算数【応用】ニュートン算

問１

開園前の動物園の入園口で、来園客が列を作って並んでいます。来園客の列が無くなるのに入園口 2 ヶ所では 12 分かかり、3 ヶ所では 6 分かかります。ただし、開園後も一定の割合で来園客があるものとします。

（１）入園口 1 ヶ所に、1 分あたりで入場できる客数を ① とすると、開園後も来園する 1 分あたりの客数は何と表すことができますか。

答え（１）
①
解き方（１）

図より、12 分で増えた客数と 6 分で増えた客数の差である、6 分で増えた客数は ㉔ – ⑱ = ⑥ と表すことができる。
よって、1 分あたりの客数は、
⑥ ÷ 6 = ① [/分]

（２）入園口を 4 ヶ所にすると、列が無くなるまでに何分かかりますか。

答え（２）
4 分
解き方（２）
列が無くなるまでに □ 分かかるとする。

図より、次の式が成り立つ。
⑱ – ④ × □ = ⑥ – ① × □
③ × □ = ⑫
□ = 4 [分]

問２

水そうが満水になっています。この水そうに毎分 0.25 m3 の水が水道から流れ込み、1 台につき毎分 0.15 m3 の水が何台かのポンプでくみ出されていきます。水をすべてくみ出すのに、ポンプ 2 台では 40 分かかりました。ポンプ 3 台では何分かかりますか。

答え
10 分
解き方

図はポンプ 2 台が 40 分間にくみ出す水量を表す。この図より、満水のときの水量は、12 – 10 = 2 [m3] であることがわかる。
ポンプ 3 台で水をすべてくみ出すのにかかる時間を □ 分とする。

図より、以下の式が成り立つ。
0.45 × □ – 0.25 × □ = 2
0.2 × □ = 2
□ = 10 [分]

問３

ある会社には毎朝一定の量の仕事が入ってきます。いくらか仕事がたまった状態から 12 人で仕事をするとちょうど 10 日で仕事がなくなります。同じ量の仕事がたまった状態から 15 人で仕事をするとちょうど 4 日で仕事がなくなります。朝入ってきた分の仕事を当日に終わらせるために必要な人数は何人ですか。

答え
10 人
解き方
1 人が 1 日にする仕事の量を \(\boxed{1}\) とし、毎朝入ってくる仕事の量をもとめる。

図より、毎朝入ってくる仕事の量は、
( \(\boxed{120}\) – \(\boxed{60}\) ) ÷ 6 = \(\boxed{10}\) [/日]
1 人が 1 日にする仕事の量は \(\boxed{1}\) より、
\(\boxed{10}\) ÷ \(\boxed{1}\) = 10 [人]

問４

ある牧場では、牛を 35 頭入れると 10 日で草がなくなり、60 頭を入れると 5 日で草がなくなります。ただし、牧草は毎日一定の量だけ成長し、どの牛も毎日同じ量の草を食べるものとします。

（１）牛 1 頭が 1 日で食べる草の量を 1 とすると、35 頭が 10 日で食べる草の量はいくつですか。

答え（１）
350
解き方（１）
1 × 35 × 10 = 350

（２）牛 1 頭が 1 日で食べる草の量を 1 とすると、最初にあった草の量と 5 日間で成長する草の量をあわせるといくつですか。

答え（２）
300
解き方（２）
60 頭が 5 日で食べる草の量と同じなので、
1 × 60 × 5 = 300

（３）この牧場に牛を 15 頭入れると草は何日でなくなりますか。

答え（３）
50 日
解き方（３）

図より、1 日に成長する草の量は、
( 350 – 300 ) ÷ 5 = 10
よって、最初にあった草の量は、
300 – 5 × 10 = 250
15 頭入れると □ 日で草がなくなるとする。

図より、次の式が成り立つ。
15 × □ – 10 × □ = 250
5 × □ = 250
□ = 50 [日]

問５

定員が 1000 人の劇場で、ミュージカルが行われます。開場時間の午後 6 時 には入場口に 288 人の行列ができていて、その後も一定の割合でお客さんがやってきます。午後 6 時に入場口を 2 か所開けたところ、午後 6 時 30 分までに入場した人の数は定員の 48 % になりました。また、午後 6 時 30 分に入場口を何か所か増やして入場を続けたところ、午後 6 時 36 分に行列がなくなり、そのときまでに入場した人の数は定員の 72 % になりました。さらに、それと同時に入場口の数を 1 か所にして、入場を続けました。その後も同じ割合でお客さんはやってきますが、入場した人の数が定員の 100 % になったときに入場口を締しめ切ります。ただし、どの入場口も 1 分間に入場できる人数は同じです。

（１）1 か所の入場口から 1 分間に入場できる人数を答えなさい。

答え（１）
8 人
解き方（１）
午後 6 時から午後 6 時 30 分の 30 分間に 2 か所の入場口から入場した人数は、定員の 48 % より、
1000 × 0.48 = 480 [人]
よって、1 か所の入場口から 1 分間に入場できる人数は、
480 ÷ 2 ÷ 30 = 8 [人/分]

（２）1 分間にやってくるお客さんの人数を答えなさい。

答え（２）
12 人
解き方（２）
午後 6 時 30 分から午後 6 時 36 分の 6 分間に入場した人数は、
1000 × 0.72 – 480 = 240 [人]
1 か所の入場口から 6 分間に入場できる人数は、8 × 6 = 48 [人] より、この 6 分間に入場できた入場口の数は、
240 ÷ 48 = 5 [か所]
1 分間にやってくるお客さんの人数を □ 人とする。

図より、次の式が成り立つ。
30 × □ + 6 × □ = 720 – 288
36 × □ = 432
□ = 12 [人]

（３）入場口を締め切ったとき、入場できずに並んでいる人の数を答えなさい。

答え（３）
140 人
解き方（３）
入場口を締め切るまでに入場できる人数は、
1000 – 720 = 280 [人]
午後 6 時 36 分以降は入場口が 1 か所（ 1 分間に 8 人が入場可能 ）になるので、280 人が入場するのにかかる時間は、
280 ÷ 8 = 35 [分間]
1 分間にやってくるお客さんの人数は 12 人より、35 分間でやってくるお客さんの人数は、
12 × 35 = 420 [人]
よって、入場できずに並んでいる人の数は、
420 – 280 = 140 [人]