算数【応用】容器内の水の体積（容積）と水位変化

問１

直方体の容器 A、B、C があり、底面積の比は 1：2：5 です。容器 A、B には水が入っており、底面から水面までの高さはそれぞれ 7 cm、2 cm でした。容器 A、B に入っている水をすべて容器 C に移したとき、容器 C における底面から水面までの高さを求めなさい。

答え: 2.2 cm ( または、\(2\dfrac{1}{5}\) cm )

解き方: 容器 A の底面積を ① cm² とすると、B、C の底面積はそれぞれ ② cm²、⑤ cm² と表すことができる。
A、B に入っている水の体積の和は、
① × 7 + ② × 2 = ⑪ [cm³]
となる。
容器 C に移したときの C における底面から水面までの高さを □ cm とすると、次の式が成り立つ。
⑤ × □ = ⑪
□ = \(\dfrac{11}{5}\) = 2.2 [cm]

問２

【図１】のように底面が 1 辺 5 cm の正方形で高さが 7 cm である直方体のふたのない水そうがあります。この水そうに水を入れて、水がこぼれないように底面の辺 AB を床につけたまま傾けたとき、水そうを真横から見ると【図２】のようになりました。

（１）水そうを底面が床につくように戻したときの水の高さを求めなさい。

答え（１）: 6 cm

解き方（１）: 求める高さを □ cm とする。水の体積は変わらず、奥行きの長さも同じなので、真横から見たときの面積も変わらないことから、次の式が成り立つ。
5 × □ = ( 5 + 7 ) × 5 × \(\dfrac{1}{2}\)
5 × □ = 30
□ = 30 ÷ 5 = 6 [cm]

（２）水そうに入っている水の体積を求めなさい。

答え（２）: 150 cm²

解き方（２）: 5 × 6 × 5 = 150 [cm²]

水そうをさらに傾けると、水がこぼれて真横から見ると、【図３】のようになりました。

（３）こぼれた水の体積を求めなさい。

答え（３）: 62.5 cm³ ( または、\(62\dfrac{1}{2}\) cm³ )

解き方（３）: 水そうに残った水の体積は、
5 × 7 × \(\dfrac{1}{2}\) × 5 = 87.5 [cm³]
よってこぼれた水の体積は、
150 – 87.5 = 62.5 [cm³]

そのまま頂点 A だけを固定して水がこぼれないようにさらに傾けると、【図４】のようになりました。

（４）このとき、辺 DL と辺 BJ の長さが等しくなりました。辺 DL の長さを求めなさい。

ヒント（４）: 直方体の容器に容器の半分の体積の水が入っているとき、どのような角度で傾けてもその水面の対角線の交点は必ず点 O となる。

点 O は、直方体の底面を床にくっつけて置いたとき（図１）にできる水面の対角線の交点。

答え（４）: 3.5 cm

解き方（４）: 【図３】より、容器に残った水の体積は容器の半分であることがわかる。

よって、OO’ の長さは DH の \(\dfrac{1}{2}\) の 3.5 cm
DL = BJ かつ点 L、O、J は同一直線上にあることから、DL = BJ = OO’ = 3.5 [cm]

問３

三角柱の容器 ① には、高さの \(\dfrac{2}{3}\) のところまで水が入っています。この水を直方体の容器 ② に移したところ、高さ 7.5 cm のところまで水が入りました。㋐の長さを求めなさい。

答え: 7.2 cm

解き方: 容器 ① に入っている水の体積は、
( 3 + 9 ) × 6 × \(\dfrac{1}{2}\) × 12 = 432 [cm³]
より、次の式が成り立つ。
8 × 7.5 × ㋐ = 432
60 × ㋐ = 432
㋐ = 7.2 [cm]

問４

図のように A の水そうには水が深さ 16 cm のところまで入っています。B の直方体は鉄でできているものとします。

（１）B の直方体を 10 cm と 21 cm の面が下に来るように A の水そうにしずめると、水面は何 cm 上昇するか求めなさい。

答え（１）: 3.5 cm

解き方（１）: A の水そうの水の深さは 16 cm ( > 10 cm ) より B は完全に沈むので、上昇した分の水の体積は B の体積に等しい。
よって、上昇した水面は、
( 10 × 10 × 21 ) ÷ ( 30 × 20 )
= 2100 ÷ 600 = 3.5 [cm]

（２）B の直方体を 10 cm と 10 cm の面が下に来るように A の水そうにいれると、B の直方体は完全にしずむか、上の方は水面の上に出るか、どちらでしょうか。

答え（２）: 上に出る

解き方（２）: A に入っている水の体積は、
600 × 16 = 9600 [cm³]

一方、B が完全にしずむために必要な水の体積は少なくても、
( 600 – 10 × 10 ) × 21
= ( 600 – 100 ) × 21
= 500 × 21 = 10500 [cm³] ( > 9600 cm³ )
よって、B は水面の上に出る。

（３）（２）のとき水の深さを求めなさい。

答え（３）: 19.2 cm

解き方（３）: 9600 ÷ 500 = 19.2 [cm]

問５

図のように、直方体の形をした水そうがあり、底面に排水せんが取り付けられています。また、底面に垂直に仕切り ①、② がたてられています。

空の水そうに、排水せんを閉じた状態で仕切り ① の左側に一定の割合で水を注いでいきます。グラフは、水を入れ始めてからの時間と仕切り ① の左側の水面の高さの関係を示したものです。ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

（１）水を毎秒何 cm³ の割合で注ぎましたか。

答え（１）: 毎秒 60 cm³

解き方（１）: 水を入れ始めてから 80 秒後の水そうの状態は、図のように、仕切り ② の左側まで水がたまり、水面の高さは仕切り ① の高さになっている。
よって、
( 12 × 2 × 20 × 10 ) ÷ 80
= 4800 ÷ 80 = 60 [cm³/秒]

（２）グラフの㋐と㋑にあてはまる数はいくつですか。

答え（２）: ㋐ 180　㋑ 240

解き方（２）: 図のように、水を入れ始めてから㋐秒後の水そうの状態は、水面の高さが仕切り ② の高さになっている。
よって、
㋐ = ( 36 × 20 × 15 ) ÷ 60
　 = ( 3 × 12 × 20 × 15 ) ÷ 60
　= 60 × 180 × \(\dfrac{1}{60}\) = 180 [秒]
水を入れ始めてから㋑秒後の水そうの状態は満水になっているので、
㋑ = ( 36 × 20 × 20 ) ÷ 60
　 = ( 3 × 12 × 20 × 20 ) ÷ 60
　= 60 × 240 × \(\dfrac{1}{60}\) = 240 [秒]

（３）水そうがいっぱいに満たされている状態で水を注ぐことを止めて、排水せんを開きました。排水されなくなるまでに 1 分 10 秒かかりました。排水せんからは、毎秒何 cm³ の割合で水が流れましたか。

答え（３）: 毎秒 120 cm³

解き方（３）: 排水されなくなったとき、水そうには図のような状態で水が残っている。
したがって、排水された水の体積は、
36 × 20 × 20 – 12 × 20 × 10 – 12 × 20 × 15
= 3 × 12 × 20 × 20 – 12 × 20 × 10 – 12 × 20 × 15
= 12 × 20 × ( 3 × 20 – 10 – 15 )
= 240 × 35 [cm³]
1 分 10 秒 = 70 秒より、
240 × 35 × \(\dfrac{1}{70}\) = 120 [cm³/秒]

問６

四角柱の水そうと直方体の容器があります。この水そうに直方体の容器 1 杯ぱい分の水を入れました。その後、水そうにおもりを入れると、水の高さが 1 cm 上がりました。【図１】はそのときの様子を表しています。さらに、60 cm³ の水を入れると水そうは満杯まんぱいになりました。

（１）水そうの高さは何 cm ですか。

答え（１）: 10 cm

解き方（１）: 四角柱の水そうに入っている水の体積は、直方体の容器の体積と同じなので、
5 × 5 × 12 = 300 [cm³]
水そうの底面積は、
( 4 + 6 ) × 8 × \(\dfrac{1}{2}\) = 40 [cm³]
よって、おもりの体積は、
40 × 1 = 40 [cm³]
したがって、水そうに入っている水の見かけの体積は、
300 + 40 + 60 = 400 [cm³]
より、水そうの高さは、
400 ÷ 40 = 10 [cm]

（２）水そうが満杯の状態から、おもりを直方体の容器に移し、さらに水そうに入っている半分の量の水を容器に移しました。次に、水そうにふたをして、【図２】の　部分が底面になるようにします。このとき、水そうと容器のそれぞれに入っている水の高さを最も簡単な整数の比で表しなさい。ただし、おもりは水中に完全にしずむものとします。

答え（２）: 45：176

解き方（２）: 水そうに入っていた水の量は 300 + 60 = 360 [cm³] より、水そうに残った水の量は 360 ÷ 2 = 180 [cm³]
5 × 5 × 12 = 300 [cm³]
また、容器にはおもりが入っているため、見かけの水の体積は、
180 + 40 = 220 [cm³]
したがって、水そうと容器に入っている水の高さの比は、
\(\dfrac{180}{8\ ×\ 10}\)：\(\dfrac{220}{5\ ×\ 5}\) = \(\dfrac{9}{4}\)：\(\dfrac{44}{5}\) = 45：176

問７

【図１】のように、1 辺の長さが 30 cm の立方体の形をした水そう A の中に 1 辺の長さが 20 cm の立方体の形をした水そう B が入っています。また、【図２】のように、水そう B の真上にじゃ口 ①、水そう A にじゃ口 ② がついています。はじめに、じゃ口 ① から水を入れ、水そう A が水でいっぱいになったときにじゃ口 ① を閉めます。同時にじゃ口 ② から水を出し、しばらくして、じゃ口 ① を再び開き水を入れました。【図３】は、水を入れ始めてからの時間と底面から一番高い水面の高さの関係を表したグラフです。ただし、水そうの厚みは考えないものとし、それぞれのじゃ口からは一定の量の水が出るとします。

ヒント: 【水の量】

（１）じゃ口 ① から出る水の量は毎分何 L ですか。

答え（１）: 毎分 3 L

解き方（１）: グラフより、水を入れ始めてから 6 分後の水の量は下の図のようになっていると考えられる。

6 分間でたまった水の量は、
30 × 30 × 20 = 18000 [cm³] = 18 [L]
よって、じゃ口 ① から出る水の量は、
18 ÷ 6 = 3 [L/分]

（２）じゃ口 ② から出る水の量は毎分何 L ですか。

答え（２）: 毎分 1 L

解き方（２）: グラフより、水を入れ始めてから 9 分後に水そう A が水でいっぱいになり、じゃ口 ① を閉め、じゃ口 ② を開けたと考えられる。その後水面は下がり始め、18 分後に 20 cm になっている。

18 – 9 = 9 [分間] で減った水の量は、
30 × 30 × 10 = 9000 [cm³] = 9 [L]
よって、じゃ口 ② から出る水の量は、
9 ÷ 9 = 1 [L/分]

（３）アに当てはまる数を答えなさい。

答え（３）: 26

解き方（３）: グラフより、水を入れ始めてから 21.5 分後とア分後の水の量は下の図のようになっていると考えられ、その間に増えた水の量は 9 L である。

この間、じゃ口 ①、② は両方とも開いているので、9 L 増えるのにかかった時間は、
9 ÷ ( 3 – 1 )
= 9 ÷ 2 = 4.5 [分間]
よって、ア = 21.5 + 4.5 = 26 [分]

（４）じゃ口 ① を再び開けたのは、はじめに水を入れ始めてから何分何秒後ですか。

答え（４）: 20 分 20 秒後

解き方（４）: はじめに水を入れ始めてから 18 分後と 21.5 分後の水の量は同じである。
じゃ口 ② のみが開いた状態の 18 分後から再びじゃ口 ① を開けるまでに減った水の量と、再びじゃ口 ① を開いてから 21.5 分後までに増えた水の量は等しい。
すなわち、同じ量の水が減るのにかかる時間 (a) と増えるのにかかる時間 (b) は、水が減る（増える）速さに反比例する。
よって、a：b = 2：1 となる。
よって求める時間は、
18 + ( 21.5 – 18 ) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 18 + 3.5 × \(\dfrac{2}{3}\)
= 18 + \(\dfrac{7}{2}\) × \(\dfrac{2}{3}\)
= 18 + \(\dfrac{7}{3}\)
= 18 + \(2\dfrac{1}{3}\) = \(20\dfrac{1}{3}\) [分後] = 20 分 20 秒後

【別解】式をつくる

はじめに水を入れ始めてから □ 分後に再びじゃ口 ① を開けたとすると、次の式が成り立つ。
1 × ( □ – 18 ) = 2 × ( 21.5 – □ )
□ – 18 = 43 – 2 × □
3 × □ = 61
□ = \(\dfrac{61}{3}\) = \(20\dfrac{1}{3}\) [分後] = 20 分 20 秒後

問８

図１のような直方体 AMEF-GNKL から立方体 BMDC-HNJI を切り取った形の容器があります。AF と EF の長さは 42 cm、BC の長さは 21 cm です。

ただし、容器の厚さは考えないものとします。

（１）この容器にある量の水を入れて、水がもれないように密閉しました。次にこの容器を、水平な台の上に辺 BH と辺 DJ が台に接するように置きました。そのとき、正面から容器を見ると、図２のようになりました。　部分は水が入っている部分を表しています。このとき、水は何 cm³ 入っていますか。

答え（１）: \(23152\dfrac{1}{2}\) cm³ ( または、23152.5 cm³ )

解き方（１）: 図２の正面の面を底面と考えると、奥行きはの長さは BH となり、BH は切り取った立方体の 1 辺より、BH = BC = 21 [cm] である。
上図の「×」で示した三角形の面積はすべて等しいことから、求める水の体積は、
21 × 21 × \(\dfrac{1}{2}\) × 5 × 21
= \(\dfrac{21\ ×\ 21\ ×\ 21\ ×\ 5}{2}\)
= \(\dfrac{441\ ×\ 21\ ×\ 5}{2}\)
= \(\dfrac{46305}{2}\) = \(23152\dfrac{1}{2}\) [cm³]

（２）（１）のとき、図１の状態で考えると、水の高さは何 cm になりますか。

答え（２）: \(17\dfrac{1}{2}\) cm ( または、17.5 cm )

解き方（２）: 図１のとき底面の面積は、21 × 21 × 3 [cm²] と表すことができる。
よって求める高さは、
\(\dfrac{21\ ×\ 21\ ×\ 21\ ×\ 5}{2}\) ÷ ( 21 × 21 × 3 )
= \(\dfrac{21\ ×\ 21\ ×\ 21\ ×\ 5}{2\ ×\ 21\ ×\ 21\ ×\ 3}\)
= \(\dfrac{\cancelto{7}{21}\ ×\ 5}{2\ ×\ \cancel{3}}\) = \(\dfrac{35}{2}\) = \(17\dfrac{1}{2}\) [cm]

（３）水が入っている部分を正面から見たとき図３の　部分になるように水を抜いた後、再び水がもれないようにして図１の状態に戻したとき、水の高さは何 cm になりますか。

答え（３）: 7 cm

解き方（３）: { 21 × 21 × \(\dfrac{1}{2}\) × 2 × 21 } ÷ ( 21 × 21 × 3 )
= 21 ÷ 3 = 7 [cm]

問９

図のように、底面の半径が 10 cm、高さが 2 cm の円柱の容器の中に、底面の半径が 2 cm、高さが 10 cm の円柱のおもりを横にして置き、容器に水をいっぱいに入れます。

ただし、おもりは浮かないものとします。

（１）おもりの水面より下に沈しずんでいる部分の表面積は何 cm² ですか。

答え（１）: 75.36 cm²

解き方（１）: 水面の高さは 2 cm なので、
2 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{1}{2}\) × 2 + 2 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{1}{2}\) × 10
= 4 × 3.14 + 4 × 3.14 × 5
= 12.56 + 62.8 = 75.36 [cm²]

（２）容器に入っている水の量は何 cm³ ですか。

答え（２）: 565.2 cm³

解き方（２）: 10 × 10 × 3.14 × 2 – 2 × 2 × 3.14 × \(\dfrac{1}{2}\) × 10
= 628 – 62.8 = 565.2 [cm³]

（３）おもりを取り出すと、容器の水面は何 cm³ 下がりますか。

答え（３）: 0.2 cm

解き方（３）: 62.8 ÷ 10 × 10 × 3.14
= 62.8 ÷ 314
= \(\dfrac{628}{10}\) × \(\dfrac{1}{314}\) = \(\dfrac{2}{10}\) = 0.2 [cm]

問１０

図のような直方体の容器に、A、B 2 つの円柱のおもりが入っています。この容器に 1 分間に 0.5 L ずつ水を入れたときの時間と水の高さの関係をグラフに表しました。円柱 B の底面積は 200 cm² です。

ヒント

（１）グラフの㋐にあてはまる数を求めなさい。

答え（１）: 15 cm

解き方（１）: グラフより、18 分後の水の高さは円柱 A の高さと等しくなっている。
また 38 分後の水の高さは円柱 B の高さと等しくなっている。18 分から 38 分後の間に増えた水の量は、
0.5 × ( 38 – 18 ) = 10 [L] = 10000 [cm³]
よって、この間に増えた水の高さは、
10000 ÷ ( 40 × 30 – 200 )
= 10000 ÷ ( 1200 – 200 )
= 10000 ÷ 1000 = 10 [cm]
したがって、㋐ = 25 – 10 = 15 [cm]

（２）グラフの㋑にあてはまる数を求めなさい。

答え（２）: 30 cm

解き方（２）: 38 分から 50 分後の間に増えた水の量は、
0.5 × ( 50 – 38 ) = 6 [L] = 6000 [cm³]
よって、この間に増えた水の高さは、
6000 ÷ 1200 = 5 [cm]
したがって、㋑ = 25 + 5 = 30 [cm]

（３）円柱 A の底面積を求めなさい。

答え（３）: 400 cm²

解き方（３）: 水が円柱 A の高さまで入っているときの底面積は、
0.5 × 18 × 1000 ÷ 15 = 600 [cm²]
よって円柱 A の底面積は、
1200 – 600 – 200 = 400 [cm²]

問１１

【図１】のような内側に高さが異なる階段がついた水そうがあります。はじめ毎分 8000 cm³ の水を入れ、水そうの底から測った高さが 40 cm となったところで、水面の上昇じょうしょう速度が変わらないように、1 分間あたりに入れる水の量を変えました。水を入れ始めてからの時間と、水そうの底から測った水面までの高さをグラフで表すと【図２】のようになります。

（１）グラフの㋐、㋑、㋒にあてはまる数を求めなさい。

答え（１）: ㋐ 4　㋑ 9　㋒ 80

解き方（１）: 0 ～㋐分までの底面積にあたる部分は上図の　部分になる。
よって、0 ～㋐分までに入れた水の量は、
( 40 × 40 ) × 20 = 1600 × 20 = 32000 [cm³]
したがって、㋐ = 32000 ÷ 8000 = 4 [分]
4 ～㋑分までの底面積にあたる部分は上図の　部分になる。
よって、4 ～㋑分までに入れた水の量は、
( 1600 + 20 × 20 ) × ( 40 – 20 )
= 2000 × 20 = 40000 [cm³]
40000 [cm³] の水を入れるのにかかった時間は 40000 ÷ 8000 = 5 [分] より、㋑ = 4 + 5 = 9 [分]
また、4 ～ 9 分の間、1 分間で上昇する水面の高さは 20 ÷ 5 = 4 [cm] である。
よって、9 ～ 19 分までに上昇した水面の高さは 4 × ( 19 – 9 ) = 40 [cm]
したがって、㋒ = 40 + 40 = 80 [cm]

（２）水そうの底から測った高さが 40 cm 以降の 1 分あたりに入れる水の量を求めなさい。

答え（２）: 12800 cm³

解き方（２）: 水そうの底から測った高さが 40 cm 以降の底面積にあたる部分は解き方（１）の図の　部分になる。また、1 分間に上昇する高さは 4 cm より、求める水の量は、
{ 40 × ( 40 + 20 + 20 ) } × 4
= ( 40 × 80 ) × 4
= 3200 × 4 = 12800 [cm³]

（３）初めから 129600 cm³ の水を入れたときの水そうの底から測った高さを求めなさい。

答え（３）: 58 cm

解き方（３）: 129600 ÷ 8000 = 16.2 [分] ＞ 9 [分] より、高さは 40 cm 以上になることがわかる。
高さ 40 cm までに入る水の量は、32000 + 40000 = 72000 [cm³] である。
40 cm 以上の部分にある水の高さは、
( 129600 – 72000 ) ÷ 3200
= 57600 ÷ 3200 = 18 [cm]
よって求める高さは 40 + 18 = 58 [cm]