算数【入試】約数・倍数・素数

問１

126の約数について、次の問いに答えなさい。

(1) 約数の個数を求めなさい。

(2) すべての約数の和を求めなさい。

答え(1)

12個

答え(2)

312

問２

2つの分数\(\dfrac{3}{4}\)と\(\dfrac{5}{7}\)について、答えなさい。

(1) 2つの分数のうち、大きいほうの分数を答えなさい。

(2) 2つの分数のあいだの数で、分数で表すと分母が84であり、分母と分子の最大公約数が1であるものを答えなさい。

(3) 横の長さが\(\dfrac{3}{4}\)m、縦の長さが\(\dfrac{5}{7}\)mのタイルを向きをかえずに敷きつめて正方形を作るとき、最低何枚必要か答えなさい。

答え(1)

\(\dfrac{3}{4}\)

答え(2)

\(\dfrac{61}{84}\)

答え(3)

420枚

問３

\(8\dfrac{2}{5}\)にかけても\(3\dfrac{1}{9}\)にかけても整数となる最も小さい分数を求めなさい。

答え

\(3\dfrac{3}{14}\)

問４

100から500までの整数のうち7の倍数の個数を求めなさい。

答え

57個

問５

4つの約数を持つ整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

ヒント

ある整数の約数の個数は、素因数分解したときのそれぞれの素数の個数に1を加えたものをかけ合わせることで求めることができる
例えば18は2×3×3であり、2は1つなので(1+1)、3は2つなので(2+1)となり、(1+1)×(2+1)=6となる
したがって、4つの約数を持つ整数は〇×△、または□×□×□で表すことができる（〇、△、□はすべて素数）

答え

6

問６

1から1000までの整数のうち、約数が5個ある整数は全部で\(\boxed{\text{①}}\)個あり、その和は\(\boxed{\text{②}}\)です。空欄に当てはまる数を答えなさい。

ヒント

ある整数の約数の個数は、素因数分解したときのそれぞれの素数の個数に1を加えたものをかけ合わせることで求めることができる
例えば18は2×3×3であり、2は1つなので(1+1)、3は2つなので(2+1)となり、(1+1)×(2+1)=6となる
したがって、5つの約数を持つ整数は〇×〇×〇×〇で表すことができる（〇は同じ素数）

答え①

3

答え②

722

問７

2けたの整数が2つあります。この2つの整数の最大公約数が14、最小公倍数が168であるとき、この2つの整数を答えなさい。

答え

42と56

問８

縦の長さが92cm、横の長さが138cmの長方形のタイルがあります。このタイルを余りを出さないように、最も大きい正方形に切り分けたとき、正方形の一辺の長さは何cmか答えなさい。

答え

46cm

問９

1234に「ある整数」を足すと2～10のどの整数でも割り切れます。「ある整数」のうち、最も小さい整数を答えなさい。

ヒント

2～10のどの整数でも割り切れる整数は2×2×2×3×3×5×7の倍数

答え

1286

問１０

2けたの整数が2つあります。この2つの整数の積は7020、最大公約数は6です。この2つの整数を求めなさい。

ヒント

最大公約数と最小公倍数の積は、2つの整数の積と等しい

答え

78と90