算数【基本】時計算

問１

時計算 = 速度の問題: ●長針と短針の距離は、長針と短針がつくる角度
●長針と短針の速さは、単位時間あたりに動く針の角度（角速度）で表す
長針：1 時間に 360 度動く ⇒ 毎分 6 度
短針：1 時間に 3 0度動く ⇒ 毎分 0.5 度

（１）時計は 7 時 20 分を示しています。このとき、角㋐は何度ですか。

答え（１）: 100 度

解き方（１）: ㋐ = 短針が作る角度 – 長針が作る角度
短針が作る角度 = 30 × 7 + 0.5 × 20 = 220 [度]
長針が作る角度 = 6 × 20 = 120 [度]
㋐ = 220 – 120 = 100 [度]

（２）ある時計が 10 時 10 分を指しています。長針と短針のつくる角のうち、小さいほうの角の大きさは何度ですか。

答え（２）: 115 度

解き方（２）: 求める角度は㋐ + ㋑
㋐ = 長針がつくる角度 = 6 × 10 = 60 [度]
㋑ = 360 – 短針がつくる角度
= 360 – ( 30 × 10 + 0.5 × 10 )
= 360 – 305 = 55 [度]
求める角は、60 + 55 = 115 [度]

問２

長針と短針が重なる問題: 旅人算と考えればわかりやすい。
●長針君の速度は毎分 6 度
●短針君の速度は毎分 0.5 度
例えば 1 時から 2 時の間で重なるのであれば、ちょうど 1 時の時、短針君と長針君は 30 度離れているから
30 ÷ ( 6 – 0.5 ) = \(5\dfrac{5}{11}\)
なので、1 時 \(5\dfrac{5}{11}\) 分に重なる。

（１）時計の長針と短針がちょうど重なるのは、3 時何分ですか。

答え（１）: \(16\dfrac{4}{11}\) 分

解き方（１）: 3 時ちょうどのとき、長針と短針の距離は 90 度である。
長針の速さは毎分6度、短針の速さは毎分 0.5 度より、長針が短針に重なるまでにかかる時間は、
90 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 90 ÷ 5.5
= 90 ÷ \(\dfrac{55}{10}\)
= 90 × \(\dfrac{10}{55}\)
= \(\dfrac{180}{11}\) = \(16\dfrac{4}{11}\) [分]
よって、3 時 \(16\dfrac{4}{11}\) 分

（２）時刻は 2 時 20 分です。次に、今の短針と長針のつくる角が 2 倍の大きさになるのは何時何分何秒ですか。ただし、つくる角は小さいほうの角を考えるものとします。

答え（２）: 2 時 29 分 \(5\dfrac{5}{11}\) 秒

解き方（２）: 今の時刻の小さいほうの角度は、長針がつくる角度 – 短針がつくる角度。よって、
6 × 20 – ( 30 × 2 + 0.5 × 20 )
= 120 – 70 = 50 [度]
長針が短針からさらに 50 度進むのにかかる時間は、
50 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 50 ÷ 5.5
= 50 ÷ \(\dfrac{55}{10}\)
= 50 × \(\dfrac{10}{55}\)
= \(\dfrac{100}{11}\) = \(9\dfrac{1}{11}\) [分] = 9 分 \(5\dfrac{5}{11}\) 秒
よって、2 時 29 分 \(5\dfrac{5}{11}\) 秒

（３）8 時から 9 時の間で、最初に短針と長針の間の角度が 42 °になりました。次に 42 °になるまで何分かかりますか。

答え（３）: \(15\dfrac{3}{11}\) 分

解き方（３）: 8 時から 9 時の間で、最初に短針と長針の間の角度が 42 ° になるとき、長針は短針より後ろにある。次に 42 ° になるとき、長針は短針より前にある。
（長針と短針の位置関係が重要であり、正確な時間を求める必要はない）
すなわち、長針は短針まで 42 ° 追いつき、さらに追いこして 42 ° 引き離すと考えられる。
長針の速さは毎分 6 °、短針の速さは毎分 0.5 °
よって、かかる時間は、
42 ÷ ( 6 – 0.5 ) + 42 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 84 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 84 ÷ 5.5
= 84 ÷ \(\dfrac{55}{10}\)
= 84 × \(\dfrac{10}{55}\)
= \(\dfrac{168}{11}\) = \(15\dfrac{3}{11}\) [分]

（４）図のように文字盤が正八角形の時計があります。この正八角形の各頂点をA、B、C、D、E、F、G、H とします。短針が A を指してから C を指すまでに、何時間何分かかりますか。

答え（４）: 3 時間

解き方（４）: 針が八角形の1辺を進む角度は 360 ÷ 8 = 45 [°]
長針の速さは毎分 6 °、短針の速さは毎分 0.5 °
短針が 12 時から A に来るまでに進んだ角度は 22.5 ° である。かかった時間は、
22.5 ÷ 0.5 = 45 [分]
よって、このときの時刻は 12 時 45 分。
短針が 12 時から C に来るまでに進んだ角度は 22.5 + 45 × 2 = 112.5 [°]である。かかった時間は、
112.5 ÷ 0.5 = 225 [分] = 3 時間 45 分
よって、このときの時刻は 3 時 45 分。
短針が A を指してから C を指すまでにかかった時間は、3 時間