算数【基本】消去算

問１

（１）ある文房具店で、シャープペンシル 6 本と消しゴム 6 個の値段は 1350 円です。また、シャープペンシル 3 本と消しゴム 6 個の値段は同じです。このとき、シャープペンシル 1 本と消しゴム 1 個の値段はそれぞれいくらですか。

答え（１）

シャープペンシル：150 円　消しゴム：75 円

解き方（１）

シャープペンシル 1 本の値段を □ 円、消しゴム 1 個の値段を ○ 円とすると、
式①・・・ 6 × □ + 6 × ○ = 1350
式②・・・ 3 × □ – 6 × ○ = 0
式① + 式②より、
9 × □ = 1350
□ = 150 [円]
3 × 150 – 6 × ○ = 0
6 × ○ = 450
○ = 75 [円]

（２）A 君は、牛乳 1 本とたまご 4 個を買って、520 円払いました。B 君は、牛乳 1 本とたまご 3 個を買って、460 円払いました。牛乳 1 本の値段はいくらですか。

答え（２）

280 円

解き方（２）

牛乳 1 本の値段を □ 円、たまご 1 個の値段を ○ 円とすると、
式①・・・ 1 × □ + 4 × ○ = 520
式②・・・ 1 × □ + 3 × ○ = 460
式② × 4 – 式① × 3 より、
4 × □ – 3 × □ = 460 × 4 – 520 × 3
□ = 280 [円]

（３）りんご 4 個とかき 3 個の代金の合計は 920 円で、りんご 5 個とかき 2 個を 190 円のかごに入れると、代金の合計は 1200 円でした。りんご 1 個とかき 1 個の代金はそれぞれいくらですか。

答え（３）

りんご：170 円　かき：80 円

解き方（３）

りんご 1 個の代金を □ 円、かき 1 個の代金を ○ 円とすると、
式①・・・ 4 × □ + 3 × ○ = 920
式②・・・ 5 × □ + 2 × ○ = 1200 – 190 = 1010
式② × 3 – 式① × 2 より、
15 × □ – 8 × □ = 3030 – 1840
7 × □ = 1190
□ = 170 [円]
4 × 170 + 3 × ○ = 920
3 × ○ = 920 – 680 = 240
○ = 80 [円]

（４）和が 77、差が 13 となる 2 つの数の積を求めなさい。

答え（４）

1440

解き方（４）

2 つの数をそれぞれ A、B とする。(A ＞ B)
式①・・・　A + B = 77
式②・・・　A – B = 13
式① + 式②より、
2 × A = 90
A = 45
式①より、
45 + B = 77
B = 77 – 45 = 32
2 つの数の積は、45 × 32 = 1440

問２

（１）3 つの数A、B、C について、B と C は A のそれぞれ 3 倍と 5 倍で、A と B と C の合計は 45 です。このとき、A、B、C の数を求めなさい。

答え（１）

A：5　B：15　C：25

解き方（１）

B と C は A のそれぞれ 3 倍と 5 倍より、
式 ①・・・　B = 3 × A
式 ②・・・　C = 5 × A
A と B と C の合計は 45 より、
式 ③・・・　A + B + C = 45
式 ③ – 式 ① – 式 ② より
A = 45 – 3 × A – 5 × A
9 × A = 45
A = 5
B = 3 × A = 3 × 5 = 15
C = 5 × A = 5 × 5 = 25

（２）3 つの数 A、B、C があります。A は B より5小さく、B はC より 11 大きく、C と A は合わせて 34 であるとき、B はいくつですか。

答え（２）

25

解き方（２）

A は B より 5 小さいより、
式 ①・・・　A = B – 5
B は C より 11 大きいより、
式 ②・・・　B = C + 11
C と A は合わせて 34 より、
式 ③・・・　C + A = 34
同じものは置き換えることができる（ 代入法 ）ので、式 ③ の A を式 ① の A で置き換えると
C + B – 5 = 34
B + C = 39 ・・・ 式 ④
次に式 ④ の B を式 ② の B で置き換えると
C + 11 + C = 39
2 × C = 28
C = 14
式 ② より B = 25

（３）A さん B さんの所持金の合計は 4230 円、A さんと C さんの所持金の合計は 3010 円で、B さんの所持金は C さんの所持金の 3 倍です。

① B さんと C さんの所持金の差はいくらですか。

答え（３）- ①

1220 円

解き方（３）- ①

A さん、B さん、C さん の所持金をそれぞれA [円]、B [円]、C [円]とし、3 人の所持金の関係を式にする。
A さん B さんの所持金の合計は 4230 円より、
式 ①・・・　A + B = 4230
A さんと C さんの所持金の合計は 3010 円より、
式 ②・・・　A + C = 3010
B さんの所持金は C さんの所持金の 3 倍より、
式 ③・・・　B = 3 × C
① – ② より、
B – C = 4230 – 3010 = 1220 [円]

② A さん、B さん、C さんの所持金をそれぞれ求めなさい。

答え（３）- ②

A さん：2400 円　B さん：1830 円　C さん：610 円

解き方（３）- ②

前問の答えより式 ④・・・　B – C =1220
式 ④ の B を式③の B で置き換えると（ 代入法 ）
3 × C – C = 1220
2 × C = 1220C = 610 [円]
式 ③ より、B = 3 × 610 = 1830 [円]
式 ② より、A + 610 = 3010
A = 3010 – 610 = 2400 [円]

（４）長さ 1.2 m のリボンを A、B、C の 3 本に分けます。A と C は同じ長さ、C は B の半分の長さになるようにすると、C の長さは何 cm ですか。

答え（４）

30 cm

解き方（４）

リボン A、B、Cの長さをそれぞれ A [cm]、B [cm]、C [cm]とし、3 本のリボンの長さの関係を式にする。
もとの長さは1.2 m ( 120 cm )より、
式 ①・・・　A + B + C = 120
A と C は同じ長さより、
式 ②・・・　A = C
C は B の半分の長さより、
C = \(\dfrac{1}{2}\) × B
2 × C = B　・・・式 ③
式 ① の A を式 ② で、式 ① の B を式 ③ で置き換えると、
C + 2 × C + C = 120
4 × C = 120
C = 30 [cm]

（５）A、B、C の 3 人の所持金の合計は 5000 円です。A、B の所持金の和は C の所持金より 600 円多く、A と C の所持金の和は B の所持金と等しいとき、A の所持金はいくらですか。

答え（５）

300 円

解き方（５）

A、B、C の所持金をそれぞれ A [円]、B [円]、C [円]とし、3 人の所持金の関係を式にする。
A、B、C の 3 人の所持金の合計は 5000 円より、
式 ①・・・　A + B + C = 5000
A、B の所持金の和は C の所持金より 600 円多いより、
式 ②・・・　A + B = C + 600
A と C の所持金の和は B の所持金と等しいより、
式 ③・・・　A + C = B
式 ① を式 ② で置き換えると、
C + 600 + C = 5000
2 × C = 4400
C = 2200
式 ②、式 ③ の C は 2200 なので、
式 ② ⇒ A + B = 2800　・・・式 ②’
式 ③ ⇒ A + 2200 = B　・・・式 ③’
式 ②’ の B を式 ③’ の B で置き換えると
A + A + 2200 = 2800
2 × A = 600
A = 300 [円]

（６）A さんは 1 個 50 円のキャンディーを、B さんは 1 個 70 円のキャンディーを買いました。買った個数は A さんの方が 4 個多く、支払った金額は B さんの方が 40 円多くなりました。このとき、A さんが買ったキャンディは何個ですか。

答え（６）

16 個

解き方（６）

A さん、B さんが買ったキャンディーの個数をそれぞれ A [個]、B [個] とし、買った個数と支払った金額の関係を式にする。
買った個数は A さんの方が 4 個多いより、
式 ①・・・　A – B = 4
支払った金額は B さんの方が 40 円多いより、
式 ②・・・　70 × B – 50 × A = 40
式 ① より、
B = A – 4
両辺を 70 倍すると、
70 × B = 70 × (A – 4)
70 × B = 70 × A – 280　・・・式 ①’
式 ② を式 ①’ で置き換えると、
70 × A – 280 – 50 × A = 40
20 × A = 40 + 280 = 320
A = 16 [個]

（７）180 円のりんごと 80 円のみかんを、合わせて 15 個買えるお金があります。このお金で、りんごとみかんの個数を入れかえて 15 個買うと、100 円不足します。お金はいくらありますか。

答え（７）

1900 円

解き方（７）

入れかえる前のりんごの個数を □ 個、みかんの個数を ○ 個とすると、買った個数は合わせて 15 個より、
式 ①・・・　□ + ○ = 15
入れかえる前の金額は 180 × □ + 80 × ○ [円]、入れかえた後の金額は 180 × ○ + 80 × □ [円] と表すことができ、個数を入れかえて買うと 100 円不足することより、
式 ②・・・　180 × □ + 80 × ○ = 180 × ○ + 80 × □ – 100
100 × □ = 100 × ○ – 100
両辺を100で割ると、
□ = ○ – 1　・・・式 ②’
① を ②’ で置き換えると、
○ – 1 + ○ = 15
2 × ○ = 16
○ = 8 [個]
□ = 15 – 8 = 7 [個]
持っていたお金は、180 × □ + 80 × ○ = 180 × 7 + 80 × 8 = 1900 [円]

（８）A さん、B さん、C さん、D さんの 4 人がテストを受けた結果、次のようになりました。

ア、A さんは D さんよりも 24 点高い。

イ、B さんは D さんよりも 12 点高い。

ウ、C さんは A さんよりも 8 点高い。

エ、4 人の平均点は 82 点である。

① 最高点と最低点の差は何点ですか。

答え（８）- ①

32 点

解き方（８）- ①

ア～ウより C さんは、A さん、B さん、D さんより高い点数であり、D さんの点数が最低点であることがわかる。最高得点の C さんと最低点の D さんとの点数の差は、A さんを基準に考えればよく
C ←8 点→ A ←24 点→ D となるので、
8 + 24 = 32 [点]

② A さんの点数は何点ですか。

答え（８）- ②

89 点

解き方（８）- ②

A さん、B さん、C さん、D さんのテストの点数を、A [点]、B [点]、C [点]、D [点]すると、
アより、
式 ①・・・　A = D + 24
イより、
式 ②・・・　B = D + 12
前問 ① より、
式 ③・・・　C = D + 32
エより、
A + B + C + D = 4 × 82
A + B + C + D = 328　・・・式 ④
式 ④ を式 ① ② ③ で置き換えると、
D + 24 + D + 12 + D + 32 + D = 328
4 × D = 260
D = 65
式 ① より、A = D + 24 = 65 + 24 = 89 [点]

（９）A、B、C、D、E の 5 種類の異なる石が 1 つずつあり、以下のことがわかっています。3 番目に重い石はどの石で、重さは何 g ですか。

（ア）5 個の重さの合計は 1160 gで、体積の合計は350 cm³ です。

（イ）A の体積は C よりも20 cm³ 大きく、A の 5 cm³ あたりの重さ 15 g です。

（ウ）B の 1 cm³ あたりの重さは 2.5 g です。

（エ）C の体積は B よりも 10 cm³ 小さく、C の 1 cm³ あたりの重さは 3 g です。

（オ）D の重さは 230 g で、体積は 50 cm³ です。

（カ）E の体積は 60 cm³ です。

答え（９）

D、230 g

解き方（９）

体積についての情報が多いので、まず、それぞれの石の体積を求める。石 A、B、C、D、E のそれぞれの体積をA [cm³]、B [cm³]、C [cm³]、D [cm³)]、E [cm³)] とする。
(ア)より、A + B + C + D + E = 350　・・・式 ①
(イ)より、A = C + 20　・・・式 ②
(エ)より、C = B – 10
B = C + 10　・・・式 ③
(オ)より、D = 50　・・・式 ④
(カ)より、E = 60　・・・式 ⑤
式 ① を式 ② ③ ④ ⑤ で置き換えると、
C + 20 + C + 10 + C + 50 + 60 = 350
3 × C = 210
C = 70 [cm³)]
式 ② より、A = 70 + 20 = 90(cm³)
式 ③ より、B = 70 + 10 = 80 [cm³)]

次にそれぞれの石の重さを求める。
(イ)より石 A の重さは、90 × \(\dfrac{15}{5}\) = 270 [g]
(ウ)より石 B の重さは、80 × 2.5 = 200 [g]
(エ)より石 C の重さは、70 × 3 = 210 [g]
(オ)より石 D の重さは、230 g
石Eの重さを □ g とすると、(ア)より、
270 + 200 + 210 + 230 + □ = 1160
□ = 250 [g]
よって 3 番目に重い石は D で、重さは 230 g

問３

（１）図のように 3 つの整数 A、B、C が並んでいます。C が 100 で、各段の数の合計がすべて等しいとき、A はいくつですか。

答え（１）

50

解き方（１）

各段の合計は、
1 段目　3 × A + 4 × C = 3 × A + 4 × 100 = 3 × A + 400
2 段目　2 × A + B + 3 × C = 2 × A + B + 3 × 100 = 2 × A + B + 300
3 段目　3 × A + 2 × B + C = 3 × A + 2 × B + 100 = 3 × A + 2 × B + 100
各段の合計は等しいことから、
1 段目 = 2 段目より、
3 × A + 400 = 2 × A + B + 300
A + 100 = B　・・・式①
1 段目 = 3 段目より、
3 × A + 400 = 3 × A + 2 × B + 100
2 × B = 300
B = 150　・・・式②
式 ① を式 ② で置き換えると、
A + 100 = 150
A = 50

（２）○、△、□ の 3 種類のおもりがあります。（ 図 1 ）と（ 図 2 ）はつり合っています。

① △ は □ の何個分の重さですか。

答え（２）- ①

2 個

解き方（２）- ①

( 図 1 )より、2 × ○ + 5 × △ = 15 × □　・・・式 ①
( 図 2 )より、7 × △ = 2 × ○ + 9 × □　・・・式 ②
式 ① + 式 ② より、
2 × ○ + 5 × △ + 7 × △ = 15 × □ + 2 × ○ + 9 × □
12 × △ = 24 × □
△ = 2 × □
よって、△ は □ の 2 個分の重さ。

② ○ は □ の重さの何倍ですか。

答え（２）- ②

2\(\dfrac{1}{2}\) 倍（ または、2.5 倍 ）

解き方（２）- ②

( 図 1 )より、2 × ○ + 5 × △ = 15 × □　・・・式 ①
前問 ① より、△ = 2 × □ なので、両辺を 5 倍すると、
5 × △ = 10 × □　・・・式 ③
式 ① を式 ③ で置き換えると、
2 × ○ + 10 × □ = 15 × □
2 × ○ = 5 × □
○ = \(\dfrac{5}{2}\) × □ = 2\(\dfrac{1}{2}\) × □ ( = 2.5 × □ )
よって、○ は □ の重さの 2\(\dfrac{1}{2}\) 倍

③ （図3）の右側の皿に □ のおもりを何個のせるとつり合いますか。

答え（２）- ③

28 個

解き方（２）- ③

( 図 3 )より、左側の皿にのっているおもりは、8 × ○ + 4 × △　・・・④ と表すことができる。
前問 ①、② より、
△ = 2 × □
○ = \(\dfrac{5}{2}\) × □ なので、
式 ④ に置き換えると、
8 × (\(\dfrac{5}{2}\) × □ ) + 4 × (2 × □) = 20 × □ + 8 × □ = 28 × □
よって、右側の皿に □ のおもりを 28 個のせるとつり合う。