問１
（１）□ に当てはまる数を答えなさい。
① ( □ – 12 )：3.75 = 6：25
- 答え（１）- ①
- 12.9
- 解き方（１）- ①
- 内項の積と外項の積は等しいので、
25 × ( □ – 12 ) = 6 × 3.75
□ – 12 = 6 × 3.75 ÷ 25
□ – 12 = 6 × \(\dfrac{\cancelto{15}{375}}{\cancelto{4}{100}}\) × \(\dfrac{1}{25}\)
□ – 12 = \(\dfrac{6\ ×\ 15}{4\ ×\ 25}\) = \(\dfrac{90}{100}\) = 0.9
□ = 0.9 + 12 = 12.9
② ( \(\dfrac{1}{1\ ×\ 2}\) + \(\dfrac{1}{2\ ×\ 3}\) + \(\dfrac{1}{3\ ×\ 4}\) + \(\dfrac{1}{4\ ×\ 5}\) + \(\dfrac{1}{5\ ×\ 6}\) )：0.75 = □：9
- 答え（１）- ②
- 10
- 解き方（１）- ②
- ( ) の中を計算する。
\(\dfrac{1}{1\ ×\ 2}\) + \(\dfrac{1}{2\ ×\ 3}\) + \(\dfrac{1}{3\ ×\ 4}\) + \(\dfrac{1}{4\ ×\ 5}\) + \(\dfrac{1}{5\ ×\ 6}\)= ( \(\dfrac{1}{1}\) – \(\dfrac{1}{2}\) ) + ( \(\dfrac{1}{2}\) – \(\dfrac{1}{3}\) ) + ( \(\dfrac{1}{3}\) – \(\dfrac{1}{4}\) ) + ( \(\dfrac{1}{4}\) – \(\dfrac{1}{5}\) ) + ( \(\dfrac{1}{5}\) – \(\dfrac{1}{6}\) )
= 1 – \(\dfrac{1}{6}\) = \(\dfrac{5}{6}\)
また、0.75 = \(\dfrac{3}{4}\) なので、
\(\dfrac{5}{6}\)：\(\dfrac{3}{4}\) = □：9
内項の積と外項の積は等しいので、
\(\dfrac{3}{4}\) × □ = 9 × \(\dfrac{5}{6}\)
□ = 9 × \(\dfrac{5}{\cancelto{3}{6}}\) × \(\dfrac{\cancelto{2}{4}}{3}\)
□ = 9 × \(\dfrac{10}{9}\) = 10
③ { 2 × ( 6 – □ ) – \(1\dfrac{1}{2}\) }：( 3 – \(1\dfrac{1}{2}\) ) = 2：1
- 答え（１）- ③
- \(3\dfrac{3}{4}\)
- 解き方（１）- ③
- 右の ( ) を計算する。
3 – \(1\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{6}{2}\) – \(\dfrac{3}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\)
なので、
2 × ( 6 – □ ) – \(1\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\) × 2 = 3
2 × ( 6 – □ ) = 3 + \(\dfrac{3}{2}\)
2 × ( 6 – □ ) = \(\dfrac{9}{2}\)
6 – □ = \(\dfrac{9}{2}\) × \(\dfrac{1}{2}\)
6 – □ = \(\dfrac{9}{4}\)
□ = 6 – \(\dfrac{9}{4}\) = \(\dfrac{15}{4}\) = \(3\dfrac{3}{4}\)
【別解】内項の積と外項の積は等しい
{ 2 × ( 6 – □ ) – \(1\dfrac{1}{2}\) } × 1 = \(\dfrac{3}{2}\) × 2
2 × ( 6 – □ ) – \(\dfrac{3}{2}\) = 3
□ = \(3\dfrac{3}{4}\)
④ \(\dfrac{1}{456}\)：\(\dfrac{1}{789}\) = □：456
- 答え（１）- ④
- 789
- 解き方（１）- ④
□ = \(\dfrac{1}{456}\) × 456 × 789 = 789
【別解】内項の積と外項の積は等しい
\(\dfrac{1}{789}\) × □ = \(\dfrac{1}{456}\) × 456 = 1
□ = 789
（２）3 つの数 { \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{3}{8}\), 0.35 } の中で、最も大きい数と最も小さい数の比を、最も簡単な整数で表しなさい。
- 答え（２）
- 9：8
- 解き方（２）
- 小数を分数になおす。
0.35 = \(\dfrac{35}{100}\) = \(\dfrac{7}{20}\)
すべての分数の分母をそろえる。
\(\dfrac{1}{3}\) = \(\dfrac{40}{120}\)
\(\dfrac{3}{8}\) = \(\dfrac{45}{120}\)
\(\dfrac{7}{20}\) = \(\dfrac{42}{120}\)
分子の数の大きさを比べると、45 が最も大きく、40 が最も小さい。
よって、最も大きい数は \(\dfrac{3}{8}\)、最も小さい数は \(\dfrac{1}{3}\)
最も大きい数と最も小さい数の比は、
\(\dfrac{3}{8}\)：\(\dfrac{1}{3}\) = 9：8
（３）A の 1.2 倍と B の 15 % が等しいとき、A：B を最も簡単な整数の比で表しなさい。
- 答え（３）
- 1：8
- 解き方（３）
- A の 1.2 倍と B の 15 % が等しいことから、次の式が成り立つ。
A × 1.2 = B × 0.15
A × \(\dfrac{12}{10}\) = B × \(\dfrac{15}{100}\)
A × \(\dfrac{6}{5}\) = B × \(\dfrac{3}{20}\)
かけ算の答えが等しくなるとき、A と B の比は「 かける数の逆（ 逆比 ）」になるので、
A：B = \(\dfrac{5}{6}\)：\(\dfrac{20}{3}\) = 5：40 = 1：8
（４）2 つの数 A、B があります。A の 7 割と B の \(\dfrac{3}{8}\) 倍が等しくなります。A：B をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
- 答え（４）
- 15：28
- 解き方（４）
- A の 7 割と B の \(\dfrac{3}{8}\) 倍が等しくなることから、次の式が成り立つ。
A × 0.7 = B × \(\dfrac{3}{8}\)
A × \(\dfrac{7}{10}\) = B × \(\dfrac{3}{8}\)
かけ算の答えが等しくなるとき、A と B の比は「 かける数の逆（ 逆比 ）」になるので、
A：B = \(\dfrac{10}{7}\)：\(\dfrac{8}{3}\) = 30：56 = 15：28
【別解】
A の 7 割と B の \(\dfrac{3}{8}\) 倍が等しくなることから、A の 7 割：B は 3：8 と表すことができる。すなわち、
A：B
= \(\dfrac{3}{0.7}\)：8
= 3：5.6 = 30：56 = 15：28
（５）ある 2 つの整数の比は 7：4 で、それらの和は 132 です。その 2 つの整数の差はいくつですか。
- 答え（５）
- 36
- 解き方（５）
- 2 つの整数を ⑦ と ④ とする。
これらの和は 132 なので、次の式が成り立つ。
⑦ + ④ = 132
⑪ = 132
① = 12
2 つの整数の差は ⑦ – ④ = ③ と表すことができるので、
③ = 3 × 12 = 36
（６）分母と分子の差が 91 で、約分すると \(\dfrac{6}{13}\) になる分数の分母を求めなさい。
- 答え（６）
- 169
- 解き方（６）
- 分母と分子の比は、13：6 となる。
分母を ⑬ とすると分子は ⑥ と表すことができる。よって、
⑬ – ⑥ = 91
① = 13
すなわち分母は、⑬ = 13 × 13 = 169
（７）\(\dfrac{7}{23}\) という分数の分子と分母に同じ数を加えたところ、\(\dfrac{3}{7}\) になりました。加えた数はいくつですか。
- 答え（７）
- 5
- 解き方（７）
- 同じ数を加えた後の新しい分子と分母の比は 3：7 となるので、分子を ③、分母を ⑦ とする。
同じ数を加えても、2 の数の差はかわらないことから、
⑦ – ③ = 23 – 7
④ = 16
① = 4
よって、新しい分子は ③ = 3 × 4 = 12
したがって加えた数は、
12 – 7 = 5
（ 分母で計算しても 28 – 23 = 5 ）
【別解】
加えた数を □ とすると、新しい分子は 7 + □、新しい分母は 23 + □ と表すことができる。
また新しい分子と分母の比は 3：7 より、
7 + □：23 + □ = 3：7
内項と外項の積は等しいので、次の式が成り立つ。
7 × ( 7 + □ ) = 3 × ( 23 + □ )
49 + 7 × □ = 69 + 3 × □
7 × □ – 3 × □ = 69 – 49
4 × □ = 20
□ = 5
（７）家から図書館までの道のりの \(\dfrac{2}{5}\) を徒歩で進み、残りは自転車に乗り移動しました。徒歩でかかった時間は自転車に乗っていた時間の 3 倍です。徒歩と自転車の速さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
- 答え（７）
- 2：9
- 解き方（７）
- 全体の道のりを「 5 」とすると、
徒歩の道のり：5 × \(\dfrac{2}{5}\) = 2
自転車の道のり：5 – 2 = 3
また、自転車の時間を 1 とすると、徒歩の時間は 3 となる。
それぞれの速さを求めると、
徒歩の速さ：2 ÷ 3 = \(\dfrac{2}{3}\)
自転車の速さ：3 ÷ 1 = 3
よって、速さの比は、
徒歩：自転車 = \(\dfrac{2}{3}\)：3 = 2：9
※単位は気にしなくて良い
問２
赤、白 2 種類の玉があり、赤玉 5 個と白玉 11 個の重さの比は 6：11 で、全部で 425 g です。赤玉 1 個の重さは何 g ですか。
- 答え
- 30 g
- 解き方
- 全部の重さと赤玉 5 個の重さの比は、( 6 + 11 )：6 = 17：6 となる。
したがって、赤玉 5 個の重さは、425 × \(\dfrac{6}{17}\) = 150 [g] となる。
よって赤玉 1 個の重さは、150 ÷ 5 = 30 [g]
【別解】
赤玉 1 個の重さを □ g とすると、白玉 11 個の重さは 465 – 5 × □ [g] と表すことができる。
よって、 5 × □：425 – 5 × □ = 6：11
内項の積と外項の積は等しいので、
6 × ( 425 – 5 × □ ) = 11 × 5 × □
6 × 425 – 30 × □ = 55 × □
□ = 30 [g]
問３
100 円玉と 10 円玉の枚数の比が 3：4 で、合計金額が 4080 円でした。このとき、100 円玉は何枚ですか。
- 答え
- 36 枚
- 解き方
- 100 円の枚数を ③ すると、10 円玉の枚数は ④ と表すことができる。
100 × ③ + 10 × ④ = 4080
① = 12
100 円玉の枚数は、12 × 3 = 36 [枚]
問４
あめ 114 個とチョコレート 80 個を A、B、C の 3 人でそれぞれ分けました。あめは A：B = 5：3、B：C = 2：1、チョコレートは A：C = 3：1、B：C = 4：3になりました。このとき、B のあめとチョコレートの個数の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
- 答え
- あめ：チョコレート = 9：5
- 解き方
B のあめの個数は 114 × \(\dfrac{6}{19}\) = 36 [個]
B のチョコレートの個数は 80 × \(\dfrac{4}{16}\) = 20 [個]
よって、B のあめとチョコレートの個数の比は、
あめ：チョコレート = 36：20 = 9：5
問５
A 君が 5 歩で進む距離を B 君は 7 歩で進み、A 君が 2 歩進む時間で B 君は 3 歩進みます。このとき、A 君と B 君の進む速さの比を求めなさい。
- 答え
- A 君：B 君 = 14：15
- 解き方
- 1 歩で進む距離は同じ距離を進む歩数の逆比となる。
よって、A 君と B 君が 1 歩で進む距離の比は、7：5 となる。
速さの比は同じ時間に進む距離の比に等しい。
A 君が 1 歩で進む距離を ⑦ とすると、A 君と B 君が同じ時間に進む距離の比は、
⑦ × 2：⑤ × 3 = ⑭：⑮
問６
A、B の 2 種類のおもりがあります。重さは A が 15 g、B が 25 g です。A と B の個数の比が 2：3 で、その重さが 630 g のとき、A と B のおもりはそれぞれ何個ありますか。
- 答え
- A：12 個 B：18 個
- 解き方
- A と B の重さの比は、A：B = 2 × 15：3 × 25 = 2：5 となる。
よって、
A だけの重さは 630 × \(\dfrac{2}{7}\) = 180 [g]、個数は 180 ÷ 15 = 12 [個]
B だけの重さは 630 × \(\dfrac{5}{7}\) = 450 [g]、個数は 450 ÷ 25 = 18 [個]
問７
A さんと B さんが持っているキャンディーの個数の比は 8：5 で、合計 78 個です。2 人とも同じ数ずつ食べたところ、残ったキャンディーの個数の比は 2：1 になりました。それぞれが食べたキャンディーの個数は何個ですか。
- 答え
- 12 個
- 解き方
- A さんと B さんが食べる前に持っていたキャンディーの個数は、
A さん：78 × \(\dfrac{8}{13}\) = 48 [個]
B さん：78 – 48 = 30 [個]
その差は 48 – 30 = 18 [個] である。
同じ数を食べた後の A さんのキャンディーの個数を ② と表すと、B さんのキャンディーの個数は ① と表すことができる。
同じ数を食べた後の A さんと B さんのキャンディーの個数の差は食べる前と同じ 18 個なので、
② – ① = 18
① = 18
同じ数を食べた後の B さんのキャンディーの個数は ① = 18 [個] より、B さんが食べたキャンディーの個数は、
30 – 18 = 12 [個]
（ A さんで計算しても 48 – 36 = 12 [個] ）
【別解】
A さんと B さんが食べる前に持っていたキャンディーの個数は、
A さん：78 × \(\dfrac{8}{13}\) = 48 [個]
B さん：78 – 48 = 30 [個]
食べたキャンディーを □ 個とすると、
48 – □：30 – □ = 2：1
内項の積と外項の積は等しいので、
2 × ( 30 – □ ) = 48 – □
□ = 12 [個]
問８
A 君、B 君、C 君の 3 人が持っているおはじきの個数は全部で 98 個で、A 君と B 君の持っているおはじきの個数の比は 2：5、C 君は A 君の持っている個数の 3 倍より 7 個多く持っています。3 人の持っているおはじきの個数の比を求めなさい。
- 答え
- A：B：C = 2：5：7
- 解き方
- A 君が持っているおはじきの個数を ② とすると、B 君は ⑤、C 君は ② × 3 + 7 と表すことができる。よって、
② + ⑤ + ② × 3 + 7 = 98
① = 7
3 人の持っているおはじきの個数は、
A 君：② = 2 × 7 = 14 [個]
B 君：⑤ = 5 × 7 = 35 [個]
C 君：② × 3 – 7 = 2 × 7 × 3 + 7 = 49 [個]
3 人の持っているおはじきの個数の比は、
A：B：C = 14：35：49 = 2：5：7
問９
52 個の碁石を長方形の形に並べたところ、縦と横の碁石の数の比が 5：9 になりました。このとき、縦の碁石の数は何個ですか。
- 答え
- 10 個
- 解き方
- 縦の碁石の数を ⑤ とすると、横の碁石の数は ⑨ と表すことができる。
2 × ( ⑤ – 1 + ⑨ – 1 ) = 52
① = 2
よって、縦の碁石の数は、⑤ = 5 × 2 = 10 [個]
問１０
A さん、B さん、C さんの 3 人のゲームの得点の平均点は 70 点でした。A さんと C さんの得点の比は 2：3 で、B さんの得点は C さんより 10 点高かったです。B さんの得点は何点ですか。
- 答え
- 85 点
- 解き方
- A さんの得点を ② とすると、C さんの得点は ③、B さんの得点は ③ + 10 と表すことができる。よって、
② + ③ + 10 + ③ = 70 × 3
① = 25
B さんの得点は、
③ + 10 = 3 × 25 + 10 = 85 [点]
問１１
キャンディーとチョコレートとキャラメルがそれぞれ何個かずつあります。キャンディーとチョコレートの個数の比は 3：5、キャンディーとキャラメルの個数の比は 7：4 で、キャンディーとチョコレートの個数の差は 28 個です。このときキャラメルは何個ありますか。
- 答え
- 24 個
- 解き方
キャンディーとチョコレートの個数の差は 28 個なので、
㉟ – ㉑ = 28
① = 2
キャラメルの個数は、⑫ = 12 × 2 = 24 [個]
問１２
家から駅まで 40 分かけて歩いて行く予定で出発しました。一定の速さで 15 分歩くと、道のり全体の \(\dfrac{1}{4}\) しか進んでいないことに気がつきました。速さを今までの何倍にすれば予定通りに着きますか。
- 答え
- 1.8 倍（ または \(\dfrac{9}{5}\) 倍 ）
- 解き方
- 全体の道のりを 1 とすると、残りの道のりは 1 – \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{3}{4}\)
残りの時間は 40 – 15 = 25 [分] である。
これまでの速さは
\(\dfrac{1}{4}\) ÷ 15 = \(\dfrac{1}{60}\)
これからの速さは、
\(\dfrac{3}{4}\) ÷ 25 = \(\dfrac{3}{100}\)
したがって、これからの速さはこれまでの速さの、
\(\dfrac{3}{100}\) ÷ \(\dfrac{1}{60}\)
= \(\dfrac{3}{100}\) × 60 = \(\dfrac{180}{100}\) = 1.8 [倍]
問１３
A さんと B さんの所持金の比は 3：2 です。B さんと C さんの所持金の比は 4：5 です。3 人の所持金の合計が 13500 円のとき、C さんの所持金は何円ですか。
- 答え
- 4500 円
- 解き方
所持金の合計は 13500 円なので、
⑮ = 13500
① = 900 [円]
よって、C さんの所持金は ⑤ = 5 × 900 = 4500 [円]
問１４
となり合う 2 つのランニングコース A、B があります。太郎くんはランニングコース A の周りを、花子さんはランニングコース B の周りを、それぞれ P 地点から同時に出発し、反対方向に走ります。太郎くんと花子さんの速さの比は 5：4 で、太郎さんが 2 周、花子さんが 1.5 周したとき、 2 人は P 地点で再び出会います。
（１）太郎くんと花子さんの進んだ道のりの比は一定です。その比を、最も簡単な整数の比で書きなさい。
- 答え（１）
- 5：4
- 解き方（１）
- 同じ時間で走るとき、「 進んだ道のりの比 」は「 速さの比 」と同じになる。よって、5：4
（２）ランニングコース A と B の周りの長さの比を、最も簡単な整数の比で書きなさい。
- 答え（２）
- 15：16
- 解き方（２）
- （１）より太郎くんが走った道のりを 5 とすると、花子さんが走った道のりは 4 と表すことができる。よって、ランニングコース A、B の 1 周の長さを求めると、
A：5 ÷ 2 = \(\dfrac{5}{2}\)
B：4 ÷ 1.5 = 4 ÷ \(\dfrac{3}{2}\) = \(\dfrac{8}{3}\)
A：B = \(\dfrac{5}{2}\)：\(\dfrac{8}{3}\) = 15：16
（３）太郎くんが 3 周して P 地点にいるとき、花子さんは 2 周と 400 m 進んだ地点にいます。ランニングコース A と B の周りの長さの差は何 m ですか。
- 答え（３）
- 100 m
- 解き方（３）
- （２）より、ランニングコース A の 1 周の長さを ⑮ とすると、B の 1 周の長さは ⑯ となる。
太郎くんが進んだ道のりは ⑮ × 3 = ㊺
太郎くんと花子さんが進んだ道のりの比は 5：4 より、花子さんが進んだ道のりは ㊺ × \(\dfrac{4}{5}\) = ㊱ と表すことができる。
このとき、花子さんはランニングコース B を 2 周と 400 m 進んでいたことから、次の式が成り立つ。
㊱ = ⑯ × 2 + 400
㊱ = ㉜ + 400
㊱ – ㉜ = 400
④ = 400
① = 100 [m]
A と B の 1 周の長さの差は ⑯ – ⑮ = ① = 100 [m]