算数【応用】比例と反比例
問１
1 ユーロを 152 円とします。38 万円は何ユーロになりますか。
- 答え
- 2500 ユーロ
- 解き方
- 円とユーロは比例するので、
380000 ÷ 152 = 2500 [ユーロ]
問２
1 L のガソリンで 18 km 走る車があります。また、ガソリンの値段は 1 L で 160 円かかります。この車が 1000 円で走る距離は何 km ですか。
- 答え
- 112.5 km
- 解き方
- 160 円で 18 km 走ることができるので、
18 ÷ 160 × 1000 = 112.5 [km]
問３
A 菅で水そうに水を入れると 36 分かかります。B 菅で同じ水そうに水を入れると 45 分かかります。A 菅、B 菅両方を使って水を入れると何分かかりますか。
- 答え
- 20 分
- 解き方
- 同じ水そうに水を入れる速さはかかる時間に反比例するので、以下のように表すことができる。
A + B = \(\dfrac{1}{36}\) + \(\dfrac{1}{45}\)
= \(\dfrac{5\ +\ 4}{180}\) = \(\dfrac{1}{20}\)
よって、A 菅、B 菅両方を使って水を入れると 20 分かかる。
問４
長さが 10 cm のバネ A と長さが 16 cm のバネ B があります。グラフは、これらのバネにおもりをつるすときの、おもりの重さとバネの長さの関係を表したものです。
おもりの重さとバネが伸びる長さは比例するとします。
（１）グラフの□に当てはまる数を答えなさい。
- 答え（１）
- 20
- 解き方（１）
- グラフより、18 g のおもりをつるしたとき、バネ A の伸びは 16 – 10 = 6 [cm] より、
30 g のおもりをつるしたときのバネ A の伸びは、\(\dfrac{30}{18}\) × 6 = 10 [cm]
よって、□ = 10 + 10 = 20 [cm]
（２）2 つのバネに同じ重さのおもりをつるします。このとき、バネ A とバネ B の伸びる長さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
- 答え（２）
- 5：2
- 解き方（２）
- （１）より、30 g のおもりをつるしたときのバネ A の伸びは 10 cm
30 g のおもりをつるしたときのバネ B の伸びは 20 – 16 = 4 [cm]
よって、同じ重さのおもりをつるしたときのバネ A とバネ B の伸びる長さの比は、
10：4 = 5：2
（３）2 つのバネに同じ重さのおもりをつるしたところ、バネ A とバネ B の長さの比が 3：2 になりました。このとき、1 つのバネにつるしたおもりの重さは何 g ですか。
- 答え（３）
- 105 g
- 解き方（３）
- （２）より、同じ重さのおもりをつるしたときのバネ A と B の伸びる長さの比は 5：2
今回のバネ A と B の伸びた長さをそれぞれ⑤ [cm]と② [cm] と表すと、バネ A と B の長さはそれぞれ、10 + ⑤ [cm]、16 + ② [cm] と表すことができる。すなわち、
10 + ⑤：16 + ② = 3：2
2 × ( 10 + ⑤ ) = 3 × ( 16 + ② )
20 + ⑩ = 48 + ⑥
④ = 28
① = 7 [cm] より、
A の伸びた長さは ⑤ = 5 × 7 = 35 [cm]
A の伸びた長さが 6 cm のときおもりの重さは 18 g なので、 伸びた長さが 35 cm のときのおもりの重さは、
\(\dfrac{35}{6}\) × 18 = 105 [g]
問５
500 L の水そうに毎分一定の量の水を入れる蛇口 A と蛇口 B が取りつけられています。最初は蛇口 A だけで水を入れ、途中から蛇口 B からも水を入れました。しばらくすると水そうがいっぱいになり水があふれ出しました。そこで、配水管 C を使って別の水そうに水を移しました。グラフは、縦軸を水そうの中の水の量、横軸を水を入れ始めてからの時間として表したものです。
- ヒント
（１）蛇口 A から入る水の量は毎分何 L ですか。
- 答え（１）
- 毎分 10 L
- 解き方（１）
- グラフより、20 分で 200 L の水が入っているので、
200 ÷ 20 = 10 [L/分]
（２）蛇口 B から入る水の量は毎分何 L ですか。
- 答え（２）
- 毎分 15 L
- 解き方（２）
- グラフより、蛇口 A と B で入れ始めてから 12 分で 300 L の水が入っているので、A と B の両方から入る水の量は、
300 ÷ 12 = 25 [L/分]
よって、B から入る水の量は 25 – 10 = 15 [L/分]
（３）水そうからあふれた水の量は何 L ですか。
- 答え（３）
- 200 L
- 解き方（３）
- グラフより、水があふれ出てた時間は 40 – 32 = 8 [分]、A と B の両方から入る水の量は毎分 25 L より、
25 × 8 = 200 [L]
（４）配水管 C から排出される水の量は毎分何 L ですか。
- 答え（４）
- 毎分 29 L
- 解き方（４）
- グラフより、排出を始めてから 15 分間で、水の量は 500 – 440 = 60 [L] 減っていることから、
60 ÷ 15 = 4 [L/分]
の速さで減っている。よって、排出される水の量は、
25 + 4 = 29 [L/分]
