算数【基本】周期算

問１

（１）1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, … のように数が規則正しく並んでいます。この数をすべて加えると 112 になりました。この数の並びに 3 は何回現れますか。

答え（１）
13 回
解き方（１）
この数の並びは「1, 3, 5」の 3 個 1 組の繰り返しになっている。112 ÷ (1 + 3 + 5) = 12 あまり 4 より、「1, 3, 5」の繰り返しが 12 回、とあまりの 4 は「1, 3 」とわかる。よって、3 が現れるのは 13 回。

（２）ある規則にしたがって、分数を並べました。

\(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{5}{2}\), \(\dfrac{8}{4}\), \(\dfrac{7}{6}\), \(\dfrac{6}{2}\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{8}{6}\), \(\dfrac{7}{2}\), \(\dfrac{6}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{8}{2}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{6}{6}\), …

このとき、左から数えて 50 番目に出てくる分数を求めなさい。

答え（２）
\(\dfrac{7}{4}\)
解き方（２）
分子の並びは「8, 7, 6, 5」の 4 個 1 組の繰り返し、分母は「2, 4, 6」の 3 個 1 組の繰り返しになっている。よって、
50 番目の分子の数は、50 ÷ 4 = 12 あまり 2 より、7
50 番目の分母の数は、50 ÷ 3 = 16 あまり 2 より、4
よって 50 番目の分数は、\(\dfrac{7}{4}\)

（３）TYUGAKUJUKENMONDAI という文字列を、下のように繰り返し並べます。□ に適した答えを求めなさい。

TYUGAKUJUKENMONDAITYUGAKUJUKENMONDAI…

左から数えて 2000 番目の文字は \(\boxed{ア}\) で、それまでに U という文字は \(\boxed{イ}\) 回出てきます。

答え（３）
ア：Y　イ：333
解き方（３）
「TYUGAKUJUKENMONDAI」の文字列は 18 文字あり、そのうち「U」は 3 個ある。
2000 番目の文字は、2000 ÷ 18 = 111 あまり 2 より「Y」
「U」が出てくる回数は、3 × 111 = 333 [回]

（４）2, 8, 3, 2, 8, 3, 2, 8, 3, 2, … のように数が規則正しく並んでいます。左から数えて 1 番目から 100 番目までの数の和はいくつですか。

答え（４）
431
解き方（４）
この数の並びは「2, 8, 3」の 3 個 1 組の繰り返しになっていて、その和は 13 である。100 ÷ 3 = 33 あまり 1より、和は、
13 × 33 + 2 = 431

（５）下表のように、上段には数字が、下段には文字がある規則にしたがって並んでいます。左から数えて 125 番目にあたる上段の数字と下段の文字を答えなさい。

上段12512512…
下段ちゆうがくちゆう…
答え（５）
上段：2　下段：く
解き方（５）
上段の並びは「1, 2, 5」の 3 個 1 組の繰り返し、下段は「ち, ゆ, う, が, く」の 5 個 1 組の繰り返しになっている。よって、
125 番目の上段の数字は、125 ÷ 3 = 41 あまり 2 より、2
125 番目の下段の文字は、125 ÷ 5 = 25 あまり 0 より、「く」

（６）3, 1, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 4, … のように数が規則正しく並んでいます。はじめから何番目までを足すと和が 4444 になりますか。

答え（６）
1667 番目
解き方（６）
この数の並びは「3, 1, 4」の 3 個 1 組の繰り返しになっていて、その和は 8 である。
4444 ÷ 8 = 555 あまり 4 より、3 個の組が 555 組と、3、1 の 2 個
3 × 555 + 2 = 1667 [番目]

（７）7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 1, 2, 0, 5, …のように、あるきまりにしたがって数が並んでいます。

① 1 番目から 47 番目までの数を全部足すと、いくつになりますか。

答え（７）- ①
155
解き方（７）- ①
この数の並びは「7, 5, 1, 2, 0, 5」の 6 個 1 組の繰り返しになっていて、その和は 20 である。
47 ÷ 6 = 7 あまり 5 より、
20 × 7 + (7 + 5 + 1 + 2 + 0) = 155

② 100 番目までに、5 は何個ありますか。

答え（７）- ②
33個
解き方（７）- ②
この数の並びは「7, 5, 1, 2, 0, 5」の 6 個 1 組の繰り返しになっていて、そのうち「5」は 2 個ある。100 ÷ 6 = 16 あまり 4 より、
2 × 16 + 1 = 33 [個]

（８）4, 1, 5, 4, 4, 1, 5, 4, 4, 1, …のように規則的に数が並んでいます。

① 最初から数えて 23 番目の数はなんですか。

答え（８）- ①
5
解き方（８）- ①
この数の並びは「4, 1, 5, 4」の 4 個 1 組の繰り返しになっている。23 ÷ 4 = 5 あまり 3 より、23 番目の数は 5

② 最初から数えて 23 番目までに「4」は何個ありますか。

答え（８）- ②
11 個
解き方（８）- ②
この数の並びは「4, 1, 5, 4」の 4 個 1 組の繰り返しになっていて、そのうち「4」は 2 個ある。23 ÷ 4 = 5 あまり 3 より、2 × 5 + 1 = 11 [個]

③ 最初から数えて 1357 番目までの数の和を求めなさい。

答え（８）③
4750
解き方（８）③
この数の並びは「4, 1, 5, 4」の 4 個 1 組の繰り返しになっていて、その和は 14 である。
1357 ÷ 4 = 339 あまり 1 より、14 × 339 + 4 = 4750

（９）○、△、□ が規則的に並んでいます。77 個目の ○ が出てくるのは、はじめから数えて何番目ですか。

○△○□□○○△○□□○○△○□□○○△○…

答え（９）
153 番目
解き方（９）
○、△、□ の並びは「○△○□□○」の 6 個 1 組の繰り返しになっていて、そのうち ○ は 3 個ある。
77 ÷ 3 = 25 あまり 2 より、6 × 25 = 150。あまり 2 より 〇△〇 の 3 個となるので、150 + 3 = 153 [番目]

（１０）白と黒の石をある規則にしたがって並べました。

○○●●○●○○●●○●○○●…

① 左から 74 番目の石は何色ですか。

答え（１０）- ①
白
解き方（１０）- ①
白と黒の石の並びは「○○●●○●」の 6 個 1 組の繰り返しになっている。74 ÷ 6 = 12 あまり 2 より、74 番目の石は白色。

② 黒石だけを数えたとき、左から 100 番目の黒石は、全体でみて左から何番目ですか。

答え（１０）- ②
201番目
解き方（１０）- ②
白と黒の石の並びは「○○●●○●」の 6 個 1 組の繰り返しになっていて、そのうち黒石は 3 個ある。
100 ÷ 3 = 33 あまり 1 より、100番目の黒石は、
6 × 33 + 3 = 201 [番目]

（１１）INUNEKOUSAGIINUNEKOUSAGI…と文字が規則にしたがって並んでいます。99 番目の文字はなんですか。

答え（１１）
U
解き方（１１）
文字の並びは「INUNEKOUSAGI」の 12 個 1 組の繰り返しになっている。99 ÷ 12 = 8 あまり 3 より、99 番目の文字は「U」

（１２）数字の書かれた □ と ○ が規則にしたがって並んでいます。数字の 1 が書かれた □ を「四角の 1」、数字の 1 が書かれた ○ を「丸の 1」とします。

\(\boxed{1}\) \(\boxed{2}\) ③ \(\boxed{4}\) ⑤ ⑥ \(\boxed{7}\) \(\boxed{8}\) ⑨ \(\boxed{10}\) ① ② \(\boxed{3}\) \(\boxed{4}\) ⑤ \(\boxed{6}\) ⑦ ⑧ \(\boxed{9}\) \(\boxed{10}\) ① …

左から 60 番目は「 \(\boxed{ア}\) の \(\boxed{イ}\) 」です。

□ に当てはまる文字または数字を答えなさい。

答え（１２）
ア：丸　イ：10
解き方（１２）
数字と図形の別の並びと考えると、
□□○□○○□□○□○○□…
12345678910123…

図形の並びは「□, □, ○, □, ○, ○」の 6 個 1 組の繰り返し、数字の並びは「1, 2, 3, …, 10」の 10 個 1 組の繰り返しとなっている。よって、
60 番目の図形は、60 ÷ 6 = 10 あまり 0 より ○
60 番目の数字は、60 ÷ 10 = 6 あまり 0 より 10

問２

（１）7 を 2468 回かけて得られる数の一の位の数を求めなさい。

答え（１）
1
解き方（１）
7 を n 回かけた数の一の位の数は「7, 9, 3, 1」の 4 個の繰り返しになる。2468 ÷ 4 = 617 あまり 0 より、2468 回かけて得られる数の一の位の数は 1

（２）3 を 3210 回かけて得られる数の一の位の数を求めなさい。

答え（２）
9
解き方（２）
3 を n 回かけた数の一の位の数は「3, 9, 7, 1」の 4 個の繰り返しになる。3210 ÷ 4 = 802 あまり 2 より、3210 回かけて得られる数の一の位の数は 9

（３）37 を 2714 個かけあわせてできる数の一の位の数はいくつになりますか。

ヒント（３）
一の位が 7 の数を n 回かけた数の一の位の数は、7 を n 回かけた数の一の位の数と同じ「7, 9, 3, 1」の繰り返しになる。
答え（３）
9
解き方（３）
37 を n 回かけた一の位の数は「7, 9, 3, 1」の 4 個の数の繰り返しになる。2714 ÷ 4 = 678 あまり 2 より、2714 個かけあわせてできる数の一の位の数は 9

（４）13 を 13 回かけた数の一の位の数を求めなさい。

ヒント（４）
一の位が 3 の数を n 回かけた数の一の位の数は、3 を n 回かけた数の一の位の数と同じ「3, 9, 7, 1」の繰り返しになる。
答え（４）
3
解き方（４）
13 を n 回かけた一の位の数は「3, 9, 7, 1」の 4 個の数の繰り返しになる。13 ÷ 4 = 3 あまり 1 より、13 回かけた数の一の位の数は 3

問３

ヒント
※循環小数
小数点以下の数字の並びが、同じ周期を限りなく繰り返す小数
（ 繰り返される数字の列を「循環節」という ）

（１）\(\dfrac{3}{13}\) を小数で表したとき、小数第 1234 位の数を求めなさい。

答え（１）
7
解き方（１）
\(\dfrac{3}{13}\) = 0.2307692…より、循環節は「230769」の 6 個の数となる。
1234 ÷ 6 = 205 あまり 4 より、小数第 1234 位の数は 7

（２）\(\dfrac{1}{7}\) を小数で表したとき、小数第 100 位の数を求めなさい。

答え（２）
8
解き方（２）
\(\dfrac{1}{7}\) = 0.1428571…より、循環節は「142857」の 6 個の数となる。
100 ÷ 6 = 16 あまり 4 より、小数第 100 位の数は 8

（３）\(\dfrac{4}{27}\) を小数で表したとき、小数第 1 位から小数第 100 位 までの数をすべて足した数を求めなさい。

答え（３）
430
解き方（３）
\(\dfrac{4}{27}\) = 0.148148…より、循環節は「148」の 3 個の数となり、その和は 13。
100 ÷ 3 = 33 あまり 1 より、求める和は、13 × 33 + 1 = 430

（４）\(\dfrac{13}{37}\) を小数で表したとき、小数第 2222 位の数を求めなさい。

答え（４）
5
解き方（４）
\(\dfrac{13}{37}\) = 0.351351…より、循環節は「351」の 3 個の数となる。
2222 ÷ 3 = 740 あまり 2 より、小数第 2222 位の数は 5

（５）\(\dfrac{25}{7}\) を小数で表したとき、小数第 1 位から第 20 位までにあらわれる各位の数の和を求めなさい。

答え（５）
93
解き方（５）
\(\dfrac{25}{7}\) = 3.5714285…より、循環節は「571428」の 6 個の数となり、その和は 27。
20 ÷ 6 = 3 あまり 2 より、小数第 1 位から第 20 位までにあらわれる各位の数の和は、
27 × 3 + ( 5 + 7 ) = 93

（６）\(\dfrac{28}{37}\) を小数で表したとき、小数第 25 位の数を求めなさい。

答え（６）
7
解き方（６）
\(\dfrac{28}{37}\) = 0.756756… より、循環節は「756」の 3 個の数となる。
25 ÷ 3 = 8 あまり 1 より、小数第 25 位の数は 7