算数【基本】消去算

問１

（１）ある文房具店で、シャープペンシル6本と消しゴム6個の値段は1350円です。また、シャープペンシル3本と消しゴム6個の値段は同じです。このとき、シャープペンシル1本と消しゴム1個の値段はそれぞれいくらですか。

答え（１）

シャープペンシル 150円、消しゴム 75円

解き方（１）

シャープペンシル1本の値段を□円、消しゴム1個の値段を○円とすると、
式①・・・ 6 × □ + 6 × ○ = 1350
式②・・・ 3 × □ – 6 × ○ = 0
式① + 式②より、
9 × □ = 1350
□ = 150(円)
3 × 150 – 6 × ○ = 0
6 × ○ = 450
○ = 75(円)

（２）A君は、牛乳1本とたまご4個を買って、520円払いました。B君は、牛乳1本とたまご3個を買って、460円払いました。牛乳1本の値段はいくらですか。

答え（２）

280円

解き方（２）

牛乳1本の値段を□円、たまご1個の値段を○円とすると、
式①・・・ 1 × □ + 4 × ○ = 520
式②・・・ 1 × □ + 3 × ○ = 460
式② × 4 – 式① × 3 より、
4 × □ – 3 × □ = 460 × 4 – 520 × 3
□ = 280(円)

（３）りんご4個とかき3個の代金の合計は920円で、りんご5個とかき2個を190円のかごに入れると、代金の合計は1200円でした。りんご1個とかき1個の代金はそれぞれいくらですか。

答え（３）

りんご 170円、かき 80円

解き方（３）

りんご1個の代金を□円、かき1個の代金を○円とすると、
式①・・・ 4 × □ + 3 × ○ = 920
式②・・・ 5 × □ + 2 × ○ = 1200 – 190 = 1010
式② × 3 – 式① × 2 より、
15 × □ – 8 × □ = 3030 – 1840
7 × □ = 1190
□ = 170(円)
4 × 170 + 3 × ○ = 920
3 × ○ = 920 – 680 = 240
○ = 80(円)

（４）和が77、差が13となる2つの数の積を求めなさい。

答え（４）

1440

解き方（４）

2つの数をそれぞれA、Bとする。(A＞B)
式①・・・　A + B = 77
式②・・・　A – B = 13
式① + 式②より、
2 × A = 90
A = 45
式①より、
45 + B = 77
B = 77 – 45 = 32
2つの数の積は、45 × 32 = 1440

問２

（１）3つの数A、B、Cについて、BとCはAのそれぞれ3倍と5倍で、AとBとCの合計は45です。このとき、A、B、Cの数を求めなさい。

答え（１）

A: 5、B: 15、C: 25

解き方（１）

BとCはAのそれぞれ3倍と5倍より、
式①・・・　B = 3 × A
式②・・・　C = 5 × A
AとBとCの合計は45より、
式③・・・　A + B + C = 45
式③ – 式① – 式② より
A = 45 – 3 × A – 5 × A
9 × A = 45
A = 5
B = 3 × A = 3 × 5 = 15
C = 5 × A = 5 × 5 = 25

（２）3つの数A、B、Cがあります。AはBより5小さく、BはCより11大きく、CとAは合わせて34であるとき、Bはいくつですか。

答え（２）

25

解き方（２）

AはBより5小さいより、
式①・・・　A = B – 5
BはCより11大きいより、
式②・・・　B = C + 11
CとAは合わせて34より、
式③・・・　C + A = 34
同じものは置き換えることができる（代入法）ので、式③のAを式①のAで置き換えると
C + B – 5 = 34
B + C = 39 ・・・ 式④
次に式④のBを式②のBで置き換えると
C + 11 + C = 39
2 × C = 28
C = 14
式②よりB = 25

（３）AさんBさんの所持金の合計は4230円、AさんとCさんの所持金の合計は3010円で、Bさんの所持金はCさんの所持金の3倍です。

① BさんとCさんの所持金の差はいくらですか。

答え（３）- ①

1220円

解き方（３）- ①

Aさん、Bさん、Cさんの所持金をそれぞれA(円)、B(円)、C(円)とし、3人の所持金の関係を式にする。
AさんBさんの所持金の合計は4230円より、
式①・・・　A + B = 4230
AさんとCさんの所持金の合計は3010円より、
式②・・・　A + C = 3010
Bさんの所持金はCさんの所持金の3倍より、
式③・・・　B = 3 × C
① – ②より、
B – C = 4230 – 3010 = 1220(円)

② Aさん、Bさん、Cさんの所持金をそれぞれ求めなさい。

答え（３）- ②

Aさん 2400円、Bさん 1830円、Cさん 610円

解き方（３）- ②

前問の答えより式④・・・　B – C =1220
式④のBを式③のBで置き換えると（代入法）
3 × C – C = 1220
2 × C = 1220C = 610(円)
式③より、B = 3 × 610 = 1830(円)
式②より、A + 610 = 3010
A = 3010 – 610 = 2400(円)

（４）長さ1.2mのリボンをA、B、Cの3本に分けます。AとCは同じ長さ、CはBの半分の長さになるようにすると、Cの長さは何cmですか。

答え（４）

30cm

解き方（４）

リボンA、B、Cの長さをそれぞれA(cm)、B(cm)、C(cm)とし、3本のリボンの長さの関係を式にする。
もとの長さは1.2m(120cm)より、
式①・・・　A + B + C = 120
AとCは同じ長さより、
式②・・・　A = C
CはBの半分の長さより、
C = \(\dfrac{1}{2}\) × B
2 × C = B　・・・式③
式①のAを式②で、式①のBを式③で置き換えると、
C + 2 × C + C = 120
4 × C = 120
C = 30(cm)

（５）A、B、Cの3人の所持金の合計は5000円です。A、Bの所持金の和はCの所持金より600円多く、AとCの所持金の和はBの所持金と等しいとき、Aの所持金はいくらですか。

答え（５）

300円

解き方（５）

A、B、Cの所持金をそれぞれA(円)、B(円)、C(円)とし、3人の所持金の関係を式にする。
A、B、Cの3人の所持金の合計は5000円より、
式①・・・　A + B + C = 5000
A、Bの所持金の和はCの所持金より600円多いより、
式②・・・　A + B = C + 600
AとCの所持金の和はBの所持金と等しいより、
式③・・・　A + C = B
式①を式②で置き換えると、
C + 600 + C = 5000
2 × C = 4400
C = 2200
式②、式③のCは2200なので、
式② ⇒ A + B = 2800　・・・式②’
式③ ⇒ A + 2200 = B　・・・式③’
式②’のBを式③’のBで置き換えると
A + A + 2200 = 2800
2 × A = 600
A = 300(円)

（６）Aさんは1個50円のキャンディーを、Bさんは1個70円のキャンディーを買いました。買った個数はAさんの方が4個多く、支払った金額はBさんの方が40円多くなりました。このとき、Aさんが買ったキャンディは何個ですか。

答え（６）

16個

解き方（６）

Aさん、Bさんが買ったキャンディーの個数をそれぞれA(個)、B(個)とし、買った個数と支払った金額の関係を式にする。
買った個数はAさんの方が4個多いより、
式①・・・　A – B = 4
支払った金額はBさんの方が40円多いより、
式②・・・　70 × B – 50 × A = 40
式①より、
B = A – 4
両辺を70倍すると、
70 × B = 70 × (A – 4)
70 × B = 70 × A – 280　・・・式①’
式②を式①’で置き換えると、
70 × A – 280 – 50 × A = 40
20 × A = 40 + 280 = 320
A = 16(個)

（７）180円のりんごと80円のみかんを、合わせて15個買えるお金があります。このお金で、りんごとみかんの個数を入れかえて15個買うと、100円不足します。お金はいくらありますか。

答え（７）

1900円

解き方（７）

入れかえる前のりんごの個数を□個、みかんの個数を○個とすると、買った個数は合わせて15個より、
式①・・・　□ + ○ = 15
入れかえる前の金額は 180 × □ + 80 × ○(円)、入れかえた後の金額は 180 × ○ + 80 × □(円)と表すことができ、個数を入れかえて買うと100円不足することより、
式②・・・　180 × □ + 80 × ○ = 180 × ○ + 80 × □ – 100
100 × □ = 100 × ○ – 100
両辺を100で割ると、
□ = ○ – 1　・・・式②’
①を②’で置き換えると、
○ – 1 + ○ = 15
2 × ○ = 16
○ = 8(個)
□ = 15 – 8 = 7(個)
持っていたお金は、180 × □ + 80 × ○ = 180 × 7 + 80 × 8 = 1900(円)

（８）Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人がテストを受けた結果、次のようになりました。

ア、AさんはDさんよりも24点高い。

イ、BさんはDさんよりも12点高い。

ウ、CさんはAさんよりも8点高い。

エ、4人の平均点は82点である。

① 最高点と最低点の差は何点ですか。

答え（８）- ①

32点

解き方（８）- ①

ア～ウよりCさんは、Aさん、Bさん、Dさんより高い点数であり、Dさんの点数が最低点であることがわかる。最高得点のCさんと最低点のDさんとの点数の差は、Aさんを基準に考えればよく
C ←8点→ A ←24点→ D となるので、
8 + 24 = 32(点)

② Aさんの点数は何点ですか。

答え（８）- ②

89点

解き方（８）- ②

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんのテストの点数を、A(点)、B(点)、C(点)、D(点)すると、
アより、
式①・・・　A = D + 24
イより、
式②・・・　B = D + 12
前問①より、
式③・・・　C = D + 32
エより、
A + B + C + D = 4 × 82
A + B + C + D = 328　・・・式④
式④を式①②③で置き換えると、
D + 24 + D + 12 + D + 32 + D = 328
4 × D = 260
D = 65
式①より、A = D + 24 = 65 + 24 = 89(点)

（９）A、B、C、D、Eの5種類の異なる石が1つずつあり、以下のことがわかっています。3番目に重い石はどの石で、重さは何gですか。

（ア）5個の重さの合計は1160gで、体積の合計は350cm³です。

（イ）Aの体積はCよりも20cm³大きく、Aの5cm³あたりの重さ15gです。

（ウ）Bの1cm³あたりの重さは2.5gです。

（エ）Cの体積はBよりも10cm³小さく、Cの1cm³あたりの重さは3gです。

（オ）Dの重さは230gで、体積は50cm³です。

（カ）Eの体積は60cm³です。

答え（９）

D、230g

解き方（９）

体積についての情報が多いので、まず、それぞれの石の体積を求める。石A、B、C、D、Eのそれぞれの体積をA(cm³)、B(cm³)、C(cm³)、D(cm³)、E(cm³)とする。
(ア)より、A + B + C + D + E = 350　・・・式①
(イ)より、A = C + 20　・・・式②
(エ)より、C = B – 10
B = C + 10　・・・式③
(オ)より、D = 50　・・・式④
(カ)より、E = 60　・・・式⑤
式①を式②③④⑤で置き換えると、
C + 20 + C + 10 + C + 50 + 60 = 350
3 × C = 210
C = 70(cm³)
式②より、A = 70 + 20 = 90(cm³)
式③より、B = 70 + 10 = 80(cm³)

次にそれぞれの石の重さを求める。
(イ)より石Aの重さは、90 × \(\dfrac{15}{5}\) = 270(g)
(ウ)より石Bの重さは、80 × 2.5 = 200(g)
(エ)より石Cの重さは、70 × 3 = 210(g)
(オ)より石Dの重さは、230g
石Eの重さを□gとすると、(ア)より、
270 + 200 + 210 + 230 + □ = 1160
□ = 250(g)
よって3番目に重い石はDで、重さは230g

問３

（１）図のように3つの整数A、B、Cが並んでいます。Cが100で、各段の数の合計がすべて等しいとき、Aはいくつですか。

答え（１）

50

解き方（１）

各段の合計は、
1段目　3 × A + 4 × C = 3 × A + 4 × 100 = 3 × A + 400
2段目　2 × A + B + 3 × C = 2 × A + B + 3 × 100 = 2 × A + B + 300
3段目　3 × A + 2 × B + C = 3 × A + 2 × B + 100 = 3 × A + 2 × B + 100
各段の合計は等しいことから、
1段目 = 2段目より、
3 × A + 400 = 2 × A + B + 300
A + 100 = B　・・・式①
1段目 = 3段目より、
3 × A + 400 = 3 × A + 2 × B + 100
2 × B = 300
B = 150　・・・式②
式①を式②で置き換えると、
A + 100 = 150
A = 50

（２）○、△、□の3種類のおもりがあります。（図1）と（図2）はつり合っています。

① △は□の何個分の重さですか。

答え（２）- ①

2個

解き方（２）- ①

(図1)より、2 × ○ + 5 × △ = 15 × □　・・・式①
(図2)より、7 × △ = 2 × ○ + 9 × □　・・・式②
式① + 式②より、
2 × ○ + 5 × △ + 7 × △ = 15 × □ + 2 × ○ + 9 × □
12 × △ = 24 × □
△ = 2 × □
よって、△は□の2個分の重さ。

② ○は□の重さの何倍ですか。

答え（２）- ②

2\(\dfrac{1}{2}\)倍（または、2.5倍）

解き方（２）- ②

(図1)より、2 × ○ + 5 × △ = 15 × □　・・・式①
前問①より、△ = 2 × □ なので、両辺を5倍すると、
5 × △ = 10 × □　・・・式③
式①を式③で置き換えると、
2 × ○ + 10 × □ = 15 × □
2 × ○ = 5 × □
○ = \(\dfrac{5}{2}\) × □ = 2\(\dfrac{1}{2}\) × □ (= 2.5 × □)
よって、○は□の重さの2\(\dfrac{1}{2}\)倍

③ （図3）の右側の皿に□のおもりを何個のせるとつり合いますか。

答え（２）- ③

28個

解き方（２）- ③

(図3)より、左側の皿にのっているおもりは、8 × ○ + 4 × △　・・・④と表すことができる。
前問①、②より、
△ = 2 × □
○ = \(\dfrac{5}{2}\) × □ なので、
式④に置き換えると、
8 × (\(\dfrac{5}{2}\) × □ ) + 4 × (2 × □) = 20 × □ + 8 × □ = 28 × □
よって、右側の皿に□のおもりを28個のせるとつり合う。