は 9 – 4 = 5 [日] となる。

したがって、20 度以上 25 度未満の日は、
21 – 5 = 16 [日]

問１０

小数第 2 位を四捨五入すると 4.8 になる数と 5.4 になる数の和は、\(\boxed{ア}\) 以上 \(\boxed{イ}\) 未満になります。ア、イに当てはまる数をそれぞれ答えなさい。

答え

ア：10.1　イ：10.3

解き方

小数第 2 位を四捨五入すると 4.8 になる数の範囲は 4.75 以上 4.85 未満
小数第 2 位を四捨五入すると 5.4 になる数の範囲は 5.35 以上 5.45 未満

よって、最小の和は 4.75 + 5.35 = 10.1、最大の和は 4.85 + 5.45 = 10.3 より、ア = 10.1、イ = 10.3

問１１

0.2 より大きく 0.8 より小さい分数のうち、分母が 11 となるものは全部で何個ありますか。

答え

7 個

解き方

分母が 11 なので、求める分数を \(\dfrac{□}{11}\) とします。
この分数は 0.2 より大きく 0.8 より小さい。
まず、0.2 より大きくなるには、
\(\dfrac{□}{11}\) ＞ 0.2
□ ＞ 2.2
□ は整数なので 2 以上の整数と考えられる。
次に、0.8 より小さくなるには、
\(\dfrac{□}{11}\) ＜ 0.8
□ ＜ 8.8
□ は整数なので 8 以下の整数と考えられる。
したがって、□ に入る整数は 2、3、4、5、6、7、8 の 7 個

問１２

生徒総数 304 人の学校で生徒代表を 3 人選ぶ選挙を行いました。投票は 1 人につき 1 票で、得票数の上位 3 人が生徒代表となります。A、B、C、D、E、F の 6 人が立候補をしました。開票が進み、残りが 48 票となったところでの結果が以下のようになりました。D が確実に当選するには、あと何票必要ですか。最も少ない票数を答えなさい。ただし、各生徒は立候補者の中から必ず 1 人を選んで投票するものとします。

答え

20 票

解き方

今のところ、D は 34 票であり、残りの 48 票を全部 D がもらったとしても、34 + 48 = 82 [票] である。そのため、今 102 票ある B は D より上位になると考えられる。
D が確実に 3 位以内に入るためには、残りの票がどのように入っても、E と F の 2 人がそろって D 以上の票を取れないようにする必要がある。
まず、D があと 20 票もらったとする。
D の票：34 + 20 = 54 [票]
残り：48 – 20 = 28 [票]
E が 54 票になるには 54 – 46 = 8 [票]、F が 54 票になるには 54 – 31 = 23 [票] 必要なので、2 人そろって 54 票になるには 8 + 23 = 31 [票] 必要である。しかし、残りは 28 票しかないので、2 人そろって 54 票になることはない。
したがって、D は確実に当選できる。
次に、1 票少ない 19 票でも大丈夫かを確認する。
D の票：34 + 19 = 53 [票]
残り：48 – 19 = 29 [票]
E が 53 票になるには 53 – 46 = 7 [票]、F が 54 票になるには 53 – 31 = 22 [票] 必要なので、2 人そろって 53 票になるには 7 + 22 = 29 [票] 必要である。残りは 29 票あるので、この場合、D、E、F が同票の 53 票となる可能性があり、D の当選は確実ではない。
よって D が確実に当選するためには最も少なくてあと 20 票必要。