算数【応用】割合

問１

赤、青、白の3色の玉が全部で612個あります。赤玉の個数は全体の ${\displaystyle \frac{1}{3}}$、青玉の個数は全体の ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ です。このとき、白玉は何個ありますか。

答え

272個

解き方

全体の個数を3と9の最小公倍数である⑨とすると、赤玉は ⑨ × ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ = ③、青玉は ⑨ × ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ = ②、白玉は ⑨ – (③ + ②) = ④となる。よって、白玉の個数は、
④ = 4 × ${\displaystyle \frac{612}{9}}$ = 272(個)

問２

5000円の品物を買うのに、代金の ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ を兄が、兄が出した金額の ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を妹が出し、残りを母が出しました。妹が出した金額はいくらですか。

答え

1500円

解き方

品物の代金を5と2の最小公倍数である⑩とすると、妹が出した金額は ⑩ × ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ = ③となる。よって、
③ = 3 × ${\displaystyle \frac{5000}{10}}$ = 1500(円)

問３

AグループとBグループがあります。Bグループの人数はAグループの人数の ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ です。Aグループでは、人数の半分がねこを飼っています。Bグループでは、人数の ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ がねこを飼っています。AグループとBグループのねこを飼っている人数の比を求めなさい。

答え

9 : 5

解き方

Aグループの人数を1とすると、AグループとBグループのねこを飼っている人数の比は、
A : B = 1 × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : 1 × ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ × ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ = 9 : 5

問４

ある商品を買い、代金を8回に分けて支払うことにしました。初回のみ代金の ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ を払い、残りは同じ額で支払いました。代金に対する5回目までに支払った合計額の割合を求めなさい。

答え

${\displaystyle \frac{9}{14}}$

解き方

2回目以降の1回の支払金額の割合は、(1 – ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ ) × ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{42}}$
5回目までに支払った合計額の割合は、
${\displaystyle \frac{1}{6}}$ + ${\displaystyle \frac{5}{42}}$ × 4 = ${\displaystyle \frac{9}{14}}$

問５

Aさんはいくつかのビー玉を持っています。はじめに持っていたビー玉の ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ を妹にあげ、弟に残りの ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ をあげました。さらに6個を弟にあげたところ、残りは10個になりました。Aさんがはじめに持っていたビー玉は何個ですか。

答え

49個

解き方

Aさんがはじめに持っていたビー玉の個数を、問題文の分母7 × 7の $\boxed{{\displaystyle 49}}$ とすると、妹にあげた個数は $\boxed{{\displaystyle 49}}$ × ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ = $\boxed{{\displaystyle 21}}$、弟にあげた個数は ( $\boxed{{\displaystyle 49}}$ – $\boxed{{\displaystyle 21}}$ ) × ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ + 6 = $\boxed{{\displaystyle 12}}$ + 6 となる。

$\boxed{{\displaystyle 49}}$ – ( $\boxed{{\displaystyle 21}}$ + $\boxed{{\displaystyle 12}}$ ) = 6 + 10
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ = 1
$\boxed{{\displaystyle 49}}$ = 1 × 49 = 49(個)

問６

ある本を、1日目は全体の ${\displaystyle \frac{4}{9}}$、2日目は残りの ${\displaystyle \frac{3}{7}}$、3日目は120ページ読んで全部読み終わりました。全部で何ページありましたか。

答え

378ページ

解き方

全ページ数を9と7の最小公倍数である $\boxed{{\displaystyle 63}}$ とすると、1日目に読んだのは $\boxed{{\displaystyle 63}}$ × ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ = $\boxed{{\displaystyle 28}}$、2日目に読んだのは ( $\boxed{{\displaystyle 63}}$ – $\boxed{{\displaystyle 28}}$ ) × ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ = $\boxed{{\displaystyle 15}}$

$\boxed{{\displaystyle 63}}$ – ( $\boxed{{\displaystyle 28}}$ + $\boxed{{\displaystyle 15}}$ ) = 120
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ = 6
よって全ページ数は、$\boxed{{\displaystyle 63}}$ = 6 × 63 = 378(ページ)

問７

ある中学校で入学試験を行ったところ、合格者数は受験者数の ${\displaystyle \frac{11}{21}}$ より3人少なく、不合格者数は受験者数の ${\displaystyle \frac{7}{15}}$ より7人多かったです。このとき、受験者数は何人でしたか。

答え

420人

解き方

受験者数を21と15の最小公倍数である $\boxed{{\displaystyle 105}}$ とすると、合格者は $\boxed{{\displaystyle 105}}$ × ${\displaystyle \frac{11}{21}}$ – 3 = $\boxed{{\displaystyle 55}}$ – 3、不合格者は $\boxed{{\displaystyle 105}}$ × ${\displaystyle \frac{7}{15}}$ + 7 = $\boxed{{\displaystyle 49}}$ + 7
合格者と不合格者の和が受験者数なので、
$\boxed{{\displaystyle 55}}$ – 3 + $\boxed{{\displaystyle 49}}$ + 7 = $\boxed{{\displaystyle 105}}$
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ = 4
よって受験者数は、$\boxed{{\displaystyle 105}}$ = 4 × 105 = 420(人)

問８

A君はペットボトルの水を全体の ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ 飲み、B君は300mLを飲みました。C君が残りの ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ を飲んだところ120mL残りました。最初にペットボトルに入っていた水は何mLですか。

答え

950mL

解き方

ペットボトルの水の分け方を線分図で示した。

残りの120mLが ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ にあたるので、C君が飲んだ量と残りの合計は、120 × ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ = 270(mL)
270mLと300mLが全体の ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ にあたる。
よって最初にペットボトルに入っていた水は、(270 + 300) × ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ = 950(mL)

問９

ある本を、1日目は30ページ読み、2日目は残りの ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ を読んだところ、2日間で全体の ${\displaystyle \frac{8}{17}}$ を読んだことになりました。この本は全部で何ページありますか。

答え

255ページ

解き方

全ページ数を⑰とすると、2日間で読んだページ数は ⑰ × ${\displaystyle \frac{8}{17}}$ = ⑧、残りのページ数は⑨となり、これが2日目に読んだあとの残りのページ数に当たる。よって、1日目に読んだ後の残りのページ数は ⑨ × ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ = ⑮となる。

⑰ – ⑮ = ② ‣‣‣ 30ページ
① = 15
全ページ数は、⑰ = 17 × 15 = 255

問１０

浴槽に全体の ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ だけ水が入っています。その水の ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ をすて、120Lの水を入れると、入っている水は浴槽全体の ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ になりました。浴槽が満水のときは何L入りますか。

答え

450L

解き方

浴槽が満水のときの水の量を3と5の最小公倍数である⑮とすると、はじめに入っていた水の量は ⑮ × ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ = ⑨、すてた水の量は ⑨ × ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ = ③となり、残っている量は⑥となる。ここに120L入れた量は、⑮ × ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = ⑩となる。

⑩ – ⑥ = ④ ‣‣‣ 120L
① = 30
満水のときの水の量は、⑮ = 15 × 30 = 450(L)

問１１

Aさんはあめをいくつか持っています。持っていたあめの ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ をBさんにあげ、次に残ったあめの${\displaystyle \frac{1}{2}}$ をCさんにあげ、最後に残ったあめの ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ をDさんにあげたところ、あめは2個残りました。最初にAさんが持っていたあめは何個ですか。

答え

18個

解き方

Aさんが最初に持っていたあめの個数を3と2の最小公倍数である⑥とすると、Bさんにあげた個数は ⑥ × ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ = ②、Cさんにあげた個数は (⑥ – ②) × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ = ②、Dさんにあげた個数は (⑥ – ② – ②) × ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{④}}{3}}$ となる。よって、
⑥ – ② – ② – ${\displaystyle \frac{\mathrm{④}}{3}}$ = 2
⑱ – ⑥ – ⑥ – ④ = 6
① = 3
最初にAさんが持っていたあめは、⑥ = 6 × 3 = 18(個)

問１２

ある本を、1日目は28ページ読み、2日目は全体の ${\displaystyle \frac{1}{18}}$、3日目は全体の ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ を読んだら、残ったページは全体の ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ より8ページ少なくなりました。この本は全部で何ページありますか。

答え

360ページ

解き方

全ページ数を18と9の最小公倍数である⑱とすると、2日目に読んだページ数は ⑱ × ${\displaystyle \frac{1}{18}}$ = ①、3日目に読んだページ数は ⑱ × ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ = ②、残ったページ数は ⑱ × ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ – 8 = ⑭ – 8 となる。よって、
⑱ = 28 + ① + ② + ⑭ – 8
① = 20
この本の全ページ数は、⑱ × 20 = 360(ページ)

問１３

A君は持っているお金の半分より70円少ないお金を使い、次に残りのお金の半分より70円多く使ったら、490円残りました。A君がはじめに持っていたお金はいくらですか。

答え

2100円

解き方

半分とは ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ のことである。A君がはじめに持っていたお金を②とすると、はじめに使ったお金は ② × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ – 70 = ① – 70、次に使ったお金は {② – (① – 70)} × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ + 70 となる。

② – 490 = ① – 70 + {② – (① – 70)} × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ + 70
② – 490 = ① + ① – (① – 70) × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
(① – 70) × ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ = ① + ① – ② + 490
① – 70 = 980
① = 1050
A君がはじめに持っていたお金は、② = 2 × 1050 = 2100(円)

問１４

ある中学校では男子と女子の人数の比は 3：2 で、自転車で通学している人は全体の18%です。自転車で通学している男子は180人、自転車で通学している女子は全体の ${\displaystyle \frac{3}{50}}$ です。このとき、自転車で通学していない女子は何人いますか。

答え

510人

解き方

男子の人数を $\boxed{{\displaystyle 3}}$ とすると、女子の人数は $\boxed{{\displaystyle 2}}$、全体の人数は $\boxed{{\displaystyle 5}}$ と表すことができる。
自転車で通学している女子の人数は2つの式で表すことができる。
①自転車で通学している人は全体の18%で、自転車で通学している男子は180人 ⇒ $\boxed{{\displaystyle 5}}$ × 0.18 – 180
②自転車で通学している女子は全体の ${\displaystyle \frac{3}{50}}$ ⇒ $\boxed{{\displaystyle 5}}$ × ${\displaystyle \frac{3}{50}}$

①と②は等しいので、
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ × 0.18 – 180 = $\boxed{{\displaystyle 5}}$ × ${\displaystyle \frac{3}{50}}$
$\boxed{{\displaystyle 0.9}}$ – 180 = $\boxed{{\displaystyle 0.3}}$
$\boxed{{\displaystyle 0.6}}$ = 180
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ = 300
より、全体の人数は $\boxed{{\displaystyle 5}}$ = 5 × 300 = 1500(人)、女子の人数は $\boxed{{\displaystyle 2}}$ = 2 × 300 = 600(人) となる。自転車で通学していない女子は、
600 – 1500 × ${\displaystyle \frac{3}{50}}$ = 600 – 90 = 510(人)