算数【難問】比

問１

A 君、B 君、C 君の所持金の比は 5：4：3 です。A 君から B 君と C 君に同じ金額をあげると、A 君と B 君の所持金は等しくなり、C 君の所持金は 1200 円となります。A 君の最初の所持金は何円ですか。

答え

1800 円

解き方

A 君がお金をあげた後の A 君、B 君、C 君の所持金の比は 5：4：3 より、3 人の合計は 12 となる。
A 君が B 君と C 君にあげたお金の金額を □ とすると、A 君がお金をあげた後の A 君、B 君、C 君の所持金の比は 5 – □ × 2：4 + □：3 + □ となる。
A 君と B 君の所持金は等しくなることから、
5 – □ × 2 = 4 + □
3 × □ = 1
□ = \(\dfrac{1}{3}\)
A 君がお金をあげた後の A 君、B 君、C 君の所持金の比は、
5 – \(\dfrac{1}{3}\) × 2：4 + \(\dfrac{1}{3}\)：3 + \(\dfrac{1}{3}\)
= \(\dfrac{13}{3}\)：\(\dfrac{13}{3}\)：\(\dfrac{10}{3}\) = 13：13：10
となり、合計は 36 となる。
A 君がお金をあげる前と後で、3 人の合計は変わらないので、合計の値をそろえる。

あげた後の C 君の金額を ⑩ とすると、
⑩ = 1200
① = 120 [円]
A 君がはじめに持っていた所持金は ⑮ = 120 × 15 = 1800 [円]

問２

ある動物園では、子ども 1 人の入園料は大人 1 人の入園料の 60 % です。大人 2 人と子ども 3 人で入園したところ、入園料の合計は 2470 円でした。この動物園の大人 1 人の入園料はいくらですか。

答え

650 円

解き方

大人と子どもの入園料の比は、100：60 = 5：3 となる。
大人の 1 人の入園料を ⑤ とすると、子ども 1 人の入園料は ③ と表すことができる。よって、
⑤ × 2 + ③ × 3 = 2470
⑩ + ⑨ = 2470
⑩ = 2470
① = 130
大人 1 人の入園料は ⑤ = 130 × 5 = 650 [円]

問３

重さ 400 g の箱に、赤玉と白玉と青玉を個数の比が 6：4：3 になるように入れると全体の重さは 13 kgでした。赤玉と白玉それぞれ 1 つの重さは 30 g、青玉 1 つの重さは 20 g です。箱の中に青玉は何個入っていますか。

答え

105 個

解き方

玉の合計の重さは、13 × 1000 – 400 = 12600 [g] となる。
赤玉 6 個、白玉 4 個、青玉 3 個を 1 セットとして考えると、1 セットあたりの重さは、
30 × 6 + 30 × 4 + 20 × 3
= 180 + 120 + 60 = 360 [g]
よって、玉全体の中に 12600 ÷ 360 = 35 [セット] あることになる。よって、青玉の個数は 3 × 35 = 105 [個]

【別解】
玉の合計の重さは、13 × 1000 – 400 = 12600 [g] となる。
個数の比に各玉の重さをかけて重さの比を求めると、赤玉と白玉と青玉の重さの比は、
6 × 30：4 × 30：3 × 20 = 3：2：1
よって、青玉の重さは 12600 × \(\dfrac{1}{6}\) = 2100 [g] となり、青玉の個数は 2100 ÷ 20 = 105 [個]

問４

50 人以上 70 人以下の生徒を A、B の 2 つのグループに分けました。A、B の人数の比は、17：11 でした。B から A に何人か移動すると、A の人数は B の人数のちょうど 3 倍になりました。このとき、B から A に移動したのは何人ですか。

答え

8 人

解き方

移動前と移動後の A と B の人数の合計は同じなので、移動前後の関係を連比で表した。

A と B の合計人数は ⑰ + ⑪ = ㉘ と表すことができることから、50 人以上 70 人以下の 28 の倍数であることがわかる。よって、合計人数は、
28 × 2 = 56
28 × 3 = 84
　・
　・
　・
したがって、
㉘ = 56
① = 2
B から A へ移動した人数は ⑪ – ⑦ = ④ より、
④ = 2 × 4 = 8 [人]

【別解】
A の人数を ⑰ とすると、B の人数は ⑪ と表すことができ、合計は ⑰ + ⑪ = ㉘ となる。
A と B の合計人数は 5 0人以上 70 人以下の 28 の倍数となるので、
28 × 2 = 56 [人]
よって、移動前の B の人数は 56 × \(\dfrac{11}{28}\) = 22 [人] である。
一方、移動後の B の人数を \(\boxed{1}\) とすると、A の人数は \(\boxed{3}\) と表すことができる。
\(\boxed{1}\) + \(\boxed{3}\) = 56
\(\boxed{1}\) = 14 [人]
B から A に移動した人数は、22 – 14 = 8 [人]

問５

A さんは理科の実験で食塩と水を 2：3 の重さの比で混ぜて、250 g の食塩水 A をつくりました。その後、実験の手順書に「 食塩と水の割合は 1：1 」と指定されていたことに気がついたので、食塩か水のどちらか一方を加えて、正しい比の食塩水 B を完成させました。食塩 1 g あたりのコストは 0.4 円、水 1 g あたりのコストは 0.1 円です。

（１） 250 g の食塩水 A をつくるのにかかった材料費（ 食塩と水の合計金額 ）は何円ですか。

答え（１）

55 円

解き方（１）

食塩の重さ：250 × \(\\dfrac{2}{2\ +\ 3}) = 250 × \(\\dfrac{2}{5}) = 100 [g]
水の重さ：250 × \(\\dfrac{3}{2\ +\ 3}) = 250 × \(\\dfrac{3}{5}) = 150 [g]
よって、その材料費は、
100 × 0.4 + 150 × 0.1
= 40 + 15 = 55 [円]

（２） 食塩水 B をつくるとき、食塩水 A に食塩と水のどちらを何 g 加えましたか。

答え（２）

50 g

解き方（２）

食塩水 A：食塩：水 = 2：3
食塩水 B：食塩：水 = 1：1 = 3：3
A、B を比べてみると、水の割合は変わっていないことから、「 食塩 」が足りない状態である。
（１）より、水の量 150 g が比の値「 3 」にあたる。
すなわち、比の「 1 」あたりの重さは 150 ÷ 3 = 50 [g] である。
加える食塩の量は比の 3 – 2 = 1 にあたるので、50 g

（３） 食塩水 B をつくるのには、合計で何円かかりましたか。

答え（３）

75 円

解き方（３）

食塩水 B をつくるのにかかった費用は、（１）で求めた 食塩水 A の費用に、追加した食塩 50 g 分の費用を足すと求まる。
55 + 0.4 × 50
= 55 + 20 = 75 [円]

問６

はじめ、いちご味とミルク味のアメの個数の比は 3：8 でした。ここから、いちご味のアメ 1 個とミルク味のアメ 2 個を 1 セットにして何人かに配っていきます。残ったいちご味のアメの個数がはじめの 3 割となったとき、ミルク味のアメは 19 個残りました。はじめにあったいちご味とミルク味のアメの個数はそれぞれいくつですか。

答え

いちご味：15 個　ミルク味：40 個

解き方

はじめのいちご味の個数を \(\boxed{3}\) とすると、ミルク味の個数は \(\boxed{8}\) と表すことができる。
残ったいちご味の個数がはじめの 3 割となったとき、すなわち、このとき配ったいちご味の個数ははじめの 7 割の 0.7 × \(\boxed{3}\) = \(\boxed{2.1}\) となり、配ったミルク味の個数は \(\boxed{2.1}\) × 2 = \(\boxed{4.2}\) となる。
残ったミルク味の個数は 19 個なので次の式が成り立つ。
\(\boxed{8}\) – \(\boxed{4.2}\) = 19
\(\boxed{3.8}\) = 19
\(\boxed{1}\) = 19 ÷ 3.8 = 5 [個]
はじめにあったいちご味とミルク味の個数は、
いちご味：\(\boxed{3}\) = 5 × 3 = 15 [個]
ミルク味：\(\boxed{8}\) = 5 × 8 = 40 [個]

問７

姉と妹が持っているチョコレートの個数の比は 7：3 でした。姉が何個かのチョコレートを食べたので、2 人の持っているチョコレートの個数の比が 2：1 になりました。その後、姉が妹にチョコレートを 10 個わたしたので、持っているチョコレートの比が 4：5 になりました。このとき、姉が食べたチョコレートは何個ですか。

答え

5 個

解き方

姉が妹にチョコレートをわたしても、2 人のチョコレートの合計は変わらない。この関係を連比で表した。

姉がわたす前後の比の差が 10 個にあたることから、次の式が成り立つ。
⑥ – ④ = 10
② = 10
① = 5 [個]
したがって、姉が妹にチョコレートをわたす前に持っていた個数は、
⑥ = 5 × 6 = 30 [個]
姉がチョコレートを食べる前と後の姉妹の個数の比を比べる。
食べる前　姉：妹 = 7：3
食べた後　姉：妹 = 6：3
妹の比がどちらも「 3 」で揃っているため、姉の持っている個数の差 7 – 6 = 1 が、そのまま姉が食べたチョコレートの個数になる。
また、6：3 は先の連比で使用した比の値と一致しているので、姉の持っている個数の差「 1 」は ① と同等である。
「 1 」 = ① = 5 [個]

問８

A、B、C の 3 人が合わせて 18000 円持っています。A が B、C にそれぞれ自分の所持金の \(\dfrac{1}{4}\)、\(\dfrac{1}{3}\) にあたる金額をあげました。次に B が C に 400 円あげたところ、3 人の所持金の比が 2：3：4 になりました。はじめに B が持っていた金額は何円ですか。

答え

4000 円

解き方

はじめに A が持っていた所持金を ⑫ とすると、はじめの 3 人の所持金は、
A：⑫
B + C：18000 – ⑫
A が B、C にあげた金額はそれぞれ以下のようになる。
B：⑫ × \(\dfrac{1}{4}\) = ③
C：⑫ × \(\dfrac{1}{3}\) = ④
このとき、A の残りの所持金と B ＋ C の所持金の合計は、
A：⑫ – ( ③ + ④ ) = ⑫ – ⑦ = ⑤
B + C：18000 – ⑫ + ⑦
次に、B が C に 400 円 あげた後、3 人の所持金の比が 2：3：4 になったことから、A の所持金 と「 B、C 2 人の所持金の合計 」の比は A：B + C = 2：7 となる。
また、B が C に 400 円 あげる前後で B、C 2 人の所持金の合計は変わらないことから、次の比が成り立つ。
⑤：18000 – ⑫ + ⑦ = 2：7
内項と外項の積は等しいので、
⑤ × 7 = ( 18000 – ⑫ + ⑦ ) × 2
㉟ = 36000 – ㉔ + ⑭
㉟ + ㉔ – ⑭ = 36000
㊺ = 36000
① = 800 [円]
3 人の合計の金額は変わらないので、最後の B の所持金は、
18000 × \(\dfrac{3}{2\ +\ 3\ +\ 4}\) = 18000 × \(\dfrac{1}{3}\) = 6000 [円]
B が C にあげた金額は 400 円、B が A からもらった金額は ③ = 800 × 3 = 2400 [円] より、B がはじめに持っていた金額は、
6000 + 400 – 2400 = 4000 [円]