算数【基本】集合・ベン図

問１

（１）あるクラスの生徒 30 人に、プリンとコーヒーゼリーのそれぞれどちらが好きかどうかのアンケートを取りました。プリンを好きな生徒は 11 人、コーヒーゼリーを好きな生徒は 15 人で、そのうちどちらも好きな生徒は 4 人でした。

アンケートの結果をベン図で表す

① プリンだけを好きな生徒は何人ですか。

答え（１）- ①: 7 人

解き方（１）- ①: プリンだけを好きな生徒の人数 = プリンを好きな生徒の人数 – どちらも好きな生徒の人数より、
11 – 4 = 7 [人]

② どちらも好きでない生徒は何人ですか。

答え（１）- ②: 8 人

解き方（１）- ②: どちらも好きでない生徒の人数は、
生徒の人数 – プリンまたはコーヒーゼリーを好きな生徒の人数
プリンまたはコーヒーゼリーを好きな生徒の人数は、
7 + 15 = 22 [人]
よって、
30 – 22 = 8 [人]

③ プリンまたはコーヒーゼリーのどちらか一方だけを好きな生徒は何人ですか。

答え（１）- ③: 18 人

解き方（１）- ③: ① よりプリンだけを好きな生徒は 7 人。
コーヒーゼリーだけを好きな生徒は、15 – 4 = 11 [人]
よって、どちらか一方だけを好きな生徒は、
７ + 11 = 18 [人]

（２）生徒が 40 人いるクラスで犬とねこのどちらを飼っているかを調査したところ、犬を飼っている人は 14 人、ねこを飼っている人は 29 人でした。

調査の結果をベン図で表す

① 犬とねこをどちらも飼っている人は、最も少なくて何人ですか。

答え（２）- ①: 3 人

解き方（２）- ①: どちらも飼っている人が最も少なくなるのは、どちらも飼っていない人が 0 人のとき。
犬を飼っている人とねこを飼っている人の和が、生徒数より多い分がどちらも飼っている人になるので、
43 – 40 = 3 [人]

② 犬とねこをどちらも飼っている人が 12 人のとき、犬とねこをどちらも飼っていない人は何人ですか。

答え（２）- ②: 9 人

解き方（２）- ②: どちらも飼っていない人 = 生徒数 – 犬またはねこを飼っている人
犬またはねこを飼っている人 = ( 犬を飼っている人 + ねこを飼っている人 ) – どちらも飼っている人より、
14 + 29 – 12 = 31 [人]
よってどちらも飼っていない人は、
40 – 31 = 9 [人]

（３）40 人のクラスで、電車を使って通学している人は 28 人、バスを使って通学している人は 16 人、電車もバスも使っていない人は 3 人でした。電車とバスの両方を使っている人は何人ですか。

答え（３）: 7 人

解き方（３）: 電車かバスを使って通学している人は、28 + 16 = 44 [人]
電車もバスも使っていない人は 3 人なので、電車かバスを使っている人は、40 – 3 = 37 [人]
よって、44 – 37 = 7 [人]

（４）35 人の学級で、兄と姉のいる人の人数を調べました。兄も姉もいる人は 6 人、兄も姉もいない人は 8 人で、兄だけがいる人は 14 人です。姉だけがいる人は何人ですか。

答え（４）: 7 人

解き方（４）: 全生徒から、兄だけいる人、両方いる人、両方いない人を引けば、姉だけがいる人を求めることができる。
35 – 14 – 6 – 8 = 7 [人]

（５）2 けたの整数のうち、5 で割り切れるが 8 で割り切れない整数はいくつありますか。

答え（５）: 16 個

解き方（５）: 2 けたの整数 = 10 ～ 99までの整数
5 で割り切れるが 8 で割り切れない整数 = 5の倍数のうち、5 と 8 の公倍数（ 40 の倍数）でないもの
2 けたの整数で 5 の倍数の個数を求める。
1 ～ 99 までは、99 ÷ 5 = 19. … より 19 個
1 ～ 9 までは、9 ÷ 5 = 1. … より 1 個
10 ～ 99 までは、19 – 1 = 18 [個]
2 けたの整数で 40 の倍数の個数を求める。
1 ～ 99 までは、99 ÷ 40 = 2. … より 2 個
よって、18 – 2 = 16 [個]

（６）1 から 100 までの整数の中で、3 の倍数でも 7 の倍数でもない数は何個ありますか。

答え（６）: 57 個

解き方（６）: 3 の倍数は、100 ÷ 3 = 33. … より 33 個
7 の倍数は、100 ÷ 7 = 14. … より 14 個
3 と 7 の公倍数( 21 の倍数 ) は、100 ÷ 21 = 4. … より 4 個

3 または 7 の倍数は、
33 + 14 – 4 = 43 [個]
3 の倍数でも 7 の倍数でもない数は、
100 – 43 = 57 [個]

問２

（１）ある学年で国語と算数のテストをしました。国語のテストで 70 点以上をとった生徒は学年全体の \(\dfrac{4}{5}\) でした。算数のテストで 70 点以上をとった生徒は学年全体の \(\dfrac{2}{3}\) でした。両方のテストで 70 点以上をとった生徒は学年全体の \(\dfrac{5}{9}\) でした。両方のテストとも 70 点未満だった生徒は 36 人でした。

① 学年全体の人数を □ 人とするとき、国語だけ 70 点以上だった生徒は何人ですか。□ を使った式で表しなさい。

答え（１）- ①: \(\dfrac{11}{45}\) × □

解き方（１）- ①: テストの結果をベン図で表す。

国語だけ 70 点以上だった人数 = 国語が 70 点以上の人数 – 両方 70 点以上の人数より、
\(\dfrac{4}{5}\) × □ – \(\dfrac{5}{9}\) × □
= ( \(\dfrac{4}{5}\) – \(\dfrac{5}{9}\) ) × □ = \(\dfrac{11}{45}\) × □ [人]

② 学年全体の人数を求めなさい。

答え（１）- ②: 405 人

解き方（１）- ②: 少なくとも一方が 70 点以上だった人数を □ を使ってあらわすと、
\(\dfrac{11}{45}\) × □ + \(\dfrac{2}{3}\) × □
= ( \(\dfrac{11}{45}\) + \(\dfrac{2}{3}\) ) × □ = \(\dfrac{41}{45}\) × □ [人]
両方とも 70 点未満の人数は、
□ – \(\dfrac{41}{45}\) × □ = \(\dfrac{4}{45}\) × □ [人]
と表すことができる。よって、
\(\dfrac{4}{45}\) × □ = 36
□ = 36 × \(\dfrac{45}{4}\) = 405 [人]

③ 国語だけ 70 点以上だった生徒の人数と、算数だけ 70 点以上だった生徒の人数を比べると、どちらが何人多かったですか。

答え（１）- ③: 国語が 54 人

解き方（１）- ③: ① ② より、国語だけ 70 点以上だった生徒の人数は、
\(\dfrac{11}{45}\) × 405 = 99 [人]
算数だけ 70 点以上だった生徒の人数は、
( \(\dfrac{2}{3}\) – \(\dfrac{5}{9}\) ) × 405
= \(\dfrac{1}{9}\) × 405 = 45 [人]
したがって、国語が 99 – 45 = 54 [人] 多かった。

（２）40 人のクラスで算数と国語のテストをしました。国語が 80 点以上の人は 22 人、算数が 80 点以上の人は 15 人でした。クラスの 30 % の人が、国語と算数の両方とも 80 点以上のとき、両方とも 80 点未満の人は何人ですか。

答え（２）: 15 人

解き方（２）: 両方とも 80 点以上の人は、40 × 0.3 = 12 [人]
テストの結果をベン図で表す。

少なくとも一方が 80 点以上の人は、
22 + 15 – 12 = 25 [人]
よって、両方とも 80 点未満の人は、
40 – 25 = 15 [人]

（３）ある学校の生徒 300 人について、そろばんと水泳を習っている人数を調べました。そろばんを習っている生徒は全体の 25 %、水泳を習っている生徒は全体の 30 %、そろばんも水泳も習っていない生徒は全体の 60 % でした。そろばんも水泳も習っている生徒は何人ですか。

答え（３）: 45 人

解き方（３）: そろばんを習っている生徒は 300 × 0.25 = 75 [人]
水泳を習っている生徒は 300 × 0.3 = 90 [人]
両方とも習っていない生徒は 300 × 0.6 = 180 [人] より、少なくとも一方を習っている生徒は 300 – 180 = 120 [人] である。

両方習っている生徒の人数は、
75 + 90 – 120 = 45 [人]

問３

A、B、C、D、E の 5 人の生徒うち、3 人は運動部（野球部またはサッカー部）に入り、2 人は文化部に入っていて、次の ① ～ ④ のことがわかっています。

① A、C、D は 3 人とも異なる部に入っています。

② B、D、E は 3 人とも異なる部に入っています。

③ 運動部に入っていないのは、C、E です。

④ 野球部には2名の生徒が入っています。

このとき、サッカー部に入っているのはどの生徒ですか。

答え: D

解き方: ③ より、C、E は文化部である。すなわち、運動部に入っているのは、A、B、D の 3 人。
① ② より、D は A、B の 2 人とは異なる部に入っている。
よって、サッカー部に入っているのは D。