算数【応用】樹形図

問１

A さんの通う中学校の運動会では、生徒は 7 つの競技の中から 3 つを選びます。ただし、入場・退場の都合上、2 つ以上の連続する競技を選ぶことはできません。表は今年の運動会のプログラムです。

（１）短距離走に自信のある A さんは、最初の短距離走を必ず選ぶことにしました。残り 2 つの競技の選び方は何通りありますか。

答え（１）

6 通り

解き方（１）

2 つ目の競技に「リレー」と「大玉転がし」を選ぶと 3 つ目の競技が選べない。

（２）3 つの競技の選び方は何通りありますか。

答え（２）

10 通り

解き方（２）

1 つ目の競技に「短距離走」を選んだ場合は（１）より 6 通り

1 つ目の競技に「障害物競走」を選んだ場合は 3 通り

1 つ目の競技に「つなひき」を選んだ場合は 1 通り
よって、3 つの競技の選び方は、
6 + 3 + 1 = 10 [通り]

問２

6 けたの数字について考えます。6 けたの数字は「000001」から始まり、「000002」「000003」「000004」・・・と順番に数字が大きくなっていくものとします。

（１）「000001」から「900000」までのうち、「111111」のように 6 けたすべて同じ数字が並んでいるものは何個ありますか。

答え（１）

8 個

解き方（１）

「111111」「222222」「333333」「444444」「555555」「666666」「777777」「888888」

（２）「000001」から「900000」までのうち、「234567」のように数字が 1 つずつ増えていくものは何個ありますか。

答え（２）

5 個

解き方（２）

「012345」「123456」「234567」「345678」「456789」

（３）「000001」から「900000」までのうち、「100001」や「522225」のように、先頭の数字と最後の数字が同じで、かつ、間の 4 つの数字がすべて同じものは何個ありますか。ただし、（１）の 6 けたすべて同じ数字が並んでいるものは含みません。

答え（３）

81 個

解き方（３）

先頭と最後の数は 0 ～ 8 の 9 個あり、間の 4 つの数は 0 ～ 9 の中からそれぞれ先頭と最後の数と同じ数 (すべて同じ数になる場合、ただし「000000」は範囲外でもある) を除いた 9 個ある。
よって、9 × 9 = 81 [個]

（４）「000001」から「900000」までのうち、（１）～（３）と「100000」や「700000」のように下 5 けたに 0 が並ぶもののどれにも当てはまらないものは何個ありますか。

答え（４）

899897 個

解き方（４）

下 5 けたに 0 が並ぶものは 9 個ある。（「100000」「200000」「300000」「400000」「500000」「600000」「700000」「800000」「900000」）
「000001」から「900000」の 6 けたの数字は全部で 900000 個ある。
よって、求める数字の個数は、
900000 – ( 8 + 5 + 81 + 9)
= 900000 – 103 = 899897 [個]

問３

10 円硬貨、50 円硬貨、100 円硬貨、500 円硬貨がそれぞれ 10 枚ずつあります。これらを使って 500 円を支払う方法は、全部で何通りありますか。ただし、使わない硬貨があってもかまいません。

答え

17 通り

解き方

1 + 1 + 3 × 5 = 17 [通り]

問４

大小 2 つのサイコロを投げるとき、2 つのサイコロの目の和が 4 の倍数になるのは何通りありますか。

答え

9 通り

解き方

サイコロの目は 1 ～ 6 まであるので、2 つのサイコロの最小の和は 1 + 1 = 2、最大の和は 6 + 6 = 12 となる。2 ～ 12 の中で 4 の倍数は、4、8、12 である。
サイコロの目の組み合わせ ( 大, 小 )
和が 4： ( 1, 3 ) ( 2, 2 ) ( 3, 1 ) ・・・ 3 個
和が 8： ( 2, 6 ) ( 3, 5 ) ( 4, 4 ) ( 5, 3 ) ( 6, 2 ) ・・・ 5 個
和が 12： ( 6, 6 ) ・・・ 1 個
3 + 5 + 1 = 9 [通り]

問５

箱の中に赤玉と白玉が入っています。この箱の中から玉を 1 つ取り出し、赤玉が出たらサイコロを 1 回投げ、白玉が出たらサイコロを 2 回投げる作業があります。この作業を 2 回繰り返すとき、サイコロの目の和が 4 になるのは全部で何通りありますか。

答え

10 通り

解き方

1 回目	2 回目	投げる回数	和が 4 になる組み合わせ
赤	赤	2	( 1, 3 ) ( 2, 2 ) ( 3, 1 )
赤	白	3	( 1, 1, 2 ) ( 1, 2, 1 ) ( 2, 1, 1 )
白	赤	3	( 1, 1, 2 ) ( 1, 2, 1 ) ( 2, 1, 1 )
白	白	4	( 1, 1, 1, 1 )

3 + 3 + 3 + 1 = 10 [通り]

問６

10 円、50 円、100 円の 3 種類の硬貨が 2 枚ずつあります。これらを使って支払うことができる金額は全部で何通りありますか。ただし、支払い額の合計が 0 円の場合は考えないものとします。

答え

20 通り

解き方

50 円玉 0 枚と 100 円玉 1 枚の金額と50 円玉 2 枚と 100 円玉 0 枚の金額は等しく 100 円
50 円玉 0 枚と 100 円玉 2 枚の金額と50 円玉 2 枚と 100 円玉 1 枚の金額は等しく 200 円
よって、6 + 7 + 7 = 20 [通り]

問７

S 市のバレーボール大会は 6 チームが参加して優勝を争います。予選リーグは「グループ A」と「グループ B」の 3 チームずつ 2 つのグループに分かれ、そのグループ内で順位を 1 位から 3 位まで決定します。その結果、図のような決勝トーナメントの組み合わせになり、優勝を争います。決勝トーナメントについて、（１）～（３）の問いの □ にあてはまる数を答えなさい。

（１）決勝トーナメントを最も少ない試合数で「優勝」するためには、\(\boxed{ア}\) 試合する必要があります。また、そのときの結果は、\(\boxed{イ}\) 勝 \(\boxed{ウ}\) 敗です。

答え（１）

ア：3　イ：3　ウ：0

解き方（１）

トーナメントを「優勝」から逆に最短でたどる。
優勝 → #10 → #7 → #4 ⇒ 3 試合全勝

（２）決勝トーナメントを最も多い試合数で「優勝」するためには、\(\boxed{エ}\) 試合する必要があります。また、そのときの結果は、\(\boxed{オ}\) 勝 \(\boxed{カ}\) 敗です。

答え（２）

エ：6　オ：5　カ：1

解き方（２）

トーナメントを「優勝」から逆に最大数でたどる。
優勝 → #10 (勝) → #8 (勝) → #6 (勝) → #5 (勝) → #3 (敗) → #2 または #1 (勝)
⇒ 6 試合 5 勝 1 敗

（３）予選リーグで 1 位か 2 位であれば、決勝に進むまでに、\(\boxed{キ}\) 回は負けられますが、\(\boxed{ク}\) 回は負けられません。

答え（３）

キ：1　ク：2

解き方（３）

予選リーグで 1 位の場合、#4 または #7 で 1 回負けても再度決勝トーナメントに参加でき、その後全勝すれば決勝に進むことができる。
予選リーグで 2 位の場合、#2 または #3 で 1 回負けても再度決勝トーナメントに参加でき、その後全勝すれば決勝に進むことができる。

問８

10000 円札、5000 円札、1000 円札の 3 種類のお札がたくさんあります。この 3 種類のお札をすべて 1 枚以上使います。

（１）25000 円分のお札を用意することになりました。お札の組み合わせは何通りありますか。

答え（１）

2 通り

解き方（１）

（２）5 枚のお札を用意することになりました。合計金額は何通りありますか。

答え（２）

6 通り

解き方（２）

1 + 2 + 3 = 6 [通り]

問９

10 円、30 円、50 円のあめ玉があります。これらのあめ玉をいくつか買ったところ、合計で 200 円になりました。

（１）10 円、30 円、50 円のあめ玉を少なくとも 1 個ずつ買うとき、あめ玉の組み合わせは全部で何通りありますか。

答え（１）

8 通り

解き方（１）

1 + 3 + 4 = 8 [通り]

（２）10 円、30 円、50 円のあめ玉のうち 1 つも買わなくてよいものがあっても良いとするとき、あめ玉の組み合わせは全部で何通りありますか。

答え（２）

20 通り

解き方（２）

1 + 2 + 4 + 6 + 7 = 20 [通り]