算数【基本】周期算
問１
（１）1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, … のように数が規則正しく並んでいます。この数をすべて加えると112になりました。この数の並びに3は何回現れますか。
- 答え（１）
- 13回
- 解き方（１）
- この数の並びは「1, 3, 5」の3個1組の繰り返しになっている。112 ÷ (1 + 3 + 5) = 12 あまり 4 より、「1, 3, 5」の繰り返しが12回、とあまりの4は「1, 3 」とわかる。よって、3が現れるのは13回。
（２）ある規則にしたがって、分数を並べました。
\(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{8}{4}\), \(\dfrac{7}{6}\), \(\dfrac{6}{2}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{8}{6}\), \(\dfrac{7}{2}\), \(\dfrac{6}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), …
このとき、左から数えて50番目に出てくる分数を求めなさい。
- 答え（２）
- \(\dfrac{7}{4}\)
- 解き方（２）
- 分子の並びは「8, 7, 6, 5」の4個1組の繰り返し、分母は「2, 4, 6」の3個1組の繰り返しになっている。よって、
50番目の分子の数は、50 ÷ 4 = 12 あまり 2 より、7
50番目の分母の数は、50 ÷ 3 = 16 あまり 2 より、4
よって50番目の分数は、\(\dfrac{7}{4}\) （３）TYUGAKUJUKENMONDAIという文字列を、下のように繰り返し並べます。\(\boxed{ }\) に適した答えを求めなさい。
TYUGAKUJUKENMONDAITYUGAKUJUKENMONDAI…
左から数えて2000番目の文字は \(\boxed{①}\)で、それまでにUという文字は \(\boxed{②}\) 回出てきます。
- 答え（３）
- ①：Y ②：333
- 解き方（３）
- 「TYUGAKUJUKENMONDAI」の文字列は18文字あり、そのうち「U」は3個ある。
2000番目の文字は、2000 ÷ 18 = 111 あまり 2 より「Y」
「U」が出てくる回数は、3 × 111 = 333(回) （４）2, 8, 3, 2, 8, 3, 2, 8, 3, 2, … のように数が規則正しく並んでいます。左から数えて1番目から100番目までの数の和はいくつですか。
- 答え（４）
- 431
- 解き方（４）
- この数の並びは「2, 8, 3」の3個1組の繰り返しになっていて、その和は13である。100 ÷ 3 = 33 あまり 1より、和は、
13 × 33 + 2 = 431 （５）下表のように、上段には数字が、下段には文字がある規則にしたがって並んでいます。左から数えて125番目にあたる上段の数字と下段の文字を答えなさい。
- 答え（５）
- 上段：2 下段：く
- 解き方（５）
- 上段の並びは「1, 2, 5」の3個1組の繰り返し、下段は「ち, ゆ, う, が, く」の5個1組の繰り返しになっている。よって、
125番目の上段の数字は、125 ÷ 3 = 41 あまり 2 より、2
125番目の下段の文字は、125 ÷ 5 = 25 あまり 0 より、「く」 （６）3, 1, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 4, … のように数が規則正しく並んでいます。はじめから何番目までを足すと和が4444になりますか。
- 答え（６）
- 1667番目
- 解き方（６）
- この数の並びは「3, 1, 4」の3個1組の繰り返しになっていて、その和は8である。4444 ÷ 8 = 555 あまり 4 より、3個の組が555組と、3、1の2個
3 × 555 + 2 = 1667(番目) （７）7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 1, 2, 0, 5, …のように、あるきまりにしたがって数が並んでいます。
① 1 番目から47番目までの数を全部足すと、いくつになりますか。
- 答え（７）①
- 155
- 解き方（７）①
- この数の並びは「7, 5, 1, 2, 0, 5」の6個1組の繰り返しになっていて、その和は20である。47 ÷ 6 = 7 あまり 5 より、
20 × 7 + (7 + 5 + 1 + 2 + 0) = 155 ② 100番目までに、5は何個ありますか。
- 答え（７）②
- 33個
- 解き方（７）②
- この数の並びは「7, 5, 1, 2, 0, 5」の6個1組の繰り返しになっていて、そのうち「5」は2個ある。100 ÷ 6 = 16 あまり 4 より、
2 × 16 + 1 = 33(個) （８）4, 1, 5, 4, 4, 1, 5, 4, 4, 1, …のように規則的に数が並んでいます。
① 最初から数えて23番目の数はなんですか。
- 答え（８）①
- 5
- 解き方（８）①
- この数の並びは「4, 1, 5, 4」の4個1組の繰り返しになっている。23 ÷ 4 = 5 あまり 3 より、23番目の数は5
② 最初から数えて23番目までに「4」は何個ありますか。
- 答え（８）②
- 11個
- 解き方（８）②
- この数の並びは「4, 1, 5, 4」の4個1組の繰り返しになっていて、そのうち「4」は2個ある。23 ÷ 4 = 5 あまり 3 より、2 × 5 + 1 = 11(個)
③ 最初から数えて1357番目までの数の和を求めなさい。
- 答え（８）③
- 4750
- 解き方（８）③
- この数の並びは「4, 1, 5, 4」の4個1組の繰り返しになっていて、その和は14である。1357 ÷ 4 = 339 あまり 1 より、14 × 339 + 4 = 4750
（９）○、△、□が規則的に並んでいます。77個目の○が出てくるのは、はじめから数えて何番目ですか。
○△○□□○○△○□□○○△○□□○○△○…
- 答え（９）
- 153番目
- 解き方（９）
- ○、△、□の並びは「○△○□□○」の6個1組の繰り返しになっていて、そのうち○は3個ある。77 ÷ 3 = 25 あまり 2 より、6 × 25 = 150。あまり 2 より〇△〇の3個となるので、150 + 3 = 153(番目)
（１０）白と黒の石をある規則にしたがって並べました。
○○●●○●○○●●○●○○●…
① 左から74番目の石は何色ですか。
- 答え（１０）①
- 白
- 解き方（１０）①
- 白と黒の石の並びは「○○●●○●」の6個1組の繰り返しになっている。74 ÷ 6 = 12 あまり 2 より、74番目の石は白色。
② 黒石だけを数えたとき、左から100番目の黒石は、全体でみて左から何番目ですか。
- 答え（１０）②
- 201番目
- 解き方（１０）②
- 白と黒の石の並びは「○○●●○●」の6個1組の繰り返しになっていて、そのうち黒石は3個ある。100 ÷ 3 = 33 あまり 1 より、100番目の黒石は、
6 × 33 + 3 = 201(番目) （１１）INUNEKOUSAGIINUNEKOUSAGI…と文字が規則にしたがって並んでいます。99番目の文字はなんですか。
- 答え（１１）
- U
- 解き方（１１）
- 文字の並びは「INUNEKOUSAGI」の12個1組の繰り返しになっている。99 ÷ 12 = 8 あまり 3 より、99番目の文字は「U」
（１２）数字の書かれた□と○が規則にしたがって並んでいます。数字の1が書かれた□を「四角の1」、数字の1が書かれた○を「丸の1」とします。
\(\boxed{1}\) \(\boxed{2}\) ③ \(\boxed{4}\) ⑤ ⑥ \(\boxed{7}\) \(\boxed{8}\) ⑨ \(\boxed{10}\) ① ② \(\boxed{3}\) \(\boxed{4}\) ⑤ \(\boxed{6}\) ⑦ ⑧ \(\boxed{9}\) \(\boxed{10}\) ① …
左から60番目は「\(\boxed{ア}\) の \(\boxed{イ}\)」です。
\(\boxed{ }\)に当てはまる文字または数字を答えなさい。
- 答え（１２）
- ア：丸 イ：10
- 解き方（１２）
- 数字と図形の別の並びと考えると、
| □ | □ | ○ | □ | ○ | ○ | □ | □ | ○ | □ | ○ | ○ | □ | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 2 | 3 | … |
図形の並びは「□, □, ○, □, ○, ○」の6個1組の繰り返し、数字の並びは「1, 2, 3, …, 10」の10個1組の繰り返しとなっている。よって、
60番目の図形は、60 ÷ 6 = 10 あまり 0 より○
60番目の数字は、60 ÷ 10 = 6 あまり 0 より10
問２
（１）7を2468回かけて得られる数の一の位の数を求めなさい。
- 答え（１）
- 1
- 解き方（１）
- 7をn回かけた数の一の位の数は「7, 9, 3, 1」の4個の繰り返しになる。2468 ÷ 4 = 617 あまり 0 より、2468回かけて得られる数の一の位の数は1
（２）3を3210回かけて得られる数の一の位の数を求めなさい。
- 答え（２）
- 9
- 解き方（２）
- 3をn回かけた数の一の位の数は「3, 9, 7, 1」の4個の繰り返しになる。3210 ÷ 4 = 802 あまり 2 より、3210回かけて得られる数の一の位の数は9
（３）37を2714個かけあわせてできる数の一の位の数はいくつになりますか。
- ヒント（３）
- 一の位が7の数をn回かけた数の一の位の数は、7をn回かけた数の一の位の数と同じ「7, 9, 3, 1」の繰り返しになる。
- 答え（３）
- 9
- 解き方（３）
- 37をn回かけた一の位の数は「7, 9, 3, 1」の4個の数の繰り返しになる。2714 ÷ 4 = 678 あまり 2 より、2714個かけあわせてできる数の一の位の数は9
（４）13を13回かけた数の一の位の数を求めなさい。
- ヒント（４）
- 一の位が3の数をn回かけた数の一の位の数は、3をn回かけた数の一の位の数と同じ「3, 9, 7, 1」の繰り返しになる。
- 答え（４）
- 3
- 解き方（４）
- 13をn回かけた一の位の数は「3, 9, 7, 1」の4個の数の繰り返しになる。13 ÷ 4 = 3 あまり 1 より、13回かけた数の一の位の数は3
問３
- ヒント
- ※循環小数
小数点以下の数字の並びが、同じ周期を限りなく繰り返す小数
（繰り返される数字の列を「循環節」という） （１）\(\dfrac{3}{13}\) を小数で表したとき、小数第1234位の数を求めなさい。
- 答え（１）
- 7
- 解き方（１）
- \(\dfrac{3}{13}\) = 0.2307692…より、循環節は「230769」の6個の数となる。1234 ÷ 6 = 205 あまり 4 より、小数第1234位の数は7
（２）\(\dfrac{1}{7}\) を小数で表したとき、小数第100位の数を求めなさい。
- 答え（２）
- 8
- 解き方（２）
- \(\dfrac{1}{7}\) = 0.1428571…より、循環節は「142857」の6個の数となる。100 ÷ 6 = 16 あまり 4 より、小数第100位の数は8
（３）\(\dfrac{4}{27}\) を小数で表したとき、小数第1位から小数第100位までの数をすべて足した数を求めなさい。
- 答え（３）
- 430
- 解き方（３）
- \(\dfrac{4}{27}\) = 0.148148…より、循環節は「148」の3個の数となり、その和は13。100 ÷ 3 = 33 あまり 1 より、求める和は、13 × 33 + 1 = 430
（４）\(\dfrac{13}{37}\) を小数で表したとき、小数第2222位の数を求めなさい。
- 答え（４）
- 5
- 解き方（４）
- \(\dfrac{13}{37}\) = 0.351351…より、循環節は「351」の3個の数となる。2222 ÷ 3 = 740 あまり 2 より、小数第2222位の数は5
（５）\(\dfrac{25}{7}\) を小数で表したとき、小数第1位から第20位までにあらわれる各位の数の和を求めなさい。
- 答え（５）
- 93
- 解き方（５）
- \(\dfrac{25}{7}\) = 3.5714285…より、循環節は「571428」の6個の数となり、その和は27。20 ÷ 6 = 3 あまり 2 より、小数第1位から第20位までにあらわれる各位の数の和は、
27 × 3 + (5 + 7) = 93 （６）\(\dfrac{28}{37}\) を小数で表したとき、小数第25位の数を求めなさい。
- 答え（６）
- 7
- 解き方（６）
- \(\dfrac{28}{37}\) = 0.756756…より、循環節は「756」の3個の数となる。25 ÷ 3 = 8 あまり 1 より、小数第25位の数は7
