算数【応用】時計算

問1

3 時から 4 時の間で時計の短針と長針が重なるのは 3 時何分ですか。

答え
\(16\dfrac{4}{11}\) 分
解き方

長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。
3 時のとき長針は短針と 90° 離れているので、重なるためには長針が短針に 90° 分追いつけばよい。よってかかる時間は、
90 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 90 ÷ 5.5
= 90 × \(\dfrac{2}{11}\) = \(\dfrac{180}{11}\) = \(16\dfrac{4}{11}\) [分]

問2

3 時から 4 時の間で、時計の短針と長針がつくる角が 90° になるのは 3 時何分何秒ですか。割り切れないときは秒の単位を帯分数で答えなさい。ただし、3 時は除きます。

答え
32 分 \(43\dfrac{7}{11}\) 秒
解き方

長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。
3 時のとき長針は短針と 90° 離れているので、90° 分追いつき、さらに 90° 追いこすためにかかる時間は、
( 90 + 90 ) ÷ ( 6 – 0.5 )
= 180 ÷ 5.5
= 180 × \(\dfrac{2}{11}\)
= \(\dfrac{360}{11}\)
= \(32\dfrac{8}{11}\) [分]
= 32 分 \(\dfrac{8\ ×\ 60}{11}\) 秒 = 32 分 \(43\dfrac{7}{11}\) 秒

問3

長針と短針からなる時計があります。この時計は 9 時ちょうどを示しています。この時計が次に 12 時になる 3 時間の中で、長針と短針が作る角度が 30° となるのは全部で何回ありますか。

答え
5 回
解き方
長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。
短針の 30° 手前まで追いつく場合と、短針を 30° 追いこす場合が考えられる。
9 ~ 10 時

240 ÷ 5.5 = \(\dfrac{480}{11}\) = 43. … [分]
300 ÷ 5.5 = \(\dfrac{600}{11}\) = 54. … [分]
10 ~ 11 時

270 ÷ 5.5 = \(\dfrac{540}{11}\) = 40. … [分]
330 ÷ 5.5 = \(\dfrac{660}{11}\) = 60 [分] ⇒ 11 時
11 ~ 12 時(11 時は除く、また追いこす場合は 12 時を過ぎるので考えない)

300 ÷ 5.5 = \(\dfrac{600}{11}\) = 54. … [分]
よって、5 回

問4

図のように長針と短針のなす角が 62° のとき、この時計が示す時刻は 6 時何分ですか。

答え
6 時 44 分
解き方
長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。
6 時のとき、長針と短針は 180° 離れているので、長針は短針に追いつくまでに 180°、追いついてからさらに 62° 追いこしたことになる。この間にかかった時間は、
( 180 + 62 ) ÷ ( 6 – 0.5 )
= 242 ÷ 5.5
= 242 × \(\dfrac{2}{11}\) = \(\dfrac{484}{11}\) = 44 [分]
よって、この時計が示す時刻は 6 時 44 分。

問5

12 時から 1 時のあいだで、時計の長針と短針がはじめて直線状にならぶのは何分後ですか。ただし、重なる場合は除く。

答え
\(32\dfrac{8}{11}\) 分後
解き方
長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。

12 時から 1 時のあいだで、時計の長針と短針がはじめて直線状にならぶということは、長針が短針より 180° 先に進んだときである。よって、
180 ÷ ( 6 – 0.5 )
= 180 × \(\dfrac{2}{11}\) = \(\dfrac{360}{11}\) = \(32\dfrac{8}{11}\) [分後]

問6

長針は 1 時間で 1 周し、短針は 24 時間で 1 周する図のような時計があります。今、図の時計は 3 時ちょうどを指しています。長針と短針のつくる角度が初めて 120° となるのは、今から何分後ですか。

答え
\(28\dfrac{16}{23}\) 分後
解き方
長針は 6°/分、短針は 360 ÷ ( 24 × 60 ) = 0.25°/分の速さで動く。

3 時のとき、長針と短針のつくる角度は 0.25 × 3 × 60 = 45 [°] である。
長針と短針のつくる角度が初めて 120° となるのは、長針が短針に追いついてから、さらに 120° 分追いこすときである。よって、
( 45 + 120 ) ÷ ( 6 – 0.25 )
= 165 ÷ 5.75
= 165 × \(\dfrac{4}{23}\) = \(\dfrac{660}{23}\) = \(28\dfrac{16}{23}\) [分後]

問7

図の時計において、3 時から 4 時の間で㋐と㋑の角の大きさが等しくなるのは 3 時何分ですか。

答え
\(41\dfrac{7}{13}\) 分
解き方
長針は 6°/分、短針は 0.5°/分の速さで動く。

3 時から □ 分後の㋐、㋑の大きさは以下にように表すことができる。
㋐ = 90 – 0.5 × □ [°]
㋑ = 6 × □ – 180 [°]
㋐ = ㋑ より、
90 – 0.5 × □ = 6 × □ – 180
6.5 × □ = 270
□ = \(\dfrac{540}{13}\) = \(41\dfrac{7}{13}\) [分後]
よって、3 時 \(41\dfrac{7}{13}\) 分